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24．3 锐角三角函数
24．3.1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数(1)
【知识与技能】
了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用．
【情感态度】
1．通过学习培养学生的合作意识．
2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．
【教学重点】
锐角三角函数的概念．
【教学难点】
锐角三角函数的概念的理解．
一、创设情景，导入新知
如图(1)、图(2)都可以用来测量物体的高度．
这两个问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题．
二、合作探究，理解新知
1．在Rt△ABC中，介绍某个角的对边、邻边的概念．
2．做一做：
(1)画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算．
(2)你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下．
(3)若∠A＝45°、60°时，则∠A对边与斜边之比＝______．
说明：学生独立思考后回答．教师强调：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变(如∠A＝30°)，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．
思考：一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？
先由学生发表意见，然后再引导学生观察几何画板演示的过程．
明确：在Rt△ABC中，对于锐角固定的一个值，它的对边与斜边的比都是一个固定不变的值，与Rt△ABC的大小无关．
为什么是这样呢？下面我们用相似形的知识来说明．
观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1∽Rt△________∽Rt△________．
∴＝＝…
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确定的．
同样，其对边与邻边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的．
3．锐角三角函数的定义
板书：在△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝＝.
同样可得出锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝.
我们把锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角A的三角函数．
想一想：当0°<∠A<90°时，sinA、cosA的值会在什么范围内？为什么？
这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，教师可适当点拨：直角三角形中斜边大于直角边．
在学生充分讨论的基础上，得结论0<sinA<1，0<cosA<1(∠A为锐角)．
例题讲解
例1：求出如图所示的Rt△ABC中，∠A的三个三角函数值．
解：Rt△ABC中，AB＝＝＝17.
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.
【教学说明】例1的设置是为了巩固三角函数的概念，通过教师示范，使学生会求三角函数值，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．
变式训练：(1)如果将题中的条件变为AB＝15，BC＝8或AC∶BC＝1∶2，你能求出∠A的三个三角函数值吗？
(2)若将条件AB＝15，BC＝8改为tanA＝2，你能求出∠A的其余三角函数值及∠B的三个三角函数值吗？
【教学说明】通过变式训练让学生明确这类题的解法：设比值法．
例2：已知：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，求AB、AC的值．
(学生独立思考，小组交流解题思路，师生共同寻求解题方法)
分析：本题已知直角三角形中锐角A的正弦值及直角边BC的长，要求斜边AB的长，可利用正弦函数的定义sinA＝求出；AC的长可利用勾股定理求出．
解：∵sinA＝，∴AB＝＝＝.
∴AC＝＝＝ .
变式训练：已知：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求sinB的值．
【教学说明】通过以上两题和变式训练的教学，使学生会用方程思想和设参数法解题，进一步明确锐角的三角函数值只与角的有关边的比值有关，而与它们的长度没有关系．
思考：你能根据三角函数的定义得出sin2A＋cos2A＝1吗？
引导学生利用三角函数定义及勾股定理解决．
三、尝试练习，掌握新知
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值 ( )
A．没有变化 B．扩大2倍
C．缩小2倍 D．不能确定
2.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，那么sinA的值等于 ( )
A. B.
C. D.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝4，则sinB的值是( )
A. B. C. D.
4.△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC∶AC等于( )
A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝1：，则c＝______a，sinA＝______，sinB＝______．
6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学会了什么？还有什么疑问？你还想知道什么？
引导学生从知识和方法上总结．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.教材习题24.3第1、2题．
2.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠A的其余三角函数值．
3.等腰△ABC，AB＝AC＝13，BC＝10，求∠B的三个三角函数值．
第2课时 锐角三角函数(2)
【知识与技能】
1．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．
2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【过程与方法】
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．
【情感态度】
经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．
【教学重点】
特殊角的三角函数值．
【教学难点】
与特殊角的三角函数值有关的计算．
一、创设情境，导入新知
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求∠A、∠B的三角函数值．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，求∠A、∠B的三角函数值．
说明：回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质．
二、合作探究，理解新知
问题1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，你能借助于常用的两块三角板或直接通过计算，根据锐角三角函数的定义，分别求出下列∠A的三角函数值吗？
(1)∠A＝30°；(2)∠A＝45°；(3)∠A＝60°.
分析：利用三角函数的定义及等腰直角三角形的两直角边相等，可求出45°角的各三角函数值；利用在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半可求出30°、60°角的各三角函数值．
思考：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的多少？若设30°所对的直角边是1，则斜边是多少？另一条直角边是多少？
解：如图，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，则AB＝2BC，由勾股定理，得AC＝＝BC，所以
sin30°＝sinA＝＝＝；
cos30°＝cosA＝＝＝；
tan30°＝tanA＝＝＝.
同理可求得：sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝.
