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第八章 二元一次方程组
1.了解二元一次方程(组)的有关概念.
2.掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.
3.能解简单的三元一次方程组.
4.在具体的情境中,能从数学的角度发现、提出和解决问题.
1.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元思想”,初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想.
2.注重“消元”和“化归”这两种重要的数学思想的渗透.
经历从实际问题中抽象出二元一次方程(组)的过程,体会方程的模型思想,发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力,培养良好的数学应用意识.
本章通过实际问题引入了二元一次方程(组),又引导学生通过观察、思考、探究等活动,体会解二元一次方程组的基本方法——代入法和加减法,然后顺理成章地给出现实问题的解答.在此基础上,学习了简单的三元一次方程组及其解法.
二元一次方程组是继学生学习了一元一次方程之后所研究的一类最简单的线性方程组,其代入消元和加减消元的思想和方法,不仅是解二元一次方程组的最基本的方法,也是解三元一次方程组和二元二次方程组的基本方法.同时,也是学习其他数学知识乃至物理、化学等学科知识的重要基础.
【重点】
1.利用消元法解二元一次方程组.
2.利用建立方程的数学模型解决实际问题.
【难点】
1.二元一次方程解的不定性.
2.方程组解的意义.
3.列方程组解应用题.
1.强化二元一次方程组概念的形成和应用过程.在学生已有的解一元一次方程经验的基础上,通过认识实际问题中的两个未知量应同时适合两个方程,从而理解需将这两个方程联立,这样便很自然地建立起二元一次方程组的概念.借助于问题情境,引导学生理解实际问题,探究实际问题中各种数量的意义和相互关系,能用恰当的式子表示这种关系,正确地列出二元一次方程组并解决问题.
2.注重转化思想的渗透.代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法,教师在教学过程中应注意引导学生分析这两种方法的目的都是消元,即通过消去一个未知数,把“二元”转化为“一元”,并鼓励学生用自己的语言概括解方程组的主要步骤.
8.1 二元一次方程组
1课时
8.2 消元——解二元一次方程组
4课时
8.3 实际问题与二元一次方程组
3课时
8.4 三元一次方程组的解法
1课时
单元概括整合
1课时
8.1 二元一次方程组
理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
学会用类比的方法迁移知识;体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性.
通过学习,感受数学与生活的联系,感受学习数学的乐趣.
【重点】 二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义.
【难点】 二元一次方程组解的含义.
【教师准备】 教学导入过程的情境图片.
【学生准备】 复习一元一次方程的相关知识.
导入一:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.
你能用哪些方法解决这个问题呢?如果设两个未知数,能解决这个问题吗?
[设计意图] 通过古代数学经典习题,可以提升学生对中华传统文化成就的自豪感.学生会用多种方法解决问题,提出设两个未知数解决问题,对于学生来说还是新的方法,这就为引入二元一次方程的学习做好了过渡的衔接.
导入二:
每块饼干的质量是x克,每颗糖果的质量是y克,小明拿了一个等臂天平,在左边秤盘里放两块饼干,右边秤盘里放三颗糖果,结果天平两臂平衡,当在左边秤盘里又放了三块饼干,右边秤盘里又放了四颗糖果时,天平并没有平衡,只好在右边秤盘里又加了1克的砝码才使得天平平衡.
上面的例子中,可以得到两个方程是2x=3y和5x=7y+1,怎样看待这两个方程呢?它们的解有什么实际意义?
[设计意图] 学生对方程的理解暂时还是“一元一次”的程度,提出与“一元一次”性质不同的方程,能够唤起学生的好奇心,激起学生解决问题的欲望.
导入三:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜、负场数分别是多少?
在上面的问题中,要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决,列方程时,要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢?我们从这个想法出发,开始本章的学习.
[设计意图] 借助于教材情境直接提出用含有两个未知数的方程解决问题,为直接引入二元一次方程的概念做了铺垫.也让学生感受到要提高解决生活中的数学问题的能力,必须持续地进行学习.
