1、幂的运算及整式乘法【典型例题】一. 幂的运算 1. 同底数幂的乘法： 首先观察： （1）2324=(222)(2222)=27 （2）5354=(555)(5555)=57 （3）a3a4=(aaa)(aaaa)=a7 观察后得到运算的法则=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 即aman=am+n（m、n为正整数） 例1. 计算： （1）7375（2）y5y2（3）aa3an （4）amam+3（5）P2(P)4（6）(x)3x5 分析：解决此题关键是正确掌握同底数幂的乘法法则：aman=am+n（m、n为正整数），且注意有关符号的变化：(P)4=P4，(x)3=x3 解：（1）7375=73
2、+5=78 （2）y5y2=y5+2=y7 （3）aa3an=a1+3an=a4an=a4+n （4）amam+3=am+m+3=a2m+3 （5）P2(P)4=P2P4=P6 （6）(x)3x5=x3x5=x8 注意： 1. 同底数幂的乘法是幂的运算的基础，非常重要。 2. 由（3）可知amanaP=am+n+P（m、n、P均为正整数） 例2. 计算： （1）(a)4(a)2(a) （2）(a)4(a2)(a) （3）x5x3x4x4+x7x+x2x6 （4）33363236+3(3)7 分析：上面几个题目均较为复杂，但主要是运用同底数幂相乘的法则，底数不同的要化成相同才能使用法则，而且是同
3、类项的要合并。 解（1）(a)4(a)2(a)=(a)4+2+1=(a)7 （2）(a)4(a2)(a) =a4(a2)(a)=a4a2a=a4+2+1=a7 （3）x5x3x4x4+x7x+x2x6=x5+3x4+4+x7+1+x2+6=x8x8+x8+x8=2x8 （4）33363236+3(3)7=33+632+6+3(37)=393838 =39238=338238 =(32)38=38 2. 幂的乘方： 观察： （1）(23)2=2323=26 （2）(32)3=323232=32+2+2=36 （3）(a3)4=a3a3a3a3=a34=a12 这也就是说：幂的乘方，底数不变，指数
4、相乘。 例3. 计算： （1）(103)5（2）(an)2（3）(am-3)2 （4）(3x2y)23（5）(x)2m（6）(x2)m 分析：解答此题的关键是掌握幂的乘方性质，即：底数不变，指数相乘。(am)n=amn（m、n为正整数） 解：（1）(103)5=1035=1015 （2）(an)2=a2n （5）(x)2m=(x2)m=x2m （6）(x2)m=x2m 例4. 计算： （1）(a2)8(a4)4（2）(3x)3(x2)4 （3）(x3)2(x2)3（4）(xy)23(yx) 解：（1）(a2)8(a4)4=a28a44=a16a16=a16+16=a32 （2）(3x)3(x2
5、)4=(3x)3(x2)4=(3x)3x24=(33x3)x8 =33x3+8=33x11 （3）(x3)2(x2)3=(x3)2(x2)3=x6(x6)=x12 （4）(xy)23(yx)=(xy)6(xy)=(xy)6(xy)=(xy)7 3. 积的乘方： 观察： （1）(ab)2=(ab)(ab)=(aa)(bb)=a2b2 （2）(ab)4=(ab)(ab)(ab)(ab)=(aaaa)(bbbb)=a4b4 可得：(ab)n=anbn（n为整数） 这就是说：积的乘方等于各因数乘方的积。 例5. （1）(2b)3（2）(2a3)2 （3）(a)3（4）(3x)4 解：（1）(2b)3=
6、23b3=8b3 （2）(2a3)2=22(a3)2=4a6 （3）(a)3=(1)3a3=a3 （4）(3x)4=(3)4x4=81x4 例6. 计算： （1）(x2)3(x2y)2（2）x8y6(x4y3)2（3）2x10(2x5)2 （4）850.1255（5）1622442（用2n的形式表示） 解：（1）(x2)3(x2y)2=x6x4y2=x10y2 （2）x8y6(x4y3)2=x8y6x42y32=x8y6x8y6=0 （3）2x10(2x5)2=2x104x10=2x10 （5）1622442=(24)224(22)2=282424=28+4+4=216二、整式的乘法： 1.