你能仿照上面的解法，利用下图，求出45°的各三角函数值吗？试试看．
(答案：sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，提示：在此三角形中，BC＝AC＝AB.)
练一练：
1．计算sin30°·tan45°的值为( A )
A. B. C. D.
2．tan30°的值等于____．
3．等边三角形中，一个锐角的正切值是____．
问题2：在Rt△ABC中，若sinA＝，则cos＝______．
分析：逆用特殊角的三角函数值，已知三角函数值，可求出相应的特殊角．
解：由sinA＝，得∠A＝60°，所以cos＝cos30°＝.
练一练：
已知α是锐角，cos＝，则α等于( C )
A．30° B．45° C．60° D．90°
问题3：你能求出tan15°的值吗？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至D，使BD＝AB，则∠D＝15°.设AC＝k，则AB＝2k，BC＝k，所以CD＝BC＋BD＝BC＋AB＝(2＋)k，所以tan15°＝＝＝＝2－.
仿照上面的解题方法，你能求出tan22.5°的值吗？
分析：构造含22.5°的直角三角形，利用三角函数的定义求．
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝CB，延长CB到D，使BD＝AB，则∠D＝∠ABC＝22.5°.
在Rt△ACD中，设AC＝BC＝1，则BD＝AB＝，DC＝1＋.
所以tan∠ADC＝＝＝－1.
探究：下列式子成立吗？
1．sin75°＝sin45°＋sin30°；
2．sin60°＝2sin30°.
(答案：都不成立．)
3．计算：sin30°＋cos245°＋tan60°.
4．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，求sinA的值．
三、尝试练习，掌握新知
1．化简等于( )
A．1－ B.－1
C.－1 D.＋1
2．点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(，) B．(－，－)
C．(－，) D．(－，－)
3．在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则此三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．计算－tan45°的值是______．
5．已知△ABC中，(1)若∠C＝90°，∠B＝60°，a＋b＝6，求S△ABC；
(2)若tanA＝，∠B－∠C＝90°，求∠B、∠C的度数．
6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．计算：tan30°＝________．
2．△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，a＝，则b＝________．
3．计算：sin45°＋cos30°·tan60°－.(应有必要的运算步骤)
4．若α为锐角，且tan2α－(1＋)tanα＋1＝0，求α的度数．
5．教材第109页练习第3题，第111页习题24.3第3题．
24．3.2 用计算器求锐角三角函数值
【知识与技能】
1．会使用计算器求锐角三角函数的值．
2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角．
【过程与方法】
在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用．
【情感态度】
经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．
【教学重点】
利用计算器求锐角三角函数的值．
【教学难点】
计算器的按键顺序．
一、创设情境，导入新知
填表：
三角函数
锐角α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
从这张表格中你看出了什么？
由上表我们可以直接写出30°、45°、60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角．对一些非特殊的角(如32°)，怎样求它的四个三角函数值？这一节课我们就学习用计算器来完成这个任务．
二、合作探究，理解新知
1．求锐角三角函数值
(1)例题讲解
例1：求sin63°52′41″的值(精确到0.0001)．
分析：由于计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度， 所以我们必须先把角63°52′41″转换为“度”．
解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：
(设置)(角度单位)(度)，屏幕显示
再按下列顺序依次按键：
，
显示结果为0.897859012.
∴sin63°52′41″≈0.8979.
例2：求tan19°15′的值(精确到0.0001)．
解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出)，按下列顺序依次按键：
，
显示结果为0.3492156334.
∴tan19°15′≈0.3492.
以下部分学生完成．
(2)针对练习
教材练习第1题．
2．由锐角三角函数值求锐角
(1)例题讲解
例3：已知tanx＝0.7410，求锐角x.(精确到1′)
解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出)，按下列顺序依次按键：
，
显示结果为36.53844577.
再按键 ，显示结果为36□32□18.4.
∴x≈36°32′.
注意：由角x的三角函数值求角x，按键的次序有所不同，它与求角x的三角函数值是一个“互逆”的过程．
(2)针对练习
教材练习第2题．
三、尝试练习，掌握新知
1．已知tanA＝3.1478，利用计算器求锐角A.(精确到1′)
2．求下列各式的值：
(1)sin23°；(2)cos56°31′；(3)tan29°34′54″；
(4)tan35°25′.
3．用计算器求下式的值．
sin81°32′17″＋cos38°43′47″.
4．等腰△ABC中，顶角∠ACB＝108°，腰AC＝10 cm，求底边AB的长及△ABC的面积．
5．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
(让学生说出：怎样运用自己的计算器求出已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．)
利用计算器求出任意一个锐角的三角函数值，同时已知一个锐角函数值可求出这个锐角．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题24.3第4、5题．
2．比较大小cos25°______cos32°，tan29°______tan39°.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝29，AC＝25，求∠A的度数．
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