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第三章《圆》回顾与思考教案
教学目标：
1.通过复习理解圆及有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系.理解并会运用垂径定理及其推论.
2.掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.
4.理解掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并能结合条件作出判断.
6.理解掌握切线的性质及判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线.了解三角形的内心和外心.
7.会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积.
教学重点和难点：
重点：1.垂径定理及其推论的运用.
2.圆周角与圆心角的关系定理及其推论.
3.切线的性质及判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线.
4.弧长及扇形的面积公式，扇形与圆锥各元素之间的对应关系.
难点：应用圆的有关性质及推论与解直角三角形、相似三角形的知识相结合解决问题.
教法与学法指导：
本节课主要采用知识回顾-----题组练习-----例题讲解-----归纳总结-----课堂检测----布置作业的课堂教学模式,借助导学案，帮助学生回顾梳理本章的知识要点；在小组讨论的基础上，师生共同建构本章的知识体系；进一步通过小题组练习、典例剖析的层层推进，来巩固本章的主要内容，达到巩固基础、提升能力的目的.整个过程中，教师有组织、有目的、有针对性的引导学生积极参与学习活动，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯及能力，使学生真正成为学习的主人.
教学准备：
教师准备：多媒体课件.
学生准备：导学案.
教学过程：
一、明确目标：
【师】同学们，我们利用了两周的时间共同探讨了圆的相关知识，今天这节课就让我们一起来回顾一下本章的内容.首先请同学们看复习目标，请一位同学读复习目标。（出示复习目标）
学生读目标，理解目标.
(设计意图：明确目标，使学生在学习过程中有的放矢，避免学习盲目性.)
二、知识梳理：
【师】课前请同学们看了课本第90—115页的内容，熟记概念、定理等知识点，完成了知识梳理.下面我们比一比看谁谁做得最好.
处理方式：学生口答，师生共同评价矫正.
考点一 圆的定义及其性质
1．定义：平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆.
2．圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线.
（2）圆是中心对称图形，对称中心是 .
考点二 垂径定理及推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的弧.
2．推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且 弦所对的弧.
考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对弦的 相等.
2．推论：在同圆或等圆中，（1）两个 相等；（2）两条弧相等；
（3）两条 相等；（4）两条弦的 相等.四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立.
考点四 圆心角与圆周角
1．定义：顶点在 的角叫圆心角；顶点在 ，角的两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.
2．性质
（1）圆心角的度数等于它所对的 的度数.
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
（3）同弧或等弧所对的圆周角 。（4）直径所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 .
考点五 点与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系有三种，分别是 、 、 .
2．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么（1）点在圆上 .（2）点在圆内 （3）点在圆外 .
考点六 直线和圆的位置关系
1．直线和圆有有唯一公共点时，叫做直线和圆 ；有两个公共点时，叫做直线和圆 ；没有公共点时，叫做直线和圆 .
2．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：（1）直线l与⊙O相交 (2) 直线l与⊙O相切 (3) 直线l与⊙O相离 .
3．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 .
4．切线的判定定理：经过 的一端，并且垂直于这条 的直线是圆的切线.
考点七 圆与圆的位置关系
设R、r为两圆的半径，d为圆心距，那么（1）两圆外离 .（2）两圆外切 （3）两圆相交 （4）两圆内切 （5）两圆内含 （两圆同心 ）
考点八 内心与外心
1．三角形的内心是 的交点， 它到三角形 的距离相等.
2．三角形的外心是 的交点，它到三角形 的距离相等.
考点九 与圆有关的计算
1.如果弧长为l，圆心角为n，圆的半径为R，那么弧长的计算公式为l= ，此公式可变形为：R= ，n= .
2．若扇形圆心角为n，所在圆半径为R，弧长为l，面积为S，则S= 或S= .
3．圆锥的侧面展开图是 ，这个扇形的 等于圆锥的底面周长，这个扇形的 等于圆锥的母线长.若圆锥的底面半径为，则S圆锥侧= ，S圆锥全= .
