九年级数学投影与视图人教实验版五四制知识精讲.doc

九年级数学投影与视图人教实验版五四制
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
投影与视图

二. 重点、难点：
1. 重点：
（1）平行投影和中心投影
（2）正投影及其作用
（3）三视图及其画法
2. 难点：
（1）正投影的概念及其应用
（2）由视图到立体图形

三. 具体内容：
1. 平行投影和中心投影
详解：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。例如，物体在太阳光下形成的影子就是平行投影。物体所处的位置、方向及时间影响该物体的平行投影，同一时刻同一地点，不同物体的影子的长度与物体本身的长度成比例。
中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影。
引申：（1）平行投影的性质。
① 直线或线段的平行投影是直线或线段或一点；② 平行直线的平行投影是平行或重合的直线或是两点；③ 平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④ 与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤ 在同一直线或平行直线上的两条线段，平行投影的比等于这两条线段的比。
（2）平行投影与中心投影的关系。
① 联系：平行投影与中心投影都是投影现象，都是物体在光线下形成的影子。
② 区别：平行投影是在平行光线下所形成的投影。同一时刻，同一地点上的线段与线段若平行，则它们的影子平行或在同一条直线上，且线段的长与影长成比例；中心投影是在从一点发出的光线的照射下所形成的投影，同一光源下，物体与影子上的对应点所在直线相交于一点，即光源处。
2. 正投影
详解：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。在实际制图中，正投影有广泛的应用。其主要内容有线段的正投影、平面图形及立体图形的正投影。
（1）线段正投影分为三种情况。如图所示。

① 线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；
② 线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长。
③ 线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点。
（2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示。

① 当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
② 当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似。
③ 当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分。
（3）立体图形的正投影
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等。
警示：（1）正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影。
（2）由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影。
（3）由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的。
3. 正投影的作用
详解：要作出空间点在投影面上的正投影，就要过空间点作投影面的垂线，垂线与投影面的交点就是空间点在投影面上的正投影。
要作直线在投影面上的正投影，只要分别作出直线上两点在投影面上的正投影，然后过两投影点作直线即可。同理可作出平面图形和立体图形在投影面上的正投影。
4. 三视图
详解：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图，视图也可以看作物体在某一角度的光线下的投影。
用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面，一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。
主视图、俯视图、左视图合在一起叫做三视图。
拓展：（1）主视图反映物体的高和长，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。

（2）三视图与投影的关系密切，某些物体的三视图实际上是该物体在一定条件下所形成的平行投影，某些物体的主视图、左视图、俯视图可以看成在一束平行光线分别从物体的正面、左面、上面照射下，在垂直于这一方向的平面上所形成的投影。
（3）常见几何体的三视图如上图所示。
5. 画几何体的三视图
详解：画几何体的三种视图是表达自己所看到结果的重要方式，也是实际生活中常遇到的问题，因此是重点。因为三种视图是从不同方向看，易混淆，所以又是难点，要想解决好此类题，必须仔细观察物体，从不同的方向观察，分析它的形状、层次，初学者应认真借助于实物观察，但如果想提高自己的空间想象能力，必须脱离实物进行想象。
警示：（1）画三视图时，要保证：主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等，简称为“主与俯长对正，主与左高平齐，左与俯宽相等”。
（2）在画视图时，一定要将边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。
6. 由视图到立体图形
详解：通过视图描述物体的形状需要了解简单的、常见的、规则的物体的视图，要了解类似的物体的视图的联系与区别，如正视图是长方形的可以是四棱柱、三棱柱、圆柱等，俯视图是圆的可以是圆柱、球等。
根据物体的三视图想象物体的形状，一般是由俯视图确定物体在平面上的形状，根据左视图、主视图想象出它在空间里的形状，从而确定物体的形状。

【典型例题】
[例1] 如图所示是在一天之中某建筑物的影子，请你按时间先后顺序进行排列，并说明理由。

解：按时间先后顺序排列是③④①②。
因为，从早晨到傍晚，太阳光的照射方向是：西→西北→北→东北→东，相应的影子的方向是西→西北→北→东北→东，故顺序为③④①②。
点拨：解决本题的关键是弄清建筑物影子的方向与阳光照射的角度的关系。物体在太阳光下形成的影子的方向与太阳光照射的方向相同。

[例2] 与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB，晚上，幕墙反射路灯灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗？
解：作法如下：
① 连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；② 过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③ 在OG另一侧作∠POG=∠FOG且交EA延长线于点P。
P点即此时路灯光源位置，如图所示。

点拨：本题考查大家对中心投影概念的掌握熟练程度，由中心投影概念知点光源、物体顶端、物体影子顶端在同一条直线上。另外由光的反射定律。反射角等于入射角，可作出入射光线PO，从而确定点P的位置。
本题还有其他确定点P位置的作图方法，请同学们积极研究。

[例3] 如图所示是半径为5cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影图，请你设法计算出玻璃杯的内径。

解：由题意知，DB是玻璃杯内径，过球心O作DB的垂线交DB于点A，连结OB，并延长AO交球于C
因为OB=5cm，OA=20－12－5=3（cm）
所以DB=
即玻璃杯的内径为8cm。

