资源描述
二次函数与一元二次方程
【教学内容】二次函数与一元二次方程（一）
【教学目标】
知识与技能 理解二次函数与一元二次方程的关系，会用△值判断二次函数与x轴交点个数
过程与方法 经历用二次函数图象探索一元二次方程根的过程，能够领会二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根的个数关系。
情感、态度与价值观 通过对二次函数与一元二次方程关系的探讨，培养学生勇于探索的好习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
【教学重难点】
重点：理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标
难点：利用二次函数的与x轴交点与一元二次方程根的关系
【导学过程】
【知识回顾】 一元二次方程的一般形式是什么？二次函数的一般形式是什么？
【情景导入】
二次函数与一元二次方程有一定的相似之处，它们的表达式基本相同。其实，二次函数中的y值为零时，那么就会变成一元二次方程。那么它们之间到底有怎样的关系，本节课将给以解答。
【新知探究】
探究一、
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
探究二、在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？
探究三、【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
【例3】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ．
【知识梳理】本节课我们学习二次函数与一元二次方程的关系，能够领会二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根的个数关系。会用△值判断二次函数与x 轴交点个数
，【随堂练习】
1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．
（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．
2已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).
A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0
3．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
4．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．
5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
6．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
7．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
8．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
9．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
10．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
11．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．
12．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
13．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（ ）
A．－3 B．3 C． D．－
14．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
15．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
16．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
17．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
18．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．
19．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．
（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？
（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
20．已知抛物线y=x2－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．
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