一、二元一次方程
思路一
[过渡语] (针对导入三)前面提到的两个未知数的方程是什么方程呢?与我们学过的一元一次方程有什么不同呢?
问题
(1)情境中包含哪两个等量关系?
(2)如果设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗?
(3)你能把上述等量关系整理在下面的表格中吗?
胜
负
合计
场数
积分
方程:
(4)新列出的方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?
(5)你能总结什么是二元一次方程吗?
〔解析〕 情境中包含这样两个等量关系:胜的场数+负的场数=总场数,胜场积分+负场积分=总积分.列表如下:
胜
负
合计
场数
x
y
10
积分
2x
y
16
方程:2x+y=16
x+y=10
认识新列出的两个方程的特点,可以从未知数的数量和未知数的次数两个方面进行分析.方程x+y=10与2x+y=16都含有两个未知数x和y,并且含有未知数的项的次数都是1.这两个方程中都含有两个未知数,而一元一次方程中只含有一个未知数.
[处理方式] 学生讨论交流后共同总结以上五个问题的答案.
定义:上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
(补充)下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.7x+3y=2 B.xy=9
C.x+2y2=11 D.=2
〔解析〕 本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程,故都不是二元一次方程.故选A.
[解题策略] 从以下三个方面整体理解二元一次方程的定义:(1)有两个未知数;(2)含有未知数的项的次数为1;(3)是整式方程.
[知识拓展] 1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
2.理解二元一次方程的概念要特别注意对次数的要求是“含有未知数的项的次数为1”,不能理解为“每个未知数的次数都是1”,如xy+2=0就不是一个二元一次方程.
思路二
[过渡语] (针对导入一)同学们想一想,怎样求出有多少只鸡和多少只兔子呢?
[处理方式] 学生用各自的方法计算,然后讨论交流.
算法展示:
(1)算数方法:把兔子和鸡的脚数看成“相等”,则多出94- 35×2=24只脚,每只兔子比鸡多出两只脚,由此可先求出兔子有24÷2=12(只),随后可算出鸡有35- 12=23(只).
类似地也可以先求鸡的数量:35×4- 94=46(只),46÷2=23(只).
(2)列一元一次方程:
设有x只鸡,则有(35- x)只兔子.
根据题意,得2x+4(35- x)=94.
解方程可求出x=23.35- 23=12(只).
所以有23只鸡,12只兔子.
[过渡语] 刚才同学们用了不同的方法解决了古代的数学问题.我们还有没有其他的解决办法呢?
如果我们设有x只鸡,有y只兔子,依题意得这样两个方程:
x+y=35,2x+4y=94.
同学们比较这两个方程与前面学过的一元一次方程,有什么不同呢?
(老师提示学生从未知数数量和未知数的次数进行比较.)
结合学生的回答,教师板书定义:
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.
二、二元一次方程组
[过渡语] 如果把上面的两个方程放在一起,我们怎么称呼这样的方程呢?
上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y必须同时满足方程:
x+y=10,①
2x+y=16.②
把这两个方程合在一起,写成就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
[知识拓展] 二元一次方程组的概念是一个描述性定义,两个未知数不是两个方程中每个方程都含有两个未知数,可以是一个方程中含有一个未知数,也可以是两个方程中含有不同的两个未知数.
(补充)下列方程组中,属于二元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
〔解析〕 本题主要考查二元一次方程组的定义.A选项共含有三个未知数;B选项中的未知数的最高次数是2;D选项中不全是整式方程,故都不是二元一次方程组.故选C.
三、二元一次方程组的解
[过渡语] 同学们知道一元一次方程解的定义,那么二元一次方程组的解和一元一次方程的解之间是否存在着一定的联系呢?
问题1
下面哪些解既适合方程x+y=10,又符合问题的实际意义?
