江苏省金湖县实验中学八年级数学《第十四章第一节幂的运算及整式乘法》教案.doc

幂的运算及整式乘法
【典型例题】
一. 幂的运算
1. 同底数幂的乘法：
首先观察：
（1）23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=27
（2）53×54=(5×5×5)×(5×5×5×5)=57
（3）a3·a4=(a×a×a)×(a×a×a×a)=a7
观察后得到运算的法则=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即am·an=am+n（m、n为正整数）
例1. 计算：
（1）73×75 （2）y5·y2 （3）a·a3·an
（4）am·am+3 （5）P2·(－P)4 （6）(－x)3·x5
分析：解决此题关键是正确掌握同底数幂的乘法法则：am·an=am+n（m、n为正整数），且注意有关符号的变化：(－P)4=P4，(－x)3=－x3
解：（1）73×75=73+5=78
（2）y5·y2=y5+2=y7
（3）a·a3·an=a1+3·an=a4·an=a4+n
（4）am·am+3=am+m+3=a2m+3
（5）P2·(－P)4=P2·P4=P6
（6）(－x)3·x5=－x3·x5=－x8
注意：
1. 同底数幂的乘法是幂的运算的基础，非常重要。
2. 由（3）可知am·an·aP=am+n+P（m、n、P均为正整数）
例2. 计算：
（1）(－a)4·(－a)2·(－a)
（2）(－a)4·(－a2)·(－a)
（3）x5·x3－x4·x4+x7·x+x2·x6
（4）33·36－32·36+3·(－3)7
分析：上面几个题目均较为复杂，但主要是运用同底数幂相乘的法则，底数不同的要化成相同才能使用法则，而且是同类项的要合并。
解（1）(－a)4·(－a)2·(－a)=(－a)4+2+1=(－a)7
（2）(－a)4·(－a2)·(－a) =a4·(－a2)·(－a)=a4·a2·a=a4+2+1=a7
（3）x5·x3－x4·x4+x7·x+x2·x6=x5+3－x4+4+x7+1+x2+6=x8－x8+x8+x8=2x8
（4）33·36－32·36+3·(－3)7=33+6－32+6+3·(－37)=39－38－38
=39－2×38=3×38－2×38
=(3－2)×38=38
2. 幂的乘方：
观察：
（1）(23)2=23×23=26
（2）(32)3=32×32×32=32+2+2=36
（3）(a3)4=a3·a3·a3·a3=a3×4=a12

这也就是说：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例3. 计算：
（1）(103)5 （2）(an)2 （3）(am-3)2
（4）[(3x－2y)2]3 （5）[(－x)2]m （6）－(x2)m
分析：解答此题的关键是掌握幂的乘方性质，即：底数不变，指数相乘。(am)n=am·n（m、n为正整数）
解：（1）(103)5=103×5=1015
（2）(an)2=a2n

（5）[(－x)2]m=(x2)m=x2m
（6）－(x2)m=－x2m
例4. 计算：
（1）(a2)8·(a4)4 （2）(－3x)3·(－x2)4
（3）(－x3)2·(－x2)3 （4）[(x－y)2]3·(y－x)
解：（1）(a2)8·(a4)4=a2×8·a4×4=a16·a16=a16+16=a32
（2）(－3x)3·(－x2)4=－(3x)3·(x2)4=－(3x)3·x2×4=－(33×x3)·x8
=－33x3+8=－33·x11
（3）(－x3)2·(－x2)3=(x3)2·[－(x2)3]=x6·(－x6)=－x12
（4）[(x－y)2]3·(y－x)=(x－y)6·[－(x－y)]=－(x－y)6·(x－y)=－(x－y)7

3. 积的乘方：
观察：
（1）(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2
（2）(ab)4=(ab)(ab)(ab)(ab)=(a·a·a·a)·(b·b·b·b)=a4b4

