资源描述
实际问题与二次函数
教学目标
通过对实际问题情景的分析，能够建立二次函数的数学模型，并利用二次函数的知识求解；能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.
2.经历利用二次函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题，体验数学建模的思想.
3．通过将二次函数的有关的知识灵活用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．
教学重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．
教学难点
读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
教学过程
一、导入新课
1.如何求出二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？
①通过配方法把二次函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，当a＞0（a＜0）时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝h时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值k．
②利用公式，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．
2.上节课我们利用二次函数及其图象的性质解决了有关：如抛球、拱桥跨度等问题，这节课我们利用二次函数的有关知识研究和解决有关几何面积和商品利润问题．
二、探究新知
（1）探究面积问题：
例1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长的变化而变化．当为多少米时，场地的面积S最大？
解：因为矩形场地总长为60 m的一边长，矩形面积S，所以另一边长为30-，所以S＝(30-)＝－2＋30.因为a= -1＜0，所以当x＝－＝－＝15时，S最大＝225.
变式1：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为x米，矩形菜园的面积为S，所以S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
因为0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
所以当x＝－＝－＝15时，S最大＝450.
变式2：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形面积为S m2，与墙平行的一边为x米，则S＝·x＝－＋30x.
根据题意可得：0＜x≤18.
由于x＝－＝30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x＝18时，S最大＝378.
（2）探究商品利润问题：
例2.某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.
若设每件衬衣降价a元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.
根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．
分析：设每件涨价x元，则每件的利润是（60-40+x）元，所售件数是（300-10x）件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是（60-40-a）元，所售件数是（300+20a）件，总利润为w；根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
解：设涨价x元，利润为y，
则y=（60-40+x）（300-10x）
=-10x2+100x+6000
=-10（x-5）2+6250
根据每涨价1元，每星期要少卖出10件，所售件数是（300-10x）件，300-10x≥0，x≤30，
得出自变量x的取值范围是：0≤x≤30；
因此当x=5时，y有最大值6250．
60+5=65元
每件定价为65元时利润最大．
（2）设每件降价a元，总利润为w，
则w=（60-40-a）（300+20a）
=-20a2+100a+6000
=-20（a-2.5）2+6125
因为每件降价a元，所以0≤a≤20；
因此当a=2.5时，w有最大值6125．
每件定价为57元时利润最大．
综上所知每件定价为65元时利润最大．
归纳总结：
解决问题的一般步骤：
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
三：巩固练习
1.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度10米）：如果AB的长为，面积为.
（1）求面积与的函数关系（写出的取值范围）；
（2）取何值时，面积最大？面积最大是多少？
分析：（1）AB长为x米，则BC长为：（24-3x）米，该花圃的面积为：（24-3x）x；进而得出函数关系即可；
（2）根据x的取值范围，判断出最大面积时x的取值，代入解析式便可得到最大面积．
解：（1）由题意得：y=x（24-3x），
即y=-3x2+24x，
∵x＞0，且10≥24-3x＞0
∴≤x＜8；
故y与x的函数关系为y=-3x2+24x，（≤x＜8）；
（2）y=-3x2+24x=-3（x-4）2+48（≤x＜8）；
∵开口向下，对称轴为4，
∴当x=时，花圃有最大面积，最大为：=-3（-4）2+48=．
答：当x为时，面积最大，最大为．
2.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
分析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可。
（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论。
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），由所给函数图象得
，解得.
∴函数关系式为y＝－x＋180.
（2）W＝(x－100) y＝(x－100)( －x＋180) ＝－x2＋280x－18000＝－(x－140) 2＋1600
当售价定为140元, W最大＝1600.
∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元.
答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.在解决了有关图形面积和商品销售利润问题时，会建立数学模型，利用二次函数的性质解决问题.
五、布置作业
习题22.3 第2、4、8题．
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