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
〔解析〕 由上表可知x=0,y=10;x=1,y=9;…;x=10,y=0使方程x+y=10两边的值相等,它们都是方程x+y=10的解.如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系,那么x=- 1,y=11;x=0.5,y=9.5;…也都是这个方程的解.这说明二元一次方程除非有实际意义的限制或者特别的限制,否则这种方程有无数个解.
问题2
写出方程2x+y=16的几个解?
〔解析〕 例如x=0,y=16;x=1,y=14;x=5,y=6……都是2x+y=16的解.
问题3
上述表格中的解,哪些或哪个是方程2x+y=16的解?
〔解析〕 x=6,y=4.
问题4
什么是二元一次方程组的解?
〔解析〕 一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.我们还发现,x=6,y=4既满足方程①,又满足方程②,也就是说,x=6,y=4是方程①与方程②的公共解,我们把x=6,y=4叫做二元一次方程组的解.这个解通常记作一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
[设计意图] 问题1和问题2是在学生已掌握的一元一次方程解的知识基础上,深化对二元一次方程解的认识.问题3和问题4则引导学生发现和总结二元一次方程组解的特点.
[知识拓展] 二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验,这对数只有满足方程组中的每一个方程,才能是这个方程组的解,而一元一次方程的解是一个数,这是它们之间的区别.
1.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.
2.一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
3.一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
1.下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.3x- 2y=1 B.xy+y=9
C.x- 3=4y2 D.x+x=2
解析:本题考查二元一次方程的定义.B选项的未知数的最高次数为2,C选项的未知数的最高次数为2,D选项不含有两个未知数,因此它们都不是二元一次方程.故选A.
2.下列各组数中,不是方程x+y=7的解的是 ( )
A. B.
C. D.
解析:将四个选项分别代入方程,能使方程成立的即是方程的解.反之,则不是方程的解.A.3+4=7,C.1+6=7,D.10+(- 3)=7,均是方程的解,不符合选择要求;B.12+(- 1)=11≠7,不是方程的解,符合选择要求.故选B.
3.方程ax- y=3的解是则a的值是 ( )
A.5 B.- 5 C.2 D.1
解析:把代入方程ax- y=3,得a- 2=3,解得a=5.故选A.
4.请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解:
(1) (2)
解:(1)把代入方程组,发现不满足2x- 3y=4,所以不是原方程组的解. (2)把代入方程组,发现适合每一个方程,所以是原方程组的解.
8.1 二元一次方程组
1.二元一次方程
2.二元一次方程组
3.二元一次方程组的解
一、教材作业
【必做题】
教材第89页练习.
【选做题】
教材第90页习题8.1第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.xy=1 B.y=5x- 2
C.x+x2=4 D.x+y+z=1
2.下列说法中正确的是 ( )
A.二元一次方程只有一个解
B.二元一次方程组有无数个解
C.二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解
D.判断一组数是否为二元一次方程组的解,只需代入其中的一个二元一次方程即可
3.以为解的二元一次方程组是 ( )
A. B.
C. D.
4.母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒.从图中信息可知,若设鲜花x元/束,礼盒y元/个,则可列方程组为 .
5.若是方程组的解,求m2- n的值.
【能力提升】
6.若3x3m- 2- 2yn- 4=12是关于x,y的二元一次方程,则m和n的值分别是 ( )
A.m=0,n=0 B.m=1,n=4
C.m=1,n=5 D.m=,n=4
7.二元一次方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
8.方程■x- 2y=x+5是二元一次方程,■是被污染的x的系数,请你推断■的值属于下列情况中的 ( )
A.不可能是- 1 B.不可能是- 2
C.不可能是1 D.不可能是2
9.若关于x,y的方程组的解是则|m- n|为 ( )
A.1 B.3 C.5 D.2
10.根据下列语句,设适当的未知数,列出二元一次方程(组):
(1)甲数的2倍与乙数的的差等于48的;
(2)林山学校七年级共招收学生292人,其中男生人数比女生人数多35人.