可得：(ab)n=anbn（n为整数）
这就是说：积的乘方等于各因数乘方的积。
例5.
（1）(2b)3 （2）(2×a3)2
（3）(－a)3 （4）(－3x)4
解：（1）(2b)3=23b3=8b3
（2）(2×a3)2=22(a3)2=4a6
（3）(－a)3=(－1)3a3=－a3
（4）(－3x)4=(－3)4·x4=81x4
例6. 计算：
（1）(x2)3·(x2y)2 （2）x8y6－(x4y3)2 （3）2x10－(2x5)2
（4）85×0.1255 （5）162×24×42（用2n的形式表示）
解：（1）(x2)3·(x2y)2=x6·x4y2=x10y2
（2）x8y6－(x4y3)2=x8y6－x4×2y3×2=x8y6－x8y6=0
（3）2x10－(2x5)2=2x10－4x10=－2x10

（5）162×24×42=(24)2×24×(22)2=28×24×24=28+4+4=216
二、整式的乘法：
1. 单项式与单项式相乘：
例7. 计算：
（1）3x2y·（－2xy3）
（2）(－5a2b3)·(－4b2c)
解：（1）3x2y·（－2xy3）=[3·(－2)]·(x2·x)·(y·y3)
=－6x3y4
（2）(－5a2b3)·(－4b2c)=[(－5)·(－4)]·a2·(b3·b2)·c=20a2b5c
单项式与单项式相乘的法则：只要将它们的系数相乘，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例8. 计算：

（2）(3.2×103)×(5×105)
（3）(－4a2b5c)·3ab6·(－7b2c3)

解：
=－5x6y5
（2）(3.2×103)×(5×105)=3.2×5×(103×105)=16×108=1.6×109
（3）(－4a2b5c)·3ab6·(－7b2c3)
=[(－4)×3×(－7)](a2·a)·(b5·b6·b2)·（c·c3）
=84a3b13c4

2. 单项式与多项式相乘：
例9. 计算：
（1）2a2(3a2－5b)
（2）(－2a2)·(3ab2－5ab3)
解：（1）2a2(3a2－5b)=2a2·3a2－2a2·5b=6a4－10a2b
（2）(－2a2)·(3ab2－5ab3)=(－2a2)(3ab2)－(－2a2)(5ab3)
=－6a3b2－(－10a3b3)
=－6a3b2+10a3b3
单项式与多项式相乘的法则：将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。
例10. 计算：x(x2－1)+2x2(x+1)－3x(2x－5)
解：原式=x3－x+2x3+2x2－6x2+15x
=3x3－4x2+14x
例11. 已知：ab2=－6，求－ab(a2b5－ab3－b)的值。
分析：此题应该先将单项式与多项式相乘，得出一些关于ab2的代数式，然后再求结果。
解：－ab(a2b5－ab3－b)
=－a3b6+a2b4+ab2
=－(ab2)3+(ab2)2+ab2
=－ (－6)3+(－6)2+(－6)
=216+36－6
=246
3. 多项式乘多项式：
先研究(m+n)(a+b)：
将(m+n)看成一个整体，有(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b
=ma+na+mb+nb
由此可知，多项式乘多项式的法则：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例12. 计算：
（1）(x+2)(x－3)；
（2）（3x－1）(2x+1)
解：（1）(x+2)(x－3)=x2－3x+2x－6=x2－x－6
（2）（3x－1）(2x+1)=6x2+3x－2x－1=6x2+x－1
例13. 计算：
（1）(x－3y)(x+7y)；
（2）(2x+5y)(3x－2y)
解：（1）(x－3y)(x+7y)=x2+7xy－3yx－21y2=x2+4xy－21y2
（2）(2x+5y)(3x－2y)=6x2－4xy+15yx－10y2=6x2+11xy－10y2
例14. 先化简，再求值：
6x2+(3x－2)(1－2x)+(x+2)(3－x)，其中x=－1
解：6x2+(3x－2)(1－2x)+(x+2)(3－x)
=6x2+(3x－2－6x2+4x)+(3x+6－x2－2x)
=6x2+3x－2－6x2+4x+3x+6－x2－2x
=－x2+8x+4
=－(－1)2－8+4
=－5。
例15. 若不论x取何值，多项式x3－2x2－4x－1与(x+1)(x2+mx+n)都相等，求m、n。
分析：先求出（x+1）与（x2+mx+n）的积，再比较积与x3－2x2－4x－1的系数。它们对应项的系数应分别相等。
解：(x+1)(x2+mx+n)=x·x2+x·mx+x·n+x2+mx+n
=x3+(m+1)x2+(m+n)x+n
因为不论x取何值，两多项式相等，所以m+1=－2
n=－1
即m=－3，n=－1
本课小结：
1. 在幂的运算中，很多情况下要注意观察是否是同底数幂，若是才可以用其法则，否则，不可以用其法则。
2. 在整式的乘法中，要注意熟记这些法则，而且还要继续注意在使用幂的运算时观察其底数。

