资源描述
12.1 二次根式
教学目标
1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；
2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；
3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．
教学重点
探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．
教学难点
1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；
2．理解、掌握、运用二次根式性质（）2＝a（a≥0）．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情景引入：
情景一 这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．
如果该正方形的面积为30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？
如果该圆的面积为S m2，你知道该圆的半径是多少吗？
情景二
这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是am．同学们知道这根钢索的长度吗？
观察图片，回答问题．
学生一：正方形的边长是m；
学生二：圆的半径是 m；
学生三：钢索的长度是m．
给学生展现生活中常见的两张图片，让学生感受到数学知识的学习的源动力来自于生活，激发学生探求数学知识与生活中的实际问题联系的欲望，避免知识的机械呈现．
课题引入：
、、、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？
积极思考，回答问题．
1．这些式子都含有根号…；
2．符合这些特征的式子有：、、、…．
从由学生熟悉的情景入手得到式子，结合平方根的概念，引导学生理解所给的一些式子的实际意义，从而自然给出二次根式的意义．
思考探索一：
1．例1下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）（x、y异号）．
2．说一说，下列各式是二次根式吗？ 为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）（m≤0）
3．（ 1）当a＜0时，有意义吗？为什么？
（2）当a≥0时，可能为负数吗？为什么？
1．互相讨论，踊跃回答：
参考答案：（1）、（2）是二次根式，（3）、（4）都不是．
2．独立思考，直接回答：
参考答案：（1）、（3）、（4）是二次根式，（2）不是．
3．集体讨论，代表解答：
（1）没有意义，因为负数没有算术平方根；
（2）不可能，即是非负数，当a≥0时，≥0．
通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，问题设置的目的，是使学生充分理解二次根式的意义．
思考探索二：
1．例2 x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．练习：课本P149第1题．
1．小组讨论，代表回答：
（1）解：由二次根式的意义知：x＋1≥0，∴x≥－1，
∴当x≥－1时， 式子在实数范围内有意义．
（2）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有x2＋2≥0．
∴x取任何实数时，式子在实数范围内都有意义．
（3）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有－x2≤0，
又∵二次根式的被开方数大于等于零；
∴－x2≥0，∴x2＝0，即x＝0 ，
∴当x＝0时， 式子在实数范围内有意义．
（4）解：由题意知：
．
∴3－2x＞0，∴x＜，
∴当x＜时，在实数范围内有意义．
2．独立思考，直接回答．
通过学生相互讨论设置的问题2，侧重巩固对二次根式意义的理解，提高学生分析问题的能力，培养学生善于思考、精益求精的良好思维习惯，培养学生缜密、严谨的逻辑推理能力．
思考探索三：
1．的意义是什么？你会计算（）2吗？类似地，（）2、（）2、（）2、（）2的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（）2的结果是什么？
2．例3 计算：
（1）（）2；（2）（）2；
（3）（）2（a＋b≥0）．
3．例4 计算：
（1）（）2－（）2；
（2）（3）2；（3）（－2）2．
4．如图，长3米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．
3
5．练习：《课本》P149第2题．
1．小组交流，代表回答：
是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，（）2＝2，同理：（）2＝4，（）2＝9，（）2＝0．01，（）2＝30．
事实上，（a≥0）是a的算术平方根，根据算术平方根的意义，可知：当a≥0时，（）2 ＝ a．
2．解：（1）（）2 ＝ 12；（2）（）2 ＝；
（3）当a＋b≥0时，（）2＝a＋b．
3．解：（1）（）2－（）2 ＝ x 2＋1－x2＝1；
（2）（3）2＝32×（）2＝9×6＝54；
（3）（－2）2＝（－2）2×（）2＝4×＝2．
4．h＝4米．
5．略．
通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳猜想二次根式的性质，再运用算术平方根的意义进行科学的说理验证．
通过问题2的设置，理解二次根式的性质，能直接运用其性质解决问题．
通过问题3、4的设置，理解二次根式的性质，能运用其性质解决一些简单的综合性的问题，提高学生的计算、理解和综合运用能力．
总结：
1．二次根式的意义；
2．二次根式有意义的条件；
3．二次根式的基本性质．
讨论后共同小结．
师生互动，锻炼学生严谨的口头表达能力，培养学生有条理地梳理知识点、有目的地整合知识点之间的能力．
课后作业：
1．《课本》P151第1、2题．
2．思考：若实数x、y满足＋（y＋2）2＝0，求y x 的值．
独立完成，自查反馈．
进一步理解二次根式的意义与二次根式基本性质的运用．
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