【拓展探究】
11.小明在做家庭作业时,发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染了:“□”是被污染的内容.他很着急,翻开后面的答案,发现这道题的解是你能帮小明补上“□”的内容吗?说出你的方法.
12.根据下列问题,列出关于x,y的二元一次方程组.
(1)一个两位数的个位数字与十位数字之和为11,把它的个位数字与十位数字对调,所得的数比原数大63,设原两位数的个位数字为x,十位数字为y.
(2)七(2)班买了35张电影票,共用250元,其中甲种票每张8元,乙种票每张6元,则甲、乙两种票各买了多少张?设甲种票买了x张,乙种票买了y张.
【答案与解析】
1.B(解析:二元一次方程只含有两个未知数,且含未知数的项的次数为1,满足条件的是y=5x- 2.故选B.)
2.C(解析:A.二元一次方程有无数个解,故本选项错误;B.当两个方程不同时,有一个解,当两个方程相同时,有无数个解,故本选项错误;C.二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解,故本选项正确;D.判断一组数是否为二元一次方程组的解,需代入两个二元一次方程,故本选项错误.故选C.)
3.C(解析:将代入各个方程组,可知满足条件.故选C.)
4.
5.解:把代入方程2x+3y=m得:2×(- 1)+3×2=- 2+6=4=m,把代入方程5x+2y=n得:5×(- 1)+2×2=- 5+4=- 1=n.所以m2- n=42- (- 1)=16+1=17.
6.C(解析:本题主要考查二元一次方程与一元一次方程的综合应用.因为3x3m- 2- 2yn- 4=12是关于x,y的二元一次方程,所以3m- 2=1,n- 4=1,解得m=1,n=5.故选C.)
7.D(解析:将各选项代入即可.)
8.C(解析:如果被污染的x的系数是1,那么这个方程就是x- 2y=x+5,即- 2y=5.与题意:二元一次方程矛盾,所以被污染的x的系数不可能是1.)
9.D(解析:把代入方程2y+m=n,得2+m=n,所以|m- n|=2.故选D.)
10.解:(1)设甲数为x,乙数为y,根据题意得2x- y=48×. (2)设男生为x人,女生为y人,根据题意得
11.解:把代入方程组,得2x- y=2×1- (- 2)=4,3x+4y=3×1+4×(- 2)=- 5.所以被污染的数字是4和- 5.
12.解:(1)等量关系:①个位数字与十位数字之和为11;②把它的个位数字与十位数字对调,所得的数比原数大63.由题意可列方程组为 (2)等量关系:①共买了35张电影票;②共用250元.由题意可列方程组为
本课时在设计理念上围绕着类比的思路展开,充分借助于学生已掌握的一元一次方程知识,通过与一元一次方程的比较,引入二元一次方程的定义.通过类比一元一次方程的解,延伸到二元一次方程组的解.在这种设计理念的指导下,顺利地实现了本课时的教学目标.
本课时的教学重点和难点集中在二元一次方程组的解的问题上,在处理这个问题时,除了强调一般的检验方法外,没有特别强调需要对方程组中两个方程分别去验证.
由于本课时的三个概念,即二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解都是描述性的概念,因此可以让学生通过对知识的理解,自己去总结和描述相关定义.
练习(教材第89页)
解:设第一道工序安排x人,第二道工序安排y人,则有 由②得…将这些解分别代入①,可得是该方程组的解.答:第一道工序安排4人,第二道工序安排3人.
习题8.1(教材第90页)
1.解:
x
- 2
0
0.4
2
2
y
11
5
3.8
- 1
- 0.5
- 1
0
3
2.C(解析:把各选项分别代入方程组验证.)
3.解:(1)x,y满足的关系式为x+2y=180. (2)当x=90时,y==45. (3)当y=60时,x=180- 2×60=60.
4.解:设有鸡x只,兔y只,根据题意,得 由①得…把这些解代入②,得答:有鸡23只,兔12只.
