八年级数学上册 第二章 实数 7 二次根式教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级上册数学教案.doc

7 二次根式（第1课时）
一、学生起点分析
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．
二、教材任务分析
本节分为三个课时．第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．
为此，确定本节课教学目标是：
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索二次根式的性质．
3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；
第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：明晰概念
问题1 ：，，，，（其中b=24，c=25），上述式子有什么共同特征？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数．
介绍二次根式的概念．一般地，式子叫做二次根式．a叫做被开方数．强调条件：．
问题2：二次根式怎样进行运算呢？
答：这是我们本节课要解决的新问题．
意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．

第二环节：探究性质
（一）内容：通过探究得出，．
具体过程如下：
（1）＝　　　，＝　　　；
＝　　　　，＝ ；
＝ ，＝ ；＝ ，＝ ．
（2）用计算器计算：
＝　　　　，＝　　　；＝ ，＝ ．
问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？
意图：最终归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．
第三环节：知识巩固
例1 化简（1）；（2）；（3）．
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.

被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数．一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．
例2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
答案：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．

问题：
（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流．
说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．
反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．
第四环节：知识拓展
说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去．
练习：
1.下列平方根中， 已经简化的是（ ）
A． B． C． D．
2.判断下列各式是否成立．你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号．
① （ ） ； ② ( )
③ （ ）； ④( )
你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取值范围？
第五环节：课堂小结
本节课主要内容：
（1）掌握并会运用公式：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．
（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．

四、教学反思
（一）关注类比，提出重点
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．
（二）对运算技能要求恰当定位
根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求．
（三）分层教学
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．
7 二次根式（第2课时）
一、学生起点分析
在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础．
二、教材任务分析
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准教科书北师大版八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是：
1. 通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．
2.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．
3.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
三．教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究；
第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：复习引入
面积8
面积2
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？

这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．
第二环节：知识探究
1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．
2．提出问题：能否根据该公式将化成？
例3 计算：
（1）；（2）；（3）．
解：
（1）略；
（2）；
（3）．
说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．
第三环节：巩固练习
例4计算：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
解：（1）；
　　（2）；
　　 （3）；
　　 （4）；
（5）；
　　 （6）．
意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度．本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力．
例5 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）；
（2）；
（3）．
课堂练习1：
1.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
第四环节：知识拓展
课堂练习2：
化简：（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
解：（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）．
第五环节：课堂小结
在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？
四、教学反思
本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用．为今后的学习打下基础．
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识的要求也不同，因此增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．

7 二次根式（第3课时）
一、学生情况分析
前面学习了实数，实数的运算法则，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍．
二、教学任务分析
二次根式（第3课时）是义务教育课程标准教科书北师大版八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．
二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算．若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解．因此本节课的目标定为：
1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简．
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简
3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题． 通过独立思考，能选择合理的方法解决
问题．
4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法．
根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节，第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固；
第三环节：问题解决 ；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.
第一环节：复习引入
内容：
（1）最简二次根式的概念；
（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？
（3）上节课课后作业：若，，，求．你是怎样解决的？
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．
第二环节：知识巩固
1.巩固提升
例4 计算：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）＝＝＝＝；
（2）＝＝＝；
（3）＝＝
＝＝＝＝．
说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．
2.交流
收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．
3.反思
以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？
4.练习
化简：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）＝＝＝；
（2）＝＝＝；
（3）＝＝
＝＝＝＝10．
第三环节：问题解决
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形
的面积，你有哪些方法，与同伴交流．
1.交流
让学生充分发表意见．
2.答案
（1）直接求法．
过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB＝， CD＝，DE＝，面积梯形ABCD的面积是＝18.
（2）间接求法．
将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD的面积是＝18．
第四环节：知识提升
1.知识探索
问题：（）等于多少？
根据算术平方根的定义，可知（）．
2.知识运用
例5 化简：
（1）（，）；（2）（）；（3）（，）．
解：（1）＝＝＝；
（2）＝＝；
（3）＝＝＝．
3.课堂练习
1.当，时化简：
（1）；（2）；（3）；
（4）．
解：（1）＝＝
＝＝；
（2）＝＝＝；
（3）＝＝＝
＝；
（4）＝＝
＝＝＝＝
＝．
2. 求代数式的值，其中，．
解：由题知，．
＝＝＝
＝．
当，时，＝．
第五环节：课堂小结
（1）二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．
（2）利用式子（）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．
第六环节：课后作业
习题 2．11 1， 3
补充作业：
化简：（1）； （2）；
（3）；
（4）；
（5）．
答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
四、教学反思
本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用．
本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式．这部分内容对学生的基础要求较高，基础不好的班级可降低难度．