资源描述
26.1.2 反比例函数的图象和性质 第二课时
一、教学目标
1．核心素养
通过学习反比例函数的图象和性质，充分体现几何直观，渗透模型思想．
2．学习目标
（1）进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质．
（2）灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．
（3）领会反比例函数的解析式与图象之间的联系，体现数形结合及转化的思想方法．
3．学习重点
灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．
4．学习难点
与反比例函数相关的面积的计算，以及自变量和函数值大小的比较．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1
阅读教材P7－P8，思考：怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？
任务2
怎样判定一个点是否在反比例函数的图象上？
任务3
思考1：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，与坐标轴形成的矩形面积与k有什么关系？
思考2：过反比例函数图象上任意一点作某一个坐标轴的垂线，并将这个点与原点相连，形成的三角形的面积积与k有什么关系？
2．预习自测
1．一个反比例函数的图象经过点（2.5，-3），则这个函数的图象位于第（ ）象限．
A．一、三 B．二、四 C．一、四 D．二、三
答案：B
2．如图，点A为反比例函数上的任一点，过点A作AB⊥轴于点B，则等于（ ）
A．3 B． C．1 D．无法确定
答案：B
3．若点（1.5，2）在反比例函数的图象上，则= ，在图象的每一支上，随的增大而 ．
答案：3，减小
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）反比例函数的图象是双曲线．
（2）当>0时，它的两个分支位于一、三象限；在每一个象限内，随的增大而减小．
（3）当<0时，它的两个分支位于二 、四象限；在每一个象限内，随的增大而增大．
（4）反比例函数的图象既关于轴对称，还关于轴对称，也关于原点对称．
（5）同学们预习本课，知道过双曲线上一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于||．
2．问题探究
问题探究一 感受“数”与“形”结合的必要性
●活动一 回顾旧知，加深理解
问题1 下列反比例函数：①；②；③；④．
（1）图象位于第一、三象限的是 ；
（2）图象位于第二、四象限的是 ．
教师提出如下问题，学生独立思考并写出答案．
（1）上述四个答案中，k的值分别是多少？
（2）当时，反比例函数的图象分别位于第几象限？
（3）当时，反比例函数的图象分别位于第几象限？
问题2 在反比例函数：①；②；③；④的图象上，、分别是图象上同一象限内的点：
（1）若，则的函数是 ．
（2）若，则的函数是 ．
教师提出如下问题，学生独立思考并回答，然后独立写出答案，再交流反馈．
（1）反比例函数的图象位于哪几个象限？随的变化趋势是什么？
（2）反比例函数的图象位于哪几个象限？随的变化趋势是什么？
问题探究二 探究反比例函数图象的性质
●活动一 探究矩形面积与值 重点知识★
例1 如图，点A为上的任意一点，过点A分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点B和点C，求矩形ABOC的面积．
【知识点：反比例函数的性质，矩形的面积；数学思想：数形结合】
详解：设点A的坐标为(a，b)，则矩形的面积为ab
∵过点A（a，b）
∴ab=2，即矩形的面积刚好等于反比例的值2．
●活动二 若将反比例函数的解析式改为，请模仿上述解答过程得出准确答案．
详解：设点A的坐标为(a，b)，则矩形的面积为ab
∵过点A（a，b）
∴ab=，即矩形的面积刚好等于反比例的值．
●活动三 探究三角形面积与值 重点知识★
例2 如图，点A为上的任意一点，过点A分别作轴的垂线，垂足为点B，求三角形ABO的面积．
【知识点：反比例函数的性质，三角形的面积；数学思想：数形结合】
详解：设点A的坐标为(a，b)，则三角形ABO的面积为
∵过点A（，b）
∴，即
∴，即△ABO的面积刚好等于的绝对值的一半．
问题探究二 反比例函数图象离原点的距离与k值的关系
在同一坐标系中，作、、、的图象，如图． 可以发现，当k>0时，随着k的增大，反比例函数的图象的位置相对于原点越来越远．
在同一坐标系中，作出一系列<0反比例函数的图象． 可以发现，当<0时，随着的增大，反比例函数的图象的位置相对于原点越来越近．
综上所述，在同一坐标系中，作多个反比例函数的图象． 可以发现，当||越大时，反比例函数的图象的位置相对于原点越来越远．
问题探究三 反比例函数性质的应用． 重点、难点知识★▲
●活动一 面积与的关系的应用
例3 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，BC⊥轴于点C，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】
详解：设点B的坐标为(m，n)
∵反比例函数过点B(m，n)
∴ mn=1
∴
由反比例函数的对称性知：点A与点B关于原点O对称，即AO=BO
∴=1
方法2：由反比例函数的性质知：
∴由对称性知OA=OB，=1．
●活动二 反比例函数图象与性质的关系
例4 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．
（1）反比例函数的图象在第几象限？随的增大而如何变化？
（2）点B（3，4），C（-，），D（2，5）是否在这个反比例函数的图象上？
【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】
师生共同分析，教师引导并提出下列问题：
（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？
（2）图象的位置由哪两个量来确定？我们如何救出这个量？
（3）反比例函数随的变化情况与哪个量有关？随的变化情况有没有限制条件？
（4）某点不在函数图象上的含义是什么？
学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．
详解：（1）设反比例函数的解析式为
∵它过点（2，6）
∴，它的图象过一、三象限；在每一个象限内，随的增大而减小．
（2）∵
∴时，
=-时，
时，
∴点B和点C在此反比例函数上，而点D（2，5）不在这个反比例函数的图象上．
●活动三 拓展提高 活学活用
例5 过反比例函数的图象上的任意两点A、B分别作轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、 S2，则它们的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．不能确定
【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】
详解：∵
∴，即S1=S2，故先C．
3．课堂总结
【知识梳理】
(1)判断反比例函数的图象的两个分支在哪些象限，只需判断k的正负即可． 当为正时，它的两个分支分别在一、三象限；当为负时，它的两个分支分别在二、四象限．
(2)判断一个点是否在函数图象上，只需将它的横（纵）坐标代入求出纵（横）坐标，如果刚好相等，则表示这个点在在此函数图象上；若求出的值与告知的坐标不相等，则说明这个点不在函数的图象上．
(3)过反比例函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于||．
(4)过反比例函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线，则这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于的绝对值的一半．
【重难点突破】
(1) 过反比例函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于的绝对值．利用与坐标轴围成矩形面积求时特别要注意，主要是图象过二、四象限时容易出现符号错误．
(2) 过反比例函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线，则这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于的绝对值的一半．利用三角形面积求时特别要注意，主要是图象过二、四象限时容易出现符号错误．
(3)判断一个点是否在反比例函数图象上时，只需要将它的一个坐标代入，若另一个坐标刚好也相等，则函数必过这一点；否则函数不过这个点．
4．随堂检测
1．如图，点P是反比例函数图象上的一点，若PD⊥轴于点D，则△POD的面积为（ ）．
A．1 B．2 C．4 D．
答案：A
解析：
2．如图，点P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形OEPF的面积为3，则的值为（ ）．
A．3 B．6 C．-3 D．-1.5
答案：C
解析：
3．如图，点P是反比例函数图象上的一点，若PD⊥轴于点D，△POD的面积为2，则的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-1 D．4
答案：B
解析：
4． 反比例函数的图象上有一点A，AB∥轴交轴于点B，△ABO的面积为1，则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：
5．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：D
解析：
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