5.解:设截2 m长的钢管x段,1 m长的钢管y段,根据题意,得2x+y=7.∵题中要求不浪费,且x,y为正整数,∴当x=1时,y=5;当x=2时,y=3;当x=3时,y=1.∴共有三种不同的截法:①2 m长的1段,1 m长的5段;②2 m长的2段,1 m长的3段;③2 m长的3段,1 m长的1段.
已知方程4xm- 1+2y1- 2n=10是关于x,y的二元一次方程,求m,n的值.
〔解析〕 本题考查的是二元一次方程的定义,根据二元一次方程的定义:含未知数的项的次数为1,系数不等于0,求得m,n的值.
解:由二次一元方程的定义可得m- 1=1,1- 2n=1.由此可得m=2,n=0.
已知方程(m- 3)x|n|- 1+=0是关于x,y的二元一次方程,求m,n的值.
解:由题意得|n|- 1=1,m≠3,m2- 8=1,n≠- 2,解得n=2,m=- 3.
已知二元一次方程组 下面说法正确的是 ( )
A.同时适合方程①和方程②的x,y的值是方程组的解
B.适合方程①的x,y的值是方程组的解
C.适合方程②的x,y的值是方程组的解
D.适合方程①或方程②的x,y的值一定是方程组的解
〔解析〕 方程组的解必须是同时满足两个方程的解.故选A.
检验是不是方程组 的解.
〔错解〕 把代入①中,左边=2×1- (- 5)=7,右边=7.∵左边=右边,∴是方程组的解.
[易错辨析] 二元一次方程组的解应满足方程组中全部方程,因此在检验方程组的解时应该对每一个方程都进行检验.若只满足其中部分方程,将不能作为方程组的解.初学者往往受一元一次方程的解的检验的习惯的影响,只对一个方程进行检验,而忽略对另外的方程进行检验.错解的主要原因是没有将代入方程②进行检验,因为二元一次方程组的解是其中所有方程的公共解.
〔正解〕 把代入①中,左边=2×1- (- 5)=7,右边=7.∵左边=右边,∴是方程①的解.再把代入②中,左边=1+2×(- 5)=- 9,右边=- 4.∵左边≠右边,∴不是方程②的解,∴不是方程组的解.
8.2 消元——解二元一次方程组
掌握代入法和消元法两种基本的解二元一次方程组的方法.
通过类比、转化的思想帮助学生领会解方程组的基本思路.
培养学生通过探索尝试解决问题的意识.
【重点】 代入法、加减法解二元一次方程组.
【难点】 选用灵活的方法解二元一次方程组.
第课时
用代入消元法解二元一次方程组.
理解代入消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法.
向学生渗透转化的数学思想,培养勇于克服困难的思想意识.
【重点】 用代入消元法解二元一次方程组.
【难点】 代入消元法的基本思想.
【教师准备】 例题演示的详细板书.
【学生准备】 复习二元一次方程组解的概念.
导入一:
体育节要到了.拔河是七年级(1)班的优势项目.为了取得好名次,他们想在全部22场比赛中得到40分.已知每场比赛都要分出胜负,胜队得2分,负队得1分.那么七年级(1)班应该胜、负各几场?
你会用二元一次方程组解决这个问题吗?
根据问题中的等量关系设胜x场,负y场,可以更容易地列出方程组 那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢?
[设计意图] 导入情境是学生喜闻乐见的体育活动,可以增强学生的求知欲,使学生对所学知识产生亲切感.
导入二:
在8.1节中我们已经看到,直接设两个未知数:胜x场、负y场,可以列方程组表示本章引言问题中的数量关系.如果只设一个未知数:胜x场,那么这个问题也可以用一元一次方程2x+(10- x)=16来解.
思路
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?
[设计意图] 比较方程2x+(10- x)=16和方程组之间的关系,是引入代入法的关键所在.
一、代入法
[过渡语] (针对导入二)建立二元一次方程组求未知数,目的是求适合两个方程的未知数,也就是说两个方程的未知数取值是一样的.我们从这个认识出发,探究怎样解二元一次方程组?
