资源描述
《3.1平方根》教案
1、教学目标
2.2难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。
个大正方形吗？
如果小正方形的边长是1，那大正方形的边长是多少呢？
（设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于2的数是什么？）
随后，设计以下练习
（1）张正方形桌面的边长为1.2m，面积是多少？
（2）张正方形桌面的面积为1.44m2，边长是多少m？
第二小题即求一个数的平方等于1.44，这个数是多少？有了以上的铺垫，解决这一问题对于学生来说已是轻而易举，即轻松地引入课题）
4.2 师生互动，探究新知
4.2.1 概念引入
由具体问题开始讲解：∵（±1.2）2=1.44 ∴平方得1.44的数有两个是+1.2， 又边长不为负，因此为1.2m于是说： ∵（±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴±2叫做4的平方根 ∵ x² = a ∴ x叫做a的平方根
由学生在总结讨论中下定义，教师板书定义 （略）
（这样由具体到抽象，学生易于接受）
4.2.2 概念巩固
比一比，看谁最聪明
如图，在左图和右图中的“？”表示的数
x x²
-8
8
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
121
0．36
0
在求？的过程中，引导学生明确，左边的数是右边对应的数的平方根，并及时提问“有没有平方得负数的数？为什么？
4.2.3 平方根的性质和表示
学生通过讨论、交流得出平方根的性质：（展示）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
4.2.4 练习巩固，理解性质
（1）下列各数是否有平方根，请说明理由① （—3）2 ② 0 2 ③ —0.01
（2）下列说法对不对？为什么？
①4有一个平方根 ②只有正数有平方根
③任何数都有平方根 ④若 a≥0，a有两个平方根，它们互为相反数
4.2.5平方根的表示法和求一个非负数的平方根
通过引导、交流、提出平方根的表示法、读法以及开平方的概念，然后设计以下练习巩固
例1 求下列各数的平方根
（1）9 （2） （3）0.36 （4）（5）
（注明：（1）带分数作被开方数应化成假分数 （2）不能出现
4.3运用新知，体验成功4.3.1 课本练习 p69 1 24.3.2算术平方根的概念与表示、读法
4.3.3课本练习 p69 34.4 探究模型，领会思想
再次探究开头提出的模型，估计的值在哪两个整数之间
（充分应用直观模型，感觉数形结合思想）
4.5反馈小结，布置作业
4.5.1引导小结如下：
本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？
①知识方面：这节课我们学习了平方根、算术平方根的概念、表示方法、求法及平方根性质
②思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算，可以互相检验
③探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解决问题的基本方法和途径。
④用定义解决问题也是常用方法和有力工具。
4.5.2 布置作业
（ A组必做， B组分层要求）
如果一个正数x的平方等于a，既x的平方=a，那么这个正数x就叫做a的（ ），记作“（）”；读作（）；规定0的算术平方根即√0=0.如=2的平方=4，那么2叫做4的算术平方根。 xd q B2o]
2 16分之9的算术平方根是（） Twh mWI|
3 下类各式没有意义的是（） "enxvQ ,K
A -√5 B（-3）的平方 C √0 D √-4 a 4H|#P
4 数a在数轴上的位置如图所示，下类个数中，有算术平方根的是（） : ]Uo!N !6
--|------|---|---->(这就算充当数轴啊~！！） 't _g!0k!y
a 0 1 6@PwI*0K}
A a B -a C -a的平方 D a的立方 *_/ T?C'k
5 下列说法：（1）任何数都有算术平方根（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）a的平方的算术平方根是a（4）（π-4）的平方的算术平方根是π-4；（5）算术平方根不可能是负数。 q|=U86&b-
其中不正确的有（） rYddp |
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 Yek qzZ_
! {%e ?U
答案1. 算术平方根, 根号a SWMhW&A 2. 3/4 R)=ZlB`t, 3. D ;( CC Z 4. BC ^VZq$; 5. C 8a^V uhcY
一.教学目标:
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性；
2.会根据平方运算求某些非负数的算术平方根
二.教学重点：
1.了解算术平方根的概念
2.会根据平方运算求某些非负数的算术平方根
三、教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
四、教学方法：引导发现，归纳、总结
五、教学过程（一）.引入情境
问题1：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴。他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
若设正方形的边长为x，依题意有：x2=25，求出满足x2=25的x值，就可得正方形的边长．因52=25，(-5)2=25，故满足x2=25的x的值可以是5，也可以是-5，但正方形边长只能取正值．所以x=5．
如果正方形的面积变为以下数据，你能求出正方形的边长吗？
正方形面积
25
36
4/25
边长
已有一个正数的平方，怎样求这个数呢？
问题2：如果画布的面积是11平方分米，那么边长应是多少呢？
若设正方形的边长为x。依题意有：x2=11，x等于多少呢？
要解决这样一个问题，在数学上就要引进一个新的概念——一算术平方根．
【从现实生活提出问题，使学生积极主动的投入到数学活动中，同时为学习算术平方根提供背景和素材。通过生活实例引入，能激发学生的求知欲望。】
(二)算术平方根概念
由练习知道52=25，所以就5是25的算术平方根，也可以说25的算术平方根是5。
想一想，如果一个正数的平方等于，即x2=a那么（）是（）的算术平方根？
【在会求一个数算术平方根的基础上给出算术平方根的概念，有利于学生对概念的理解和把握】