(设计意图：圆的知识点较多，如果用课堂时间来看书梳理很占用时间，因此自主复习放在课前，从而培养学生自主学习的习惯和及时复习的习惯，通过导学稿的形式使学生学习课前复习有了目标，避免了盲目性.再通过小组合作及时纠错、讲解、补充的问题解决过程，让学生回顾圆的相关知识，体会小组合作的必要性. 也为后面的知识网络的构建打好基础.)
三、构建知识网络：
【师】通过前面知识梳理，相信同学们对本章的知识结构已成竹在胸，请同学来详细说明.
处理方式：学生举手回答，畅所欲言，其他同学互相讨论补充.在学生充分交流后教师出示【知识结构】
圆的对称性—垂径定理及推论
圆的有关概念及性质 圆心角、弧、弦之间的相等关系定理
圆周角定理及推论
点和圆的位置关系
圆 与圆有关的位置关系 直线和圆的位置关系
圆和圆的位置关系
弧长
圆的有关计算 扇形面积
圆锥的侧面积、全面积
(设计意图：在学生充分思考、交流的基础上出示本章知识网络图，既可以让学生再次梳理知识明，确各知识点间的联系，帮助学生更系统地掌握知识的同时.)
四、基础题组：
1．（2012·黄冈中考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为( )
A.8 B.10 C.16 D.20
2．（2012·湘潭中考）如图，在⊙O中，弦∥,若，则（ ）
A. B. C. D.
3．（2012·万宁中考） 如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O 的直径，连接CD，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．(2012·嘉兴中考)如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D 70°
5．（2012·湘潭中考）如图，的一边是⊙O的直径，请你添加一个条件，使是⊙O的切线,你所添加的条件为 .
第6题图
第5题图
第4题图
第7题图
6．（2012•烟台中考）如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2
7．（2012·天门中考）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时
点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是
A．3p B．6p C．5p D．4p
8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC是⊙O的切线．
处理方式：这些都是基础知识和基本技能的再现，所以处理的方式都是让学生自行完成，第8题学生板演，15分钟后学生展示总结归纳知识点和方法.并反馈矫正，小组内讲解. 第8题教师规范书写过程.
【答案：1.Ｂ 2. Ｄ 3. Ｂ 4. Ｂ 5. 不唯一，AB⊥BC，或∠BAC+∠C=90°. 6.Ｂ
7.Ｂ
8. （1）猜想：OD∥BC，CD=BC．
证明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD=BC
（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E．
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中，
∵OA=OC，OP=OP，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．】
（设计意图：出示基础题组，让学生查缺补漏，明确学习中不足。再次熟悉圆基础知识的应用.同时让学生加强应用圆的性质解决问题的意识，体会数形结合的思想，同时更是为后面综合应用圆有关性质和计算解决问题做铺垫.
第1题考查垂径定理的内容，第2题考查同弧所对的圆心角和圆周角的关系，第3题考查同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角，第4、５题分别考查切线的性质和判定，６题考查扇形的面积公式，７题借助三角形中位线三角形全等等知识，对切线的性质和判定综合考查，同时规范学生的书写过程.）
五、典型例题
例１、（2012·宁波中考）如图，△ABC中，，，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 .
师：由垂径定理我们知道怎样求弦长？
生：过圆心作弦的垂线，再连接半径，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．
利用解直角三角形求弦长的一半，从而求弦长.
【师】那么弦长与半径有关，半径何时最短？
【生】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短.
解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，
由垂径定理可知EF=2EH=，
故答案为：．
处理方式：学生２分钟读题，已知条件图中标出，数形结合，并在教师的引导下分析题目，尝试写出解题过程。最后师生一起解决此类题目的关键和步骤.
(设计意图：复习垂径定理；圆周角定理；解直角三角形的综合应用.)