【模拟试题】
1. 计算：
（1）(x4)3，（2）(y3)2·(y2)3，（3）3y2·y3－5y·y4，
（4）(－P)2·(－P)3·P4－P·P3·(－P)5
（5）t2·(t3)2，（6）8x6－2(x2)3，（7）(x·x2·x3)4，（8）[(y2)2]4
（9）12y8－2y2·(y2)3－3(y4)2－4(y·y3)2
（10）x3(x2y)4，（11）(x2·x3+m)3
（12）3(x5)2·(x3)2－(2x3)2·(x2)5
（13）(3a3)3+(3a3·3a6)－3a9

2. 计算：
（1）－3xy·2x2y

（4）(－3ab2)(2a2－5ab－1)
（5）x(x－y)+x(y－x)
（6）3x(－x2－4x+1)－2x·(3x2+x－5)
（7）(x－1)(x2+x+1)
（8）x(x2－1)－(x+1)(x2+1)
（9）(x2－x－1)(2x+1)
3. 已知162×43×26=22x-1，[(10)2]y=1012求x+y的值。
4. 先化简再求值：
(－2x)·(3x2－4x－1)+6x3－2x，其中|x－2|=0。
5. 已知(x2+px+8)(x2－3x+q)的乘积中不含有x2与x3的项，求p、q的值。

【试题答案】
1. 计算：
（1）(x4)3=x12
（2）(y3)2·(y2)3=y6·y6=y12
（3）3y2·y3－5y·y4=3y5－5y5=－2y5
（4）(－P)2·(－P)3·P4－P·P3·(－P)5=P2(－P3)·P4－P4（－P5）
=－P9+P9=0
（5）t2·(t3)2=t2·t6=t8
（6）8x6－2(x2)3=8x6－2x6=6x6
（7）(x·x2·x3)4=(x6)4=x24
（8）[(y2)2]4=[y4]4=y16
（9）12y8－2y2·(y2)3－3(y4)2－4(y·y3)2=12y8－2y8－3y8－4y8=3y8
（10）x3(x2y)4=x3·x8y4=x11y4
（11）(x2·x3+m)3=x6·x3(3+m)=x6+9+3m=x15+3m
（12）3(x5)2·(x3)2－(2x3)2·(x2)5=3x10x6－2x6·x10=x16
（13）(3a3)3+(3a3·3a6)－3a9=33·a9+9a9－3a9=33a9

2. 计算：
（1）－3xy·2x2y=－6x3y2

（4）(－3ab2)(2a2－5ab－1)=－6a3b2+15a2b3+3ab2
（5）x(x－y)+x(y－x)=x(x－y)－x(x－y)=0
（6）3x(－x2－4x+1)－2x·(3x2+x－5)=－3x3－12x2+3x－6x3－2x2+10x
=－9x3－14x2+13x
（7）(x－1)(x2+x+1)=x3+x2+x－x2－x－1=x3－1
（8）x(x2－1)－(x+1)(x2+1)=x3－x－x3－x2－x－1=－x2－2x－1
（9）(x2－x－1)(2x+1)=2x3－2x2－2x+x2－x－1=2x3－x2－3x－1
3. 解：162×43×26=(24)2×(22)3×26=28×26×26=220=22x-1
故2x－1=20

而[(10)2]y=1012得102y=1012 y=6

4. 解：(－2x)(3x2－4x－1)+6x3－2x=－6x3+8x2+2x+6x3－2x=8x2
而|x－2|=0知x=2
故8x2=8×22=32
5. 解：(x2+px+8)(x2－3x+q)=x4+(p－3)x3+(8+q－3p)x2+(pq－24)x+8q
而题目中已知其乘积中无x3与x2项，故p－3=0
8+q－3p=0
得p=3，q=1。