如果一个正数的平方等于，即x2=a那么正数是的算术平方根，记作“”，读作“根号”。
所以25的算术平方根是
思考：4的算术平方根是多少？怎么用根号表示?
（）的算术平方根是4？
9的算术平方根是多少？怎么用根号表示?
25的算术平方根是多少？怎么用根号表示?
（）的算术平方根是5？
填空：
（1）16的算术平方根是多少？
（2）( )的算术平方根是4？
（3）7的算术平方根是多少？
【通过这道题目，使学生在熟悉算术平方根概念的基础上更加深理解，突出了重点. 】
（三）例题讲解
例1.求下列各数的算术平方根
1）900 2）1 3） 4）14
解：因为，所以900的算术平方根是。
14的算术平方根是。
思考:的算术平方根是多少？
【这一例题从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出了平方运算和开平方运算的互逆性．然后经过反复操练使学生掌握平方根概念及根据乘方运算的结果求平方根；】
练习: 1、求下列各数的算术平方根
1）1.44 2）0 3)8 4) 10-4 5)
【此组练习加强了学生对算术平方根解法的练习】
看这道练习题 ( )2= -4
生思考后得到结论无答案，反问为什么？
因为，负数、0、正数的平方都是非负数。
结论，负数没有算术平方根平方根。
【学生通过对比交流，自主探究，很容易就可完成上题，对算术平方根本质以及平方的关系，也有了更深刻的认识，为突出重点，这个结论也是板书的内容. 】
2、判断下列说法是否正确。
1）9的算术平方根是-3
2）1的算术平方根是1
3）-1的算术平方根是-1
4）4的算术平方根是2
5）2是4的一个算术平方根。
五．总结
本节课主要学习了算术平方根的概念、性质，以及表示方法，回去后要仔细阅读教科书，巩固所学知识．
反思：
本节课的主要内容是让学生理解算术平方根的含义，掌握算术平方根的符号表示，会求一个正数的算术平方根
在教学过程中学生常见的几种错误主要有：
1.在求数a的平方根时，学生往往会用连等的式子来表示
2.错在符号乱用，导致等式无法成立
出现上述原因我觉得还是学生对算术平方根的概念不是很理解，特别是易出现7的算术平方根是=7的错误
=
在以后的教学过程中要通过练习发现学生存在的问题，并对一些典型的错题进行分析讲解，通过练习规范学生的解题格式，提高学生解决实际问题的能力。
本节课的内容不是很多，但这是学好平方根的关键，为后面学习立方根及运用平方根进行基本运算和解决实际问题打下基础，也是一个关键
学目标
·知识与技能目标
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
3．了解算术平方根的性质．
·过程与方法目标
1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力．
2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．
·情感与态度目标
让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．
教学重点：
了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根．
教学难点：
对算术平方根的概念和性质的理解．
三、教法学法
教学方法：讲授法．
课前准备：
教具：教材，多媒体课件，电脑．学具：教材，笔，练习本．
四、教学过程：本节课教学流程为：
第一环节：问题情境
方法一：问题导入
内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a2=2，a= ，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．
方法二：问题导入
内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2= ，y2= ，z2= ，w2= ．
意图：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．
效果：能表示x2=2，y2=3，z2=4，w2=5；能求得z＝2，但不能求得x、y、w的值．
说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二。
第二环节：初步探究
内容1：情境引出新概念
x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？
意图：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．
效果：学生可以估算出x，y是1到2之间的数，w是2到3之间的数但无法表示x、y、w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．
说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？”
内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ ”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 ．
意图：对算术平方根概念的认识．
效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．
内容3：简单运用 巩固概念
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （2）1； （3） ； （4）14．
意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是 ．
效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
答案：解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即 ；
（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即 ；
（3）因为 ，所以 的算术平方根是 ， 即 ；
（4）14的算术平方根是 ．
内容4：回解课堂引入问题
x2=2，y2=3，w2=5，那么x= ，y= ，w= ．
第三环节：深入探究
内容1：例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系
为h=4.9t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要
