资源描述
勾股定理
教学目标：1．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程；并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力；
2．让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值；
3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．
教学重点：探索勾股定理的过程，会利用两边长求直角三角形的另一边长．
教学难点：用割、补法求面积探索勾股定理．
教学方法与教学手段：采用探究发现式教学，提供适当的问题情境．给学生自主探究交流的空间，引导学生有方向地探索．
教学过程：
创设情境 提出问题：
1．同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？
2．如果又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？
3．已知直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题．板６
8
x
书：直角三角形三边数量关系．
（图1）
（设计思路：这是对三角形三边的不等关系的回顾，让学生从原有的认知水平出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的目标，让学生体会到当一般性的问题不好解决时，可以先将一般问题转化为特殊问题来研究．）
实践探索 猜想归纳：
1.我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？
课件展示：平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式．
（a＋b）(a－b)＝a2－b2 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad （a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd
今天，让我们试一试通过计算图形的面积能不能得到直角三角形三边数量关系．
（设计思路：从学生已有的学习经验出发，将探求边长之间的关系转化为探求面积之间的关系，让学生觉得解决今天问题的方法并不陌生，增强探索问题的信心．）
2.（课件展示图2）观察图形，我们分别以直角三角形ABC的三边为边向形外作三个正方形．若将图形①②③④⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？
（图2）
通过拼图，你有什么发现？
（设计思路：以BC为边的正方形面积与以AC为边的正方形面积的和等于以AB为边的正方形面积．拼图活动，引发了学生的猜想，增加了研究的趣味性，锻炼了学生的空间思维能力和动手能力，体现了活动——数学的思想．）
3．拼图活动引发我们的灵感，运算推演证实我们的猜想．为了计算面积方便，我们可将这幅图形放在方格纸中．如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出图中三个正方形的面积．你是如何得到的？如何计算SR（几何画板）？
（图3）
（图4）
(图5)
（图4）
（图6） （图7）
（设计思路：SR的求法是这节课的难点，这时可让学生先在学案上独立分析，再通过小组交流，最后由小组代表到台前展示．学生可能提出割（图4）、补（图5）、平移（图6）、旋转（图7）等方法，旋转这种方法只适用于斜边为整数的情况，没有一般性，若有学生提出，应提醒学生．）
4．肯定学生的研究成果，进而让学生打开书回顾课本上的提示．从小明、小丽的方法中你能得到什么启发？
（设计思路：把图形进行“割”和“补”，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，让学生体会将较难的问题转化为简单问题的思想．）
5．再给出直角边为5和3的直角三角形（图8），让学生计算分别以三边作为边所作的正方形面积（几何画板）．
（图8）
（设计思路：这是转化思想，也是“割补”方法的再一次应用．在前面的探求过程中，有的学生没能自己做出来，提供再一次的机会，可让全体学生再次感受转化思想，体验成功的乐趣．）
6．通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？同学们还有什么疑问吗？
利用方格纸，我们方便计算直角边为整数的情况，若直角边为小数时，所得到的正方形面积之间也有如上关系吗？
将网格线去掉，利用《几何画板》的度量工具可以看到SP＋SQ＝SR．
（设计思路：以直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．如果学生提出我们讨论的都是边长为整数的直角三角形情况，那么边长是小数时，结论是否成立？教师就演示以下实验（几何画板演示），利用几何画板的高效性、动态性反映这一过程，让学生体会到更多的特殊情形，从而为归纳提供基础，这样归纳的结论更具有一般性，学生的印象也更深刻．）
7．我们这节课是探索直角三角形三边数量关系．至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？
面积是边长的平方，面积间的等量关系转化为边长间的等量关系，即直角三角形三边的等量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．
