八年级数学下册 17.1.7《实际问题与反比例函数（第4课时）》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
实际问题与反比例函数
（新授课）
【理论支持】
《数学课程标准》指出：数学与人类的活动息息相关，特别是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面．
以瑞士儿童心理学家皮亚杰为代表的建构主义学习理论认为，学习者的知识是在一定情境下，借助于他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义的建构而获得的．因此，学习是一个积极主动的建构过程；知识是个人经验的合理化，而不是说明世界的真理；知识是商谈出来的；学习者的建构是多元化的．因此，建构主义学习理论强调教学必须以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识在原有经验基础上的意义生成，因此，教师在课堂教学中，应不断创造自主探索与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去实践，去动手操作，去观察分析，去合作交流、发现和创造所学的数学知识．
《实际问题与反比例函数（第四课时）》是新人教版八年级下册第十七章第二节的课题，内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础．教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识．

知识技能
能综合利用物理电学知识，反比例函数知识解决一些实际问题．
数学思考
1．如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题
2．如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象
解决问题
体会数学与物理间的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
情感态度
积极参与交流，并积极发表意见．
【教学目标】
【教学重难点】
1． 重点：掌握从物理电学问题中建构反比例函数的模型．
2． 难点：从实问题中寻找变量之间的关系，关键还是充分运用所学的知识分析物理中的电学问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
（1）物理学知识告诉我们，用电器的电源电压U(v)电流I（A）与电阻R（Ω）之间的计算公式为U=IR．当电源电压U保持不变时， _________与_________之间存在反比例函数关系．
（2）电学知识告诉我们，用电器的输出功率P（瓦）．两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下关系：PR=U2． 当电源电压U保持不变时， _________与_________之间存在反比例函数关系．
〖答案〗（1）电流I，电阻R
（2）输出功率P，电阻R
〖设计说明〗心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．让
学生从已有知识出发，从感性上初步认识实际应用与反比例函数的关系．
二、预习思考题及答案
1．已知经过闭合电路的电流I与电路的电阻R是反比例函数关系，请填下表（精确到两位小数）
I/安
1
2
3
4
5

R/殴

20
25
30
50
65
80
90
2．下图所示某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R()成反比例．
（1）请观察图像，并根据图上的数据求出I与R的关系式；
（2）根据图像写出当电阻R>3时，电流I的取值范围．
〖答案〗1．100，50，33.33，25，4，3.33，2，1.54，1.25，1.11
2．(1) ； (2)0<I<2
〖设计说明〗本例由物理学知识可以断定I是R的反比例函数，确定常数k
要从图象中获取信息，由图象过点（3，2）便可得到函数解析式．通过已有
的物理知识引导学生利用实际情境的函数图象来解决问题．
课内探究
一、导入新课：
我们学习了实际问题与反比例函数的关系，今天主要利用实际情境的函数图象来解决问题．
提出问题：
在某一电路中，保持电压不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培．
（1）求I与R之间的函数关系式；
（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值；
【答案】（1） I= （2） R=20欧姆
〖设计说明〗用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学
们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进其对物理知识的理解和探索．
二．探索新知
1． 问题：电学知识告诉我们，用电器的输出功率P（瓦）．两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下关系：PR=U2．这个关系也可写为P= ，或R= ．
【答案】；
〖设计说明〗利用与物理有关的实际问题，让学生体会到数学来源于生活，服务于生活，有利于激发学生学习数学的热情和求知欲望．
2．揭示课题，整理概念，板书
实际问题与反比例函数：运用反比例函数解决物理学中的电学问题．
三、检查预习情况：明确检查方法
学生口答后论证．
四、布置学生自学：
1．学生自主探究题：
【例1】蓄电池的电压为定值，使用电源时，电流I（A）和电阻R（Ω）的函数关系如下图．
（1） 请写出这一函数的表达式．
（2） 蓄电池的电压是多少？
（3） 完成下表：