多长时间？
意图：用算术平方根的知识解决实际问题．
效果：学生多能利用等式的性质将h=4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．
解：将h=19.6代入公式得h=4.9 t2， t2 =4，所以t = =2(秒) ．
即铁球到达地面需要2秒．
说明：此题是为得出下面的结论作铺垫的．
内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．
意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义： 中的a是一个非负数，a的算术平方根 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．
效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．
第四环节：反馈练习
一、填空题：
1．若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ；
2． 的算术平方根是 ；
3． 的算术平方根是 ；
4．若 ，则 = ．
二、求下列各数的算术平方根：
36， ，15，0.64， ， ， ．三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．
若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，
则帐篷支撑竿的高是多少米？
答案：一、1.7；2. ；3. ；4．16；二、6； ； ；0.8； ； ；1；
三、解：由题意得 AC=5.5米，BC=4.5米，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，
由勾股定理得 （米）．所以帐篷支撑竿的高是 米．
意图：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.
效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。
第五环节：学习小结
内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：
（1）算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0．
（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
意图：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．
第六环节：作业布置
习题2.3
五、教学设计说明
1．设计理念
要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的 “正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.
“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.
“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.
1.判断题
(1)=±8.( )(2)a的平方根可以写成±a.( )(3)只有正数才有平方根.( )(4)(-a)2的平方根是±a.( )(5)正数a的平方根一定比a小.( )(6)一个正数的平方根的平方就是这个数.( )(7)一个正数的平方的平方根就是这个数.( )
2.选择题
1)下列说法正确的是( )A.9的平方根是3 B.9的平方根是-3 C.∵32=9，∴3是9的平方根 D.=±3
(3)下列各数中没有平方根的是( )A.(-3)2 B.0 C. D.-(-2)2
(4)下列说法中正确的是( )A.-1的平方根是-1B.如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两C.任何一个非负数的平方根都是非负数D.2是4的平方根
3.填空题
(1)0.16的平方是________，0.16的平方根是________.(2)若13是m的一个平方根，则m的另一个平方根是________.(3)9的算术平方根是________，的平方根是________.(4)(-4)3的相反数的倒数的平方根是________.(5)下列各数：-2，(-3)2，｜-0.5｜，，0，-(-1)，其中有平方根的数有________个.(6)若5x+4的平方根是±1，则x=________.
5.求下列各式中的x
(1)x2=361 (2)81x2-49=0 (3)49(x2+1)=50 (4)(3x-1)2=(-5)2
答案
1.（1）× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ (7)×
2.(1)C (2)D (3)D (4)D (5)B (6)C
3.(1)0.0256 ±0.4 (2)-13 (3)3 ±3 (4)± (5)5
练习题
姓名
一、填空题
1.如果x的平方等于a，那么x就是a的 ，所以的平方根是
2.非负数a的平方根表示为
3.因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是 或者
4．既 的平方根是 5.非负的平方根叫 平方根
三计算题
11．计算：
12．求下列各数的平方根．
（1）100； （2）0；（3）；（4）1；（5）1；（6）0．09
13．的平方根是_______；9的平方根是_______．
四、能力训练
14．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）
A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．
15．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1
16．已知x，y是实数，且+（y-3）2=0，则xy的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．-
五、综合训练
17．利用平方根、立方根来解下列方程．
（1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0；
（3）x3-2=0； （4）（x+3）3=4．
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