九年级数学下册 27.1 比例性质、黄金分割教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级下册数学教案.doc

27.1 比例性质、黄金分割
一、教学目标
1．核心素养
通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．
2. 学习目标
（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题．
（2）知道黄金分割的定义，并能运用.
3．学习重点
（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．
（2）了解黄金分割的意义，并能运用.
4．学习难点
运用比例的基本性质解决有关问题；黄金比，找黄金分割点.
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1 上网学习，思考：什么是比例的基本性质？什么是合比性质？什么是等比性质？怎么推导？
任务2 上网学习，思考：什么是黄金分割？黄金比是多少，怎么得来？黄金分割有怎样的应用？
2．预习自测
1.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【知识点:比例性质】
答案：C
解析：略
2.已知点M是线段AB的黄金分割点(AM>BM)，若AB=8cm，则AM的长为（ ）
A.(4–4)cm B.(12-4)cm C.(2–2)cm D.(6-2)cm
【知识点:黄金分割】
答案：A
解析：略
3.若x：6=(5+x)：8,则x=______.
【知识点:比例基本性质】
答案：x=15
解析：略
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.
（2）比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
（3）比例：表示两个比相等的式子叫做比例.
2．问题探究
问题探究一 什么是比例的基本性质？ 重点、难点知识★▲
●活动1 交流学习，合作探究
探究：已知80：2=200∶5，仔细观察：两个外项和两个内项，你发现了什么？
80 × 5=2 ×200
两外项积是：80×5＝400
两内项积是：2×200＝400
验证：6:10=9:15，，，2.4：3=5.6：7.
归纳：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．这叫做比例的基本性质.
比例的基本性质：若四条线段满足，则有ad=bc．
●活动2 探究：已知 a·d=b·c，你能得到哪些比例式?

对调内项或外项后，比例依然成立!!
归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：
反比性质(把比的前项、后项交换)：．
●活动3 例题讲解，比例基本性质的应用
例1：判断：5x=6y，则x：y=5：6（ ）
【知识点:比例基本性质】
解：× 由比例的基本性质得6x=5y，与已知5x=6y不符，所以错误.
点拨：在改写比例时，x作外项，和x相乘的5一定也作外项。把ax=by改写成比例式后，a和x必须同时为外项，或同时为内项。
例2.已知1.3：x=5.2：(x+30), 则x=________.
【知识点:比例基本性质】
解：由比例的基本性质得5.2x=1.3(x+30)，解得x=10.
点拨：由比例的基本性质转化为解方程.
●活动3 应用练习
1.把1.6、6.4、20和5四个数组成比例式，应为______________.
【知识点:比例基本性质】
解：答案不唯一，如1.6：6.4=5：20.
2.已知=6y，则y：x=________ ．
【知识点:比例基本性质】
解：5：18 由=6y，得5x=18y，由比例的基本性质y：x=5：18.
问题探究二 什么是合比性质？什么是等比性质？ 重点、难点知识★▲
●活动1 让学生通过计算、推理证明，得出合比性质.
合作探究：
（1） 已知=3,求和；
（2） 如果=k（k为常数），那么成立吗？为什么？
（3） 如果，那么成立吗？为什么？
在学生的分析、讨论下，可得出;
（1）∵=3，∴a=3b，c=3d，则，．
（2）∵=k，∴a=kb，c=kd，∴，，
∴．
（3）∵=k，∴a=kb，c=kd，∴，，
∴．
归纳：合比性质：如果，那么．
●活动2 引导学生探究，得出等比性质.
探究1：如图的值相等吗？的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？

分析：由已知可得，所以
．
发现：若干个比的比值相等，且所有分母的和不为0,则所有分子的和与所有分母的和之比值与原来这些比的比值相等。
探究2：如果==…=（b+d+f…+n≠0）, 那么吗？
解：设比值法：

归纳：等比性质：如果==…=（b+d+f…+n≠0）,那么．
●活动3 例题讲解
例1.若，则；．
【知识点:合比性质】
解：∵，由合比性质，得，．
例2.若，则
【知识点:等比性质】
解：∵，∴
●活动3 应用练习
1. 已知，则，．
【知识点:合比性质】
解：，.
2. 若, 则，.
【知识点:等比性质】
解：.
问题探究三 什么是黄金分割？怎么求黄金比？ 重点、难点知识★▲
●活动1. 探究黄金比. 动手操作，然后算一算，完成下面的填空：
度量线段AC、BC的长度，线段AC=____，BC=____，计算=____,=____, 与的值相等吗？

活动2 计算黄金比. 你能求出黄金比吗？引导学生通过列方程求出黄金比。

归纳：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其中=≈0.618. 即，简记为：．
说明：黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个.
黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为，精确到0.001为0.618.
●活动3 确定黄金分割点.
提出问题：如何找到一条线段的黄金分割点？引导学生用尺规作图找出一条线段的黄金分割点。
合作探究，用尺归作图作一条线段的黄金分割点.
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.
点C即为线段AB的黄金分割点.
●活动4 黄金比的应用
例： 如图，已知等腰ΔABC中，AB=AC，，BD平分交BC于点D，求证：。