7、单项式与单项式相乘： 例7. 计算： （1）3x2y（2xy3） （2）(5a2b3)(4b2c) 解：（1）3x2y（2xy3）=3(2)(x2x)(yy3) =6x3y4 （2）(5a2b3)(4b2c)=(5)(4)a2(b3b2)c=20a2b5c 单项式与单项式相乘的法则：只要将它们的系数相乘，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 例8. 计算： （2）(3.2103)(5105) （3）(4a2b5c)3ab6(7b2c3) 解： =5x6y5 （2）(3.2103)(5105)=3.25(103105)=16108=1.610
8、9 （3）(4a2b5c)3ab6(7b2c3) =(4)3(7)(a2a)(b5b6b2)（cc3） =84a3b13c4 2. 单项式与多项式相乘： 例9. 计算： （1）2a2(3a25b) （2）(2a2)(3ab25ab3) 解：（1）2a2(3a25b)=2a23a22a25b=6a410a2b （2）(2a2)(3ab25ab3)=(2a2)(3ab2)(2a2)(5ab3) =6a3b2(10a3b3) =6a3b2+10a3b3 单项式与多项式相乘的法则：将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。 例10. 计算：x(x21)+2x2(x+1)3x(2x5) 解：原式=
9、x3x+2x3+2x26x2+15x =3x34x2+14x 例11. 已知：ab2=6，求ab(a2b5ab3b)的值。 分析：此题应该先将单项式与多项式相乘，得出一些关于ab2的代数式，然后再求结果。 解：ab(a2b5ab3b) =a3b6+a2b4+ab2 =(ab2)3+(ab2)2+ab2 = (6)3+(6)2+(6) =216+366 =246 3. 多项式乘多项式： 先研究(m+n)(a+b)： 将(m+n)看成一个整体，有(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b =ma+na+mb+nb 由此可知，多项式乘多项式的法则：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以
10、另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 例12. 计算： （1）(x+2)(x3)； （2）（3x1）(2x+1) 解：（1）(x+2)(x3)=x23x+2x6=x2x6 （2）（3x1）(2x+1)=6x2+3x2x1=6x2+x1 例13. 计算： （1）(x3y)(x+7y)； （2）(2x+5y)(3x2y) 解：（1）(x3y)(x+7y)=x2+7xy3yx21y2=x2+4xy21y2 （2）(2x+5y)(3x2y)=6x24xy+15yx10y2=6x2+11xy10y2 例14. 先化简，再求值： 6x2+(3x2)(12x)+(x+2)(3x)，其中x=1 解：6x2
11、+(3x2)(12x)+(x+2)(3x) =6x2+(3x26x2+4x)+(3x+6x22x) =6x2+3x26x2+4x+3x+6x22x =x2+8x+4 =(1)28+4 =5。 例15. 若不论x取何值，多项式x32x24x1与(x+1)(x2+mx+n)都相等，求m、n。 分析：先求出（x+1）与（x2+mx+n）的积，再比较积与x32x24x1的系数。它们对应项的系数应分别相等。 解：(x+1)(x2+mx+n)=xx2+xmx+xn+x2+mx+n =x3+(m+1)x2+(m+n)x+n 因为不论x取何值，两多项式相等，所以m+1=2 n=1 即m=3，n=1 本课小结：
12、 1. 在幂的运算中，很多情况下要注意观察是否是同底数幂，若是才可以用其法则，否则，不可以用其法则。 2. 在整式的乘法中，要注意熟记这些法则，而且还要继续注意在使用幂的运算时观察其底数。【模拟试题】 1. 计算： （1）(x4)3，（2）(y3)2(y2)3，（3）3y2y35yy4， （4）(P)2(P)3P4PP3(P)5 （5）t2(t3)2，（6）8x62(x2)3，（7）(xx2x3)4，（8）(y2)24 （9）12y82y2(y2)33(y4)24(yy3)2 （10）x3(x2y)4，（11）(x2x3+m)3 （12）3(x5)2(x3)2(2x3)2(x2)5 （13）(
13、3a3)3+(3a33a6)3a9 2. 计算： （1）3xy2x2y （4）(3ab2)(2a25ab1) （5）x(xy)+x(yx) （6）3x(x24x+1)2x(3x2+x5) （7）(x1)(x2+x+1) （8）x(x21)(x+1)(x2+1) （9）(x2x1)(2x+1) 3. 已知1624326=22x-1，(10)2y=1012求x+y的值。 4. 先化简再求值： (2x)(3x24x1)+6x32x，其中|x2|=0。 5. 已知(x2+px+8)(x23x+q)的乘积中不含有x2与x3的项，求p、q的值。【试题答案】 1. 计算： （1）(x4)3=x12 （2）(
14、y3)2(y2)3=y6y6=y12 （3）3y2y35yy4=3y55y5=2y5 （4）(P)2(P)3P4PP3(P)5=P2(P3)P4P4（P5） =P9+P9=0 （5）t2(t3)2=t2t6=t8 （6）8x62(x2)3=8x62x6=6x6 （7）(xx2x3)4=(x6)4=x24 （8）(y2)24=y44=y16 （9）12y82y2(y2)33(y4)24(yy3)2=12y82y83y84y8=3y8 （10）x3(x2y)4=x3x8y4=x11y4 （11）(x2x3+m)3=x6x3(3+m)=x6+9+3m=x15+3m （12）3(x5)2(x3)2(2
15、x3)2(x2)5=3x10x62x6x10=x16 （13）(3a3)3+(3a33a6)3a9=33a9+9a93a9=33a9 2. 计算： （1）3xy2x2y=6x3y2 （4）(3ab2)(2a25ab1)=6a3b2+15a2b3+3ab2 （5）x(xy)+x(yx)=x(xy)x(xy)=0 （6）3x(x24x+1)2x(3x2+x5)=3x312x2+3x6x32x2+10x =9x314x2+13x （7）(x1)(x2+x+1)=x3+x2+xx2x1=x31 （8）x(x21)(x+1)(x2+1)=x3xx3x2x1=x22x1 （9）(x2x1)(2x+1)=2x32x22x+x2x1=2x3x23x1 3. 解：1624326=(24)2(22)326=282626=220=22x-1 故2x1=20 而(10)2y=1012得102y=1012 y=6 4. 解：(2x)(3x24x1)+6x32x=6x3+8x2+2x+6x32x=8x2 而|x2|=0知x=2 故8x2=822=32 5. 解：(x2+px+8)(x23x+q)=x4+(p3)x3+(8+q3p)x2+(pq24)x+8q 而题目中已知其乘积中无x3与x2项，故p3=0 8+q3p=0 得p=3，q=1。
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