资源描述
3.4 二元一次方程组的应用
第1课时 二元一次方程组的应用(1)
教学目标
【知识与技能】
1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题,让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.
2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越性.
3.体会列方程组比列一元一次方程容易.
4.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力.
【过程与方法】
以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题.
【情感、态度与价值观】
1.确定解题策略,比较估算与精确计算.
2.培养分析、解决问题的能力,体会二元一次方程组的应用价值,增强数学的应用意识.
教学重难点
【重点】能根据题意找出等量关系,并能根据题意列二元一次方程组.
【难点】正确找出问题中的两个等量关系.
教学过程
一、创设情境,引入新课
复习提问:
列方程解应用题的步骤是什么?
学生回答:
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答.
教师讲述:
前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用方程组解决实际问题.
二、例题讲解
【例1】 某市举办中学生足球比赛,规定胜一场得3分,平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场,没有输过一场,共得27分.试问该队胜几场,平几场?
解法一 如果设该市第二中学足球队胜x场,那么该队平(11-x)场.根据得分规定,胜x场,得3x分,平(11-x)场,得(11-x)分.共得27分,得方程3x+(11-x)=27.解方程,得x=8.11-x=11-8=3(场).答:该市第二中学足球队胜8场,平3场.
解法二 设市第二中学足球队胜x场,平y场.由该队共比赛11场,得方程x+y=11.①
又根据得分规定,胜x场,得3x分,平y场,得y分,共得27分,因而得方程3x+y=27.②
解方程①、②组成的方程组,得
答:该市第二中学足球队胜8场,平3场.
【例2】 甲、乙两人相距4km,以各自的速度同时出发.如果同向而行,甲2h追上乙;如果相向而行,两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少?
分析 用示意图来表示数量关系,比较直观,便于找到相等关系.本例中“同时出发,同向而行”,可用下图表示.
“同时出发,相向而行”,可用下图表示.
【答案】 设甲、乙的速度分别是xkm/h、ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系,得
②×4+1,得4x=20,x=5.
将x=5代入①,得y=3.所以.
答:甲的速度是5km/h,乙的速度是3km/h.
三、巩固练习
1.某所中学现在有学生4 200人,计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11%,这样全校学生将增加10%,这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少?
2.有大、小两辆货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨,求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
【答案】 1.现在的初中在校生有1 400人,高中在校生有2 800人. 2.3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.
四、课堂小结
通过这节课的学习,你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗?
第2课时 二元一次方程组的应用(2)
教学目标
【知识与技能】
1.经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
2.能够找到实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组.
3.学会开放性地寻求设计方案,培养分析解决问题的能力.
【过程与方法】
通过经历积极思考、互相讨论、探索事物之间的数量关系的过程,形成方程模型意识.
【情感、态度与价值观】
在解方程和运用方程解决实际问题的过程中,进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
教学重难点
【重点】经历和体验用方程组解决实际问题的过程.
【难点】用方程组刻画并解决实际问题.
教学过程
一、创设情境,引入新课
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程,其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决.
教师出示问题:
玻璃厂熔炼玻璃液,原料是石英砂和长石粉混合而成.要求原料中含二氧化硅70%,根据化验,石英砂中含二氧化硅99%,长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2t原料中,石英砂和长石粉各多少吨?
二、例题讲解
分析:问题中涉及了哪些已知量和未知量?它们之间有何关系?引入未知数,填写下表:
石英砂
长石粉
原料总量
需要量
x
y
3.2
含二氧化硅
99%x
67%y
70%×3.2
【答案】 设需石英砂xt,长石粉yt.
由所需总量,得x+y=3.2.①
再由所含二氧化硅的百分率,得
99%x+67%y=70%×3.2.②
解由方程①、②组成的方程组,得
答:在3.2t原料中,石英砂0.3t,长石粉2.9t.
三、拓展练习,巩固概念
学生在手工实践课中,遇到这样一个问题:要用20张白卡纸制作包装纸盒,每张白卡纸可以做盒身2个或者做盒底盖3个.如果1个盒身和2个盒底盖可
以做在一个包装纸盒,那么能否将这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套?请你设计一种分法.
按以下步骤展开问题的讨论:
1.学生独立思考,构建数学模型.
2.小组讨论达成共识.
3.学生板书并讲解.
4.对方程组的解进行探究和讨论,从而得到实际问题的结果.
5.针对以上结论,你能再提出几个探索性的问题吗?
四、巩固练习
某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表:
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金正好够用?
【答案】 安排15公顷种水稻.20公顷种棉花.16公顷种蔬菜.
五、课堂小结
通过本节课的讨论,你对用方程组解决实际问题的方法又有何新的认识?
第3课时 二元一次方程组的应用(3)
教学目标
【知识与技能】
1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
2.会用列表的方法分析问题中所蕴涵的数量关系,列出二元一次方程组.
【过程与方法】
经历探索建立模型解决实际问题的过程,感受方程组作为刻画现实世界的有效模型的内涵.
【情感、态度与价值观】
1.培养学生实事求是的科学精神,认识数学的科学价值和人文价值.
2.在利用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.
3.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值.
教学重难点
【重点】用列表、画图的方法分析题意、建立模型.
【难点】如何应用列表法、图象法分析问题、建立模型.
教学过程
一、创设情境,引入新课
最近几年,全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面,为疏导电价矛盾,促进居民节约、合理用电,各地出台了峰谷电价试点方案.
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度.一般白天的用电比较集中、用电功率比较大,而夜里人们休息时用电比较少,所以通常白天的用电称为高峰用电,即8:00~22:00,深夜的用电是低谷用电,即22:00~次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元;低谷电价为每千瓦时0.28元.八月份小彬家的总用电量为125千瓦时,总电费为49元,你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗?
学生独立思考,并解答.
二、例题讲解
【例】 某村18位农民筹集5万元资金,承包了一些低产田地.根据市场调查,他们计划对种植作物的品种进行调整,改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表:
每公顷所需的人数
每公顷需投入的资金
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有的条件下,这18位农民承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有的人都有工作,且资金正好够用?
分析 怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”?能用等式来表示它们吗?根据题意列表如下:
面积
人数
投入
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
18
5
【答案】 设蔬菜的种植面积为xhm2,荞麦的种植面积为yhm2根据题意,得
解方程组,得承包田地的面积为x+y=4(hm2),人员安排为5x=5×2=10(人),4y=4×2=8(人).
答:这18位农民应承包4hm2的田地,种植蔬菜和荞麦各2hm2,并安排10人种蔬菜,8人种荞麦,这样能使所有的人都有工作,且资金正好够用.
教师引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路:合理设定未知数,找出相等关系.
三、巩固练习
1.某工厂现在年产值是150万元,如果每增加1 000元的投资一年可增加2 500元的产值,设新增加的投资额为x万元,总产值为y万元,求x、y所满足的方程.
2.学校购买35张电影票共用250元,其中甲种票每张8元,乙种票每张6元,设甲种票x张,乙种票y张,请列方程组并求解.
3.有一个两位数,其数字和为14,若调换个位数字与十位数字,就比原数大18,则这个两位数是多少?
【答案】 1.y=150+2.5x.
2.解得
3.这个两位数为68.
四、课堂小结
1.在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数,可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?
2.小组讨论, 试用框图概括“用二元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程.
学生思考、讨论、整理.
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