[例4] 如图所示，小明晚上在大街上散步，当他站在如图所示的位置时，发现自己在路灯A下形成的影子顶部正好接触到路灯B的底部，已知路灯A的高度为9.6m，小明此时离路灯A30m，离路灯B6m，请你求出小明的身高。

解：设小明的身高为，根据三角形相似，得
解得
答：小明的身高为。
点拨：由于路灯可以看作是点光源，在中心投影中，表示光源的点，物体的顶端及其影子的顶端在同一条直线上。把问题转化为相似三角形的性质完成。

[例5] 如图所示，有甲、乙两座办公大楼，两幢楼都为10层，由地面向上依次为1层至10层，每层的高度均为3m，两楼之间的距离为30m。为了了解太阳光与水平线的夹角为
30°时，甲楼对乙楼的采光的影响情况，请你求出甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？
解：过E作EF⊥AB，垂足为F，则∠BEF=30°，设EC=hm
在Rt△BFE中，FE=AC=30m，AB=10×3=30（m）
所以BF=AB－AF=AB－EC=（30－h）m
因为，所以，所以
所以
，即甲楼的顶端B的影子落在乙楼的第五层。

点拨：要理解确定甲楼顶端的影子落在乙楼的层数取决于EC的高度。

[例6] 如图所示，阳光通过窗口AB照到仓库内，在地面上有3m宽的亮区DE，亮区一边到窗下的墙角的距离为CD=6m，窗口底边离地面的高BC=4m，试求窗口高AB的长。

解：由平行投影的特点可知BD//AE，所以△BCD∽△ACE
所以。因为
所以，解得，即窗口高AB的长为2m。
点拨：本题是三角形相似的知识和平行投影知识的综合应用，解题关键是通过∽，利用相似三角形的对应边的比相等。

[例7] 用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图如图所示，这样的几何体有多少种？它最少需要多少个小立方块？请你画出需要立方块最少的几何体的左视图和俯视图。

解：这样的几何体有无数种，它最少需要5个小立方块，这时几何体的左视图和俯视图如图所示。

点拨：解此题时，由主视图可知，从正面看有3列，第一、二列各有一个立方块，第三列有3个小立方块，故最少需5个小立方块，又因为从左面看没有指明有多少列，所以这样的几何体有无数种，只按从正面看到的平面图形的形状在后面依次排列小立方块即可。由最少需5块，可画出它的左视图和俯视图。
[例8]（巧题妙解）如图所示，是一个圆锥形容器，其主视图是边长为6cm 的正三角形ABC，一只蚂蚁在B处发现母线AC的中点P处有粮食，欲沿圆锥表面爬过去吃，求蚂蚁经过的最短路程是多少？（结果保留根号）

解：如图所示，把圆锥的侧面沿母线AC展开。

则扇形的弧长为，扇形的半径为
设扇形所对的圆心角为，因为，所以
又因为B是扇形弧的中点，所以
在中，
即这只蚂蚁经过的最短路程是。

[例9] 某工厂需加工100个油罐，客户给出了油罐的三视图（如图所示），请你帮助计算所需铁皮的面积。

解：根据题意可知，油罐为圆柱体，高为20，底面直径为16，则制作一个油罐用的铁皮的面积为：，则制作100个油罐需铁皮的面积为：。
答：制作这些油罐共需铁皮44800。
[例10] 如图所示是一个几何体的主视图和俯视图，求该几何体的体积。（取3.14）

解：
答：此几何体的体积约为。
点拨：几何体的下面是长方体，上面是圆柱。

【模拟试题】
1. 在同一时刻，身高1.6m的小明的影长是1.2m，旗杆的高为20m，则旗杆的影长为（ ）
A. 15m B. 16m C. 17m D. 18m
2. 如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而（ ）

A. 变大 B. 不变 C. 变小 D. 不能确定
3. 三角形的正投影是（ ）
A. 三角形 B. 线段 C. 直线或三角形 D. 线段或三角形
4. 小明把一个圆形铁片放在阳光下，其正投影的判断不正确的是（ ）
A. 可能是圆 B. 可能是三角形 C. 可能是椭圆 D. 可能是线段
5.（测试易错点）下列光源发出的光线形成的投影是平行投影的是（ ）
A. 车头灯 B. 太阳 C. 蜡烛 D. 路灯
6. 圆锥的三视图是（ ）
A. 主视图和俯视图是三角形，左视图是圆
B. 主视图和左视图是三角形，俯视图是圆
C. 主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆
D. 主视图和俯视图是三角形，左视图是带有圆心的圆
7. 下列几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的是（ ）
A. 圆台 B. 圆柱 C. 六棱锥 D. 球
8. 图甲中的三棱柱的主视图是图乙中的（ ）

图甲

图乙
9. （测试易错点）下图甲所示的物体的俯视图是图乙中的（ ）

图甲

图乙

试题答案
1. A 2. C 3. D 4. B 5. B 6. C 7. D 8. C 9. A