分析：由题意可证得BC=BD=AD。
易证ΔBDC∽ΔABC，可得，即，
∴点D是AC的黄金分割点，∴，故。
归纳：黄金三角形：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金三角形.
黄金矩形：宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.
●活动5 应用练习
⒈已知线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC=________,BC=________.
【知识点：黄金分割，黄金比】
解：，.
2.点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若AB=20cm，则CD=_______cm.
【知识点：黄金分割，黄金比】
解：.
●活动6 课外在网上去搜索黄金分割的应用.
3．课堂总结
【知识点梳理】
（1）比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积．即若，则ad=bc．
（2）更比性质：交换比例的内项或外项，比例仍成立．即．
（3）反比性质：把比的前项、后项交换，比例仍成立．即．
（4）合比性质：在一个比例里，第一个比的前后项的和（或差）与它后项的比，等于第二个比的前后项的和（或差）与它的后项的比.即如果，那么．
（5）等比性质：如果==…=（b+d+f…+n≠0）,那么
（6）黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其中=≈0.618.
（7）黄金三角形：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金三角形.
黄金矩形：宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.
【重难点突破】
（1）比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．
（2）等比性质的证明可运用“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，引入比值k的方法是解决有关比例计算变形中的一种重要方法，以后经常会用到．应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
（3）黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个.若点C、D是线段AB的两个不同的黄金分割点，则.
4．随堂检测
（1）把mn=pq写成比例式写错的是（ ）

【知识点：比例的基本性质】
答案：D
解析：略
（2）若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：略
【知识点：比例的合比性质】
（3）若，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【知识点：比例的性质】
答案：C
解析：略
（4）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【知识点：黄金比】
1. 答案：C
解析：略
二、填空题
（5）0.618是黄金分割率，当环境温度与人的正常体温（36.5℃）的比值等于黄金分割率时，机体的新陈代谢、生理节奏功能均处于最佳状态，则环境温度为________时，人感到最舒适.
【知识点：黄金分割率】
2. 答案：22.6℃
解析：略

（三）课后作业
基础型 自主突破
1. 已知，则x的值是（ ）
A. B. C. D.
【知识点：比例性质】
答案：B
解析：略
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.
【知识点：比例性质】
答案：A
解析：略
3. 若3a=4b，则下列各式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点：比例性质】
答案：D
解析：略
4. 已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC 2=BC•AB，则下列式子成立的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点：黄金分割】
答案：B
解析：略
5. 若线段AB=2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A. B. C. D.
【知识点：黄金分割】
答案：D
解析：略
6. 已知，，则（ ）
A．1 B．3 C．2 D．5
【知识点：比例性质】
答案：C
解析：略
能力型 师生共研
7. 若a、b、c、d是互不相等的正数，且，则下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点：比例性质】
答案：D
解析：略
8. 已知：，且2x-3y+z=10，则x+y+z=（ ）
A．90 B．-90 C．70 D．-70
【知识点：比例性质】
答案：B
解析:∵，∴x=2k,y=3k,z=4k.
∵2x－3y+z=10，2×2k－3×3k+4k=10
解得，
∴x+v+z＝2k+3k＋4k=9k==﹣90.
故选B
9. 如果，那么k的值为（ ）
A．-1 B． C．2或-1 D．或-1
【知识点：比例性质；数学思想：分类讨论】
答案：D
解析：∵，∴c=k(a+b), a=k(b+c), b=k(a+a).
∴a＋b＋c＝k(a+b)+ k(b+c)+ k(a+a)=2k(a+b+c).
当a＋b＋c＝0时，
当a＋b＋c≠0时，2k=1，∴
故选D
10.人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感．某女士身高1.65m，下半身1m，她应选择穿多高的高跟鞋看起来更美丽？（精确到0.1cm）
【知识点：黄金分割，黄金比；数学思想：方程思想】
答案：见解析
解析：设她应选择高跟鞋的高度是x cm，则，解得：x≈5.2cm．
经检验知x≈5.2是原方程的解，
故她应选择穿5.2cm的高跟鞋看起来更美丽
探究型 多维突破
11.宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形的画法：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH

【知识点：黄金分割，黄金矩形】
答案：D
解析：∵CG=，GH=2CF， ∴．
∴矩形DCGH是黄金矩形．
故选D．
12.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且（c-a）︰（b-2a）︰（2c-b）＝4︰1︰7，试判断△ABC的形状。
【知识点：比例性质，直角三角形的判定】
答案：见解析
解析：解：由题意，得.
设，
则 解得∴
因为,
即. 所以此三角形是直角三角形.
自助餐
一、选择题
1.若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A.2a=3b B.3a=2b C. D.
【知识点：比例性质】
答案：B
解析：略
2.若，则为（ ）
A. B. C. D.
【知识点：比例性质】
答案：A
解析：略
3.已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（ ）
A. B. C. D.
【知识点：黄金分割】
答案：D
解析：略
4.已知：，且a+c+e=8，则b+d+f等于（ ）
A．4 B．8 C．32 D．2
【知识点：比例性质】
答案D
解析：略
5.若，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c的值是（ ）
A．14 B．42 C．7 D．
【知识点：比例性质】
答案：D
解析：略
6.设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（ ）
A．3b=2c B．3a=2b C．2b=c D．2a=b
【知识点：比例性质】
答案：A
解析：略
7.2∶3 = ( 5-x)∶x中的x= .
【知识点：比例性质】
答案：3
解析：略
8.已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若CD=20cm，则AB=_______cm.
【知识点：黄金分割、黄金比】
答案：
解析：略
9.若，则.
【知识点：比例性质】
答案：
解析：解：设，则a=2k, b=3k, c=5k.
∴.
故答案为
10.在△ABC与△DEF中，已知，且△ABC的周长为18厘米，求△DEF的周长.
【知识点：比例性质】
答案：见解析
解析：∵，∴.即.
又因为△ABC的周长为18厘米，所以S△DEC＝厘米，
即△DEF的周长为18厘米.
11.已知线段a，b，c，d成比例，求证：.
【知识点：比例性质】
答案：见解析
解析：∵a，b，c，d成比例，∴，①
∴，②
，③
②÷③，可得.