例２、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及轴都相切的⊙P有 个， 圆心的坐标分别是 .
师：两圆相切分几种情况？你能试着画出来吗？
处理方式：学生画图，计算.
生：分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P的个数．如图所示，当⊙P与⊙A内切时，点P1的坐标是（0,1）；当⊙P与⊙A外切时，点P2的坐标是（0,﹣1），点P3的坐标是（，1），点P4的坐标是（﹣，1），所以满足条件的⊙P有4个.
(设计意图：本题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的知识，能充分考虑到分内切和外切是解决本题的关键．再利用两圆的相切时圆心距与两圆半径之间的关系及勾股定理求P3、P4、的横坐标.)
例3、（2012•烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=，求的值．
【师】欲证切线须连半径，再证垂直。应怎样做辅助线？
【生】连接ＯＣ，证明ＣＦ⊥ＯＣ
分析：（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，继而可求得的值．
解答：（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE．
∴==（sin∠BAC）2==．
∴=．
处理方式：教师引导学生分析思路，找出解题关键，理清步骤，学生板演，教师规范解题过程。
(设计意图：圆的切线的判定以及园中相似三角形是中考常见题目，此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．通过此题使学生掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．)
六、畅谈收获
【生】（学生总结反思自己的所学所得，畅谈收获，拾遗补缺．）
我懂得了…
我收获了…
（设计意图：复习课大多是学生自主探究、交流、提高的过程，教师只做点拨.因此，小结的过程不妨大胆交给学生，听听学生的感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况.）
七、达标检测
1.（2012·衢州中考）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
2．（2012·盐城中考）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程的两根,且,若这两个圆相切,则＝ .
3．（2012·扬州中考）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．
4．（2012·临沂中考）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2012·凉山州中考）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能
6．（2012·宁波中考）如图，用邻边长分别为a，b（a﹤b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆。把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是
A． B． C． D．
7．（2012·义乌中考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
答案：1．８ 2．０或２ 3．４０° 4．Ｃ
5．Ｂ 【解析】选B.设直线的图像与轴、轴的交点分别为点A、点B，则点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，﹣），∠OAB=45°，AB==2.过点O作OC⊥AB，则OC=OA×sin∠OAB=1.根据圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线，故选B.
6．Ｄ【解析】∵半圆的直径为a，
∴半圆的弧长为
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则：2πr=
解得：r=
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，
则：AC2+AB2=BC2
即：（）2+（）2=（）2整理得：b=a
故选D．
7．【解析】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为．
处理方式：学生用１２分钟独立完成，然后反馈矫正.对于出错较多的题目重点讲解.
(设计意图：设计7个问题分别巩固本节课强调的知识，进一步让学生理解本节知识的重点、难点及突破难点的方法与技巧，达到熟练应用知识的目的.同时也可以使养学生快速准确解答问题的习惯,提高应试能力.)
八、布置作业：
1.必做题：整理好导学案上的习题.
2.选做题：数学助学下册“圆”综合能力测试.
（设计意图：作业分层，让能力不同的每个学生都能各有所得．）
板书设计：
第三章 《圆》回顾与思考
例1
学生展示区
例2
学生展示区
例3
学生展示区
数形结合
见切点连半径得垂直
连半径证垂直得切线
教学反思：
１、将导学案上的基础“知识回顾”让学生在课前处理，课上直接进入交流展示，补充遗忘的知识点，这样就节约了不少课上时间，为后面的解决疑难问题提供时间保证.利用题组训练的形式进行复习，选择有代表性的题目，由易到难的问题设计层层推进了教学过程，达到分散难点的同时也突出重点的目的，并使学生学的过程轻松而又愉快.
２、需改进的方面：课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。由于圆与三角形全等、相似、解直角三角形、等腰三角形等结合在一起出题，导致一些学困生跟不上，所以在今后的相关教学中要改进方法，使学生尽量减少知识上的“欠账”.
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