(1)消元思想.
问题1
能否借助于一元一次方程解二元一次方程组?
〔解析〕 我们发现,二元一次方程组中第一个方程x+y=10可以写为y=10- x.由于两个方程中的y都表示负的场数,因此我们把第二个方程2x+y=16中的y换为10- x,这个方程就化为一元一次方程2x+(10- x)=16.解这个方程,得x=6.把x=6代入y=10- x,得y=4.从而得到这个方程组的解.
问题2
在上面的方程组中,第一个方程x+y=10是否可以写为x =10- y,然后再把x=10- y代入到方程2x+y=16中?
〔解析〕 从思路上讲,问题1和问题2的思路是一样的,只是选择哪个字母代入的问题.
总结:二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.
(2)代入法.
问题3
在上述的消元过程中,是怎样实现消元的?这种消元的方法叫什么?
总结:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
二、例题讲解
用代入法解方程组
〔解析〕 方程①中x的系数是1,用含y的式子表示x,比较简便.
解:由①,得x=y+3③,把③代入②,得3(y+3)- 8y=14.解这个方程,得y=- 1.把y=- 1代入③,得x=2.所以这个方程组的解是
追问1:把③代入①可以吗?试试看.
提示:不可以,因为方程③是由方程①变形而来的,把③代入①后,只能得到一个恒等式.
追问2:把y =- 1代入①或②都可以吗?
提示:可以.二元一次方程组消元后化为一元一次方程,求出一个未知数的解,代入方程①、方程②或方程③都可以求出另一个未知数的值,但代入变形后的方程③更简便一些.
[知识拓展] 1.当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时,用代入法比较简单.
2.若方程组中未知数的系数为1(或- 1),选择系数为1(或- 1)的方程进行变形,用代入法也比较简便.
3.如果未知数系数的绝对值不是1,一般选择未知数系数的绝对值最小的方程变形.
(补充)用代入消元法解方程组
〔解析〕 求方程组的解的过程叫做解方程组.由方程组的解的概念,可知解方程组就是要求出同时满足此方程组中的两个方程的x和y的值.
解:由①得x=y- 5.③ 把③代入②,得3(y- 5)+2y=10,解这个一元一次方程,得y=5,把y=5代入③,得x=0,所以原方程组的解为
[知识拓展] 用代入消元法解二元一次方程组时,一般用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,但并非绝对.如解方程组由①得2x- 3y=2③,将③代入②得+2y=9,解得y=4,再将y=4代入③得2x- 3×4=2,解得x=7,故方程组的解为这种整体代入的方法显然比常规方法简单很多,但无论是用哪一种方法进行代入消元,都应该达到同一个目的——消元.
代入法解二元一次方程组的一般步骤为:
(1)从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数,例如y,用含x的式子表示出来,也就是化成y=ax+b的形式;
(2)将y=ax+b代入方程组中的另一个方程中,消去y,得到关于x的一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程,求出x的值;
(4)把求得的x值代入方程y=ax+b中(或方程组中的任意一个方程中),求出y的值,再写成方程组解的形式;
(5)检验得到的解是不是原方程组的解.
1.把方程2x- 4y=1改写成用含x的式子表示y的形式是 .
解析:用含x的式子表示y,相当于把y看成未知数,把x看成已知数,解关于y的一元一次方程,结果为y=.故填y=.
2.方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
解析:将方程y=2x代入3y+2x=8得x=1,将x=1代入y=2x得y=2.故选B.
3.用代入法解方程组代入后化简比较容易的变形是 ( )
A.由①得x=
B.由①得y=
C.由②得x=
D.由②得y=5x- 2
解析:根据代入法解方程组的方法结合方程组的特征即可作出判断.由题意得代入后化简比较容易的变形是由②得y=5x- 2.故选D.
