八年级数学上：17.2立方根教案（冀教版）.doc

17.2　立方根（共一课时）
〖教学目标〗
（－）知识目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质.
4.区分立方根与平方根的不同.
（二）能力目标
1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.
2.发展学生的求同求异思维.
〖教学重点〗
1．立方根的概念.
〖教学难点〗
1.正确理解立方根的概念.
2.会求一个数的立方根.
3.区分立方根与平方根的不同之处.．
〖教学过程〗
一、课前布置
1自学：阅读课本P100~P101，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.
2在自学的基础上对照17.1的学习过程试着用类比的方法提炼本小节学习的主要内容.
二、学情诊断
1.了解学生原有认知机构，解答学生提出的问题.
2. 学生能用类比的方法提炼本小节的主要内容：
（1）立方根的概念
（2）立方根的性质
（3）开立方与开平方互为逆运算，求一个数的立方.
三、师生互动
（一）对学生提炼的主要内容展开说明，加深理解.
［师］1.能不能根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？
若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.
若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.
［生］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.
［师］同学们分析非常有道理，我们修正一下立方根的概念，试一试
［生］若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x=，读作x等于三次根号a.
［师］2.你是怎么理解开立方是立方的逆运算
［生］正如开平方运算是平方运算的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算，例如：这是求3的三次幂等于27，27叫做幂，属乘方运算，这是求27的三次方根等于3，3叫做立方根，属开立方运算。
［生］利用开立方运算是立方运算的逆运算,可以通过立方的方法求一个数的立方根.
练习：
1 . 求下列各数的立方根：
（1）512； （2）－343； （3）0.729； （4）；
（5）； （6）±0.125。
解：（1）∵，∴512的立方根为8，即。
（2）∵，∴－343的立方根为－7，即。
（3）∵，∴0.729的立方根是0.9，即。
（4）∵，∴的立方根是，即。
（5）∵，，
∴的立方根是，即。
（6）∵，，
∴±0.125的立方根是±0.5，即。
［师］由以上的结果想一想正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？
［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.
［师］这就是立方根的性质，进一步明确一些：正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
（二）鼓励学生讲解教师提供的例题.（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）
例1 判断下列语句的正确与否，并说明理由.
（1）0.125的立方根是0.5；
（2）不可能是负数；
（3）如果a是b的立方根，那么ab≥0；
（4）若一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1.
分析：一个数的立方根是唯一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错.
解：（1）正确，因为0.53＝0.125，所以，0.125的立方根是0.5.
（2）不正确，根据立方根的概念，当a是负数时，就有一个负的立方根，即就是负数.
（3）正确，因为，若b是正数，它的立方根a也是正数；若b是负数，它的立方根，即a也是负数；如果b是零，它的立方根a是零，所以，不论哪种情况，都有ab≥0.
（4）不正确，一个正数的立方根只有一个数，平方根均有两个数，而平方根只有一个数的是0，0的立方根也是0，故一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是0.
例2 求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）（4）；
分析：注意应用公式＝并依顺序进行计算.将数化为3次幂是进行开立方运算的要点.
解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）

例3　求下列各式中的x:
（1）（3x＋2）3－1＝；（2）＋25x3＝－116．
分析：本题以方程形式出现，实质上是求一个数的立方根.应注意整体思想的运用，在（1）中，把3x＋2当做一个整体，先求出3x＋2的值，再求出x.
解：（1）因为（3x＋2）3－1＝，
所以　（3x＋2）3＝，即3x＋2＝，所以　3x＝－，即x＝－；
（2）＋25x3＝－116，即9＋25x3＝－116
所以　25x3＝－125，即x3＝－5，所以　x＝－
（三）［师生共析］引导学生小结：
1．理解立方根的意义，可以从以下两个方面考虑.
（1）由定义知，一个数b是另一个数a的立方根，必须有等式b3＝a成立，从而也给出了求一个数的立方根的方法.
（2）注意立方根与平方根的区别：对于立方根，被开方数a没有限制，换句话说，正数、负数、零都有唯一确定的立方根；而对于平方根，被开方数a必须是非负数，也就是说，负数没有平方根，并且任何正数的平方根有两个，它们互为相反数，理解了以上两点，我们就可以求一个数的立方根了.
2.平方根与立方根的联系与区别.
联系：
(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.
(3)表示法不同
正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为.
(4)被开方数的取值范围不同
±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.
3．开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
4．互为相反数的数的立方根也互为相反数，即.

四、补充练习
作业：P103习题

〖分层练习〗
基础知识
〖答案提示〗
1.（1）C　（2）B　（3）D　（4）B
2．（1）－（2）－2×10－3　
3.　解：（1）＝＝－4；（2）.
4.　因为，所以　x=64，
又y－2z+1=0且z=3，所以　y=5，
　；
5．设原祭坛的边长为a，则，
而，所以　新祭坛的体积为原祭坛的8倍，
要使，所以　，边长应为原祭坛的倍．
6．提示：设2004x3＝2005y3＝2006z3＝k，则2004x2＝，2005y2＝，2006z2＝
因为＝1，
所以　左边＝＝，
右边＝++＝（）＝.
所以　左边＝右边.
7.　成立.规律是.