（设计思路：这一问题的结论是本节课的点睛之笔，应充分让学生总、交流、表达．）
8．用弯曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，板书勾股定理，进而给出字母表达式．一段紧张的探索过程之后，播放一段有关勾股历史的录音．
（设计思路：这样既活跃了课堂气氛，又展现了勾股历史，激发学生热爱祖国悠久历史文化，激励学生发奋学习的情感．）
9．阅读课本，提出问题．
（设计思路：让学生有将知识内化为自己的知识结构的过程，教师巡视，对有困难的同学给予帮助，促进全班同学共同进步，体现面向全体的教学原则．）
课堂练习 巩固新知：
1．完成课本第79-80页练习第1、2题．
（1）求下列直角三角形中未知边的长：
（2）求下列图中未知数x、y、z的值：
（设计思路：充分利用课本，在前面阅读的基础上做课本上的练习题．教师提问，让学生口答，老师再规范板书一题．通过对勾股定理的基本应用，让学生知道已知直角三角形三边中的任意两边，可以求第三边．）
2．如图：一块长约80 m、宽约60 m的长方形草坪，被几个不
自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，这种情况在生活中时有发
生．请问同学们：
（1）这几位同学为什么不走正路，走斜“路”？
（2）走斜“路”比正路少走几步呢？
（3）他们这样做，值得吗？
（设计思路：这是一道贴近学生生活的实例，在勾股定理的运用中渗透了德育教育．）
课堂小结：
通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你认为还有什么要继续探索的问题？
学生可以谈本节课的收获，也可以提出本节课的疑问．教师引导学生思考特殊的三角形直角三角形三边有特殊的等量关系，一般三角形三边是否也存在一种等量关系呢？这是我们今后将要探讨的内容．
（设计思路：学生总结本堂课的收获，从内容、应用，到数学思想方法，获取知识的途径等方面，给学生自由的空间，鼓励学生多说．这样引导学生从多角度对本节课归纳总结，感悟点滴，使学生将知识系统化，提高学生素质，锻炼学生的综合及表达能力．最后提及的问题与引入首尾呼应，激发了学生深入研究的兴趣．）
课堂作业：（见附页）
课后作业：（1）课本82页第1、2题. 课本PT补充习题P伴你学P
（2）在某些网页中你可以找到有关勾股定理的丰富的内容，请你结合本节课的学习和从网上或书本上自学得到的知识写一篇有关勾股定理的小论文，题目自定，一周后交给课代表并展示交流．
（设计思路：作业的多元化、多层次，有利于全体学生的全面素质发展．）
教材分析：
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（苏科版），八年级上册第三章第一节“勾股定理”的第一课时．勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范，它可以解决许多直角三角形中的计算问题．学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解．
点评：
本节课根据学生的认知结构采用了“观察——猜想——归纳——验证——应用”的教学流程，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想．
本节课从学生的原有认知出发，提出问题，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理．教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探究勾股定理的活动，在此基础上，为了更好地展示这一探索过程，教师先引导学生回顾利用图形面积探求数学公式的经历，以此确定研究方法，继而设计了剪纸活动，从中引发学生的猜想，再利用几何画板这一工具带领学生从直角边分别为3和4的直角三角形到更多的任意直角三角形的研究，让学生充分经历这一观察、猜想、归纳的过程．通过对特殊到一般的考查，让学生主动建立由数到形，由形到数的联想，从中使学生不断积累数学活动的经验，归纳出直角三角形三边数量之间的关系．在教学中鼓励学生采用观察分析，自主探索，合作交流的学习方法，培养学生主动的动手、动脑、动口的学习习惯和能力，使学生真正成为学习的主人．
除了探究出勾股定理的内容以外，本节课还适时地向学生展现勾股定理的历史，特别是通过介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生爱国热情，培养学生的民族自豪感和探索创新的精神．
练习反馈中既有勾股定理的基本应用，还有贴近学生生活的实例，既让学生感受到学习知识应用于生活的成就感，又使学生深刻了解勾股定理的广泛应用．题目的设计中渗透了德育教育，拓展了学生的空间思维，使得一节几何课全面地考查了学生的各方面思维能力．
本节课一直在围绕直角三角形三边关系展开，锐角三角形、钝角三角形三边有何种数量关系？也许学生会有这样的疑问，学生通过本节课的探索已经能熟练地应用割补思想计算边不落在格线上的正方形面积，那为何不在课堂上解决练一练中的第3题？这样既能又一次为学生创造利用割补思想求面积的练习机会，又能引发学生对三角形三边关系的一个全面认识，适时地完成知识的迁移．
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