4.用代入法解下列方程组:
(1) (2)
解:(1) 把①代入②得3x- 2(2x- 3)=8,解得x=- 2.把x=- 2代入①得y=2×(- 2)- 3=- 7.所以原方程组的解为
(2) 由①得x=y+3③,把③代入②得3(y+3)- 8y=14,解得y=- 1,把y=- 1代入③得x=2.所以原方程组的解为
第1课时
1.代入法
(1)消元思想
(2)代入法
2.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第93页练习第1,2题.
【选做题】
教材第97页习题8.2第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.用代入法解方程组 时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是 ( )
A.3x+4y- 3=8 B.3x+4x- 6=8
C.3x- 2x- 3=8 D.3x+2x- 6=8
2.方程2x- y=3与3x+2y=1的公共解是 ( )
A. B.
C. D.
3.若5x2ym与4xn+m- 1y是同类项,则m2- n的值为 ( )
A.1 B.- 1
C.- 3 D.以上都不对
4.已知方程3x- 5y=2,用含x的代数式表示y,则y= .
5.解方程组.
【能力提升】
6.方程组的解为 ( )
A. B.
C. D.
7.用代入法解方程组 以下各式中代入正确的是 ( )
A.3a=2×b+1 B.3a=2×a+1
C.3a=2×a+1 D.3a=2a×6a+1
8.关于x,y的方程组的解是则|m- n|的值是 ( )
A.5 B.3 C.2 D.1
9.用代入法解方程组.
(1) (2)
【拓展探究】
10.已知关于x,y的方程组求出x与y的关系式.
【答案与解析】
1.D(解析: 把①代入②得:3x+2(x- 3)=8,去括号得:3x+2x- 6=8.故选D.)
2.B(解析:联立方程2x- y=3与3x+2y=1,求得二元一次方程组的解为故选B.)
3.B(解析:由题意得解得则m2- n=12- 2=- 1.故选B.)
4.y=(解析:移项,得- 5y=2- 3x,系数化1,得y=.)
5.解:把①代入②得5x- 3×3=1,解得x=2.把x=2代入①得y=1.因此原方程组的解是 (2)由①得x+3=3y,即x=3y- 3.③ 由②得2x- y=4.④ 把③代入④得y=2,把y=2代入③得x=3.因此原方程组的解为
6.D(解析: 由①得x=y+1,③ 把③代入②得y=2,把y=2代入③得x=3,∴原方程组的解为故选D.)
7.C(解析:由四个选项的特点可知,方程①变形代入②中,①可变形为b=,代入②得3a=2×+1.故选C.)
8.D(解析:把代入得解得所以|m- n|=|- 1|=1.或把代入方程组中的第二个方程x+my=n,解得m- n=- 1,所以|m- n|=1.故选D.)
9.解:(1) 由①得s=t③,把③代入②得t=,解得t=2,把t=2代入③得s=3.所以方程组的解为 (2) 由②得x=- 4y- 15③.把③代入①得3(- 4y- 15)- 5y=6,解得y=- 3,把y=- 3代入③得x=- 4×(- 3)- 15=- 3.所以方程组的解为
10.解:由x+m=6得m=6- x,将m=6- x代入方程y- 3=m即可消去m,得到关于x,y的关系式为x+y=9.
本课时首先利用较多的时间帮助学生领会消元的思想,为学生学习解方程组做好思路的指导,加上例题的详细解题过程的演示,较好地实现了本课时的学习目标.
在用哪种方法进行代入的问题上,没有注意提示学生代入的方法是多种的,也没有注意比较各种代入方法中有简繁之分.
加强对学生解题过程的指导,示范学生在解题过程中要有明确的思路.补充的例题可以让学生与上一个例题进行比较,在比较的过程中发现解题的要领和共同之处.
用代入消元法解方程组
〔解析〕 先对第一个二元一次方程进行变形,用含x的代数式表示y,然后把此关系式代入第二个二元一次方程,把y用含x的代数式换掉,得到一个关于x的一元一次方程,解一元一次方程求得x的值,最后把x的值代入关于y的关系式中,求得y的值.
解: 由①可得y=3x- 7③,把③代入②得5x+2(3x- 7)=8,解得x=2,把x=2代入③得y=- 1,由此可得二元一次方程组的解是
下列解方程组的步骤是否有错误?如果有,请指出来,并改正.
解方程组
解:由①得y=- 1- x.③ A
把③代入①,得x+(- x- 1)=- 1. B
x- x- 1=- 1,0·x=0, C
所以x是任意实数. D
同理,y也是任意实数.
所以这个方程组有无数个解. E
解:解方程组的步骤是有错误的.错误开始于步骤B.因为利用代入消元法解二元一次方程组时,把其中一个系数较简单的方程变形为用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,再代入到这个方程组中的另一个方程中去,而不能代入到变形前的那一个方程中去,例如本题中③是由①变形而来的,因此需把③代入②中,而非①中.改正如下:由①得y=- 1- x.③ 把③代入②,得2x- 3(- 1- x)=8,解得x=1.把x=1代入③,得y=- 2.所以原方程组的解为
第课时
在熟练掌握用代入法解二元一次方程组的基础上,初步体验用方程组解决实际问题.
通过情境问题使学生进一步理解代入消元法所体现的化归意识.
体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
【重点】 学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组.
【难点】 进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识.
【教师准备】 结合例题呈现的解方程组过程框图.
【学生准备】 回顾总结代入法解二元一次方程组的步骤.
导入一:
解方程组
通过观察,发现方程①中y的系数为- 1,因此,可先将方程①变形,用含x的代数式表示y,再代入方程②求解.除了这种方法之外,还有别的方法吗?
[设计意图] 这个方程组是用代入法解方程组中比较复杂的一种情形,意在引导学生在先前探索的基础上,尝试解比较复杂的二元一次方程组,进而总结解方程组的一般过程.
导入二:
解方程组:
一位同学的解法是:由①得x=.③ 把③代入②,….
这种方法计算量较大,容易出错.
提出疑问:是否还有更好的解答方法?
[设计意图] 这个方程组意在引导学生在解方程组前要仔细分析方程的特点,选取简捷有效的方法.对本题而言,把6y看作一个整体,代入消元,则会使解方程组变得简单许多.
[过渡语] 当方程组的未知数的系数不为1的时候,如何运用代入法解二元一次方程组呢?
一、例题讲解
思路一
(教材P92例2)根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?
〔解析〕 本题中含有两个未知量,一个是分装的大瓶数,另一个是分装的小瓶数.以这两个未知数为数量关系,可以建立起相关的两个等式,即:大瓶数∶小瓶数=2∶5,大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量.在此基础上通过列二元一次方程组可求解.
解:设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.根据大、小瓶数的比,以及消毒液分装量与总生产量的数量关系,得 由①,得y=x.③ 把③代入②,得500x+250×x=22500000.解这个方程,得x=20000.把x=20000代入③,得y=50000.所以这个方程组的解是答:这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
追问:在解这个方程组的时候,可以先消去x吗?
提示:可以.解法如下: 由①,得x=y.③ 把③代入②,得500×y+250y=22500000,解得y=50000.把y=50000代入③,得x=20000,所以这个方程组的解为
二、过程框图总结
读图指导:
(1)结合解方程组的过程,首先按照实线箭头的顺序观察框图.
(2)实线箭头指向完成后按照虚线箭头的指向,这个过程就是求出一个未知数的值之后,再求另一个未知数的值,也就是求方程组解的过程.
(3)如果换一种带入方式,这个框图的基本流程仍然适用.
思路二
出示教材P92例2
(1)列方程组.
提示:本题包含的两个等量关系是什么?
[处理方式] 学生独立分析,列出方程组,全班交流,这一过程中教师要注意引导学生如何从题意入手列出方程组.展示本题所列的方程组.
解:设这些消毒液应分装x大瓶、y小瓶,则
[设计意图] 寻
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