R/Ω
3
4
5
6
7
8
9
10
I/A

（4） 如果经此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
给出问题后，让学生独立思考，再进行小组交流，由小组代表发言．
〖点拨方法〗图形所提供的信息包括：①直观上看，I与R之间的关系可能是反比例函数关
系，利用相关知识IR=U（U为定值）得到确认；
②由图象上点A的坐标可知，当用电器电阻为9时，电流为4A．
〖参考答案〗根据图象可得当用电器的电阻为9时，电流为4A，因为IR=U（U为定值），
所以蓄电池的电压为U=9×4=36（V）．所以电流I与电阻R之间的函数关系为．即I与R两个物理量成反比例函数关系．利用I与R两个物理量之间的关系可填写下表：从左向右依次为：12，9，，6，，，．
问题（4）中，电阻范围可由学生用多种方法求出，教师适当点拨，让学生自
行完成．
方法一：通过计算可知，当电阻力3．6Ω时，电流为10A，由图象可以看出，
随着R的增大I减小，因要求电流不超过10A，则电阻必须大于等于3．6Ω．
方法二：因为电流不超过10A，由可得R≥3．6
学生以小组为单位进行小结．
解题中，函数关系式，函数图象结合起来应用，注意各量变化的趋势．
〖思路提升〗我们还可以综合运用表格．图象来考察此问题，这样我们就可以形成对反比例函数较完整的认识．
无论从图象还是从表格，我们都能观察出反比例函数在第一象限I随R的增大而减小．当I=10A时，R=3．6．因此当限制电流不超过10A时，用电器的可变电阻应是不小于3．6的．
〖设计说明〗利用反比例函数可以解决实际生活中的很多问题，大大地方便我们的生活．
下面我们再来看一个物理方面的问题．
2．小组合作探究题：
【例2】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如上图所示．
（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）用电器输出功率的范围多大？
师生行为：可先由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用，教师应不断地引导学生完成．
〖点拨方法〗（1）根据电学知识，当U=220时，有①
即输出功率P是电阻R的反比例函数，函数式为P=
（2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小．
把电阻的最小值R=110代入①式，得到输出功率的最大值：P=
把电阻的最大值R=220代入①式，则得到输出功率的最小值P=；
因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间．
结合例2，想一想为什么收音机的音量可以调节，台灯的亮度及风扇的转速可以调节？音量、亮度、及转速随 的减小而增大，随 的增大而减小．
〖参考答案〗（1）函数式为P=
（2）输出功率在220瓦到440瓦之间．
〖设计说明〗探究讨论使学生对反比例函数的应用有了初步的了解，培养了学生解决实际
问题的能力，同时渗透了数学建模思想，提高了同学们的转化意识．
五、教师精讲点拨：
1．知识点辨析：
本节课进一步学习了函数的观点处理实际问题，特别是利用函数的性质，由自变量x的取值范围决定函数y的值的范围，提高了学生用函数观点解决实际问题的能力，在解决问题时，又一次渗透了数形结合的思想．
2．探究题评析：
探究讨论让学生体会问题解决的过程，有成就感，增强学生学习的信心．
3．规律总结：
运用反比例函数的有关知识去解决实际问题，首先要对实际问题进行观察、分析、抽象，从实际问题中寻找两个变量之间的关系，建立反比例函数模型，即把实际问题抽象成数学问题，再运用反比例函数的有关知识去解决这个数学问题．
4．方法指导
用反比例函数解决实际问题时，要关注日常生活中的反比例函数关系以及其他学科的反比例函数关系．在解答问题时，要注意建立正确的反比例函数关系式，同时还要注意变量的取值范围．
六、课堂反馈训练：
1．电压一定时，电流I与电阻R的函数图象大致是（ ）．

〖参考答案〗A
〖讲评策略〗 当电压U一定时，电流I与电阻R的关系为I= U/R，所以电流I与电阻R成反比例函数关系，又考虑到电阻R>0，因此电流I与电阻R的函数图象应该是双曲线在第一象限内的一支，故选A．
【提升】 本题是跨学科知识之间的联系，问题的解决需要相关的物理学知识，首先知道物理学中的电流I与电阻R的反比例函数关系．同时还必须兼顾到在这个实际问题中自变量R的取值范围．
2． 物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为． 当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为( )

O
P
S
S
O
P
O
P
S
O
P
A B C D
S

〖参考答案〗C
〖讲评策略〗物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为，
这个形式与反比例函数的表达形式，完全相同，同学们只要再判断每个字母的意义与反比例函数中对应位置上字母的意义再完全相同，我们就可以确定压强P与受力面积S之间的函数关系，有了确定的函数关系，图像自然就确定了．
在这里，因为受压力F为定值，所以，F的意义就是一个常数，与反比例函数中k的意义相同，因此，同学们就可以断定压强P与受力面积S之间是一种反比例函数关系，所以，函数的图像应该是双曲线，但是，这是一个生活实际问题，也就是说受力的面积不可能是一个负数，因此，图像在第三象限内的部分要舍去，只取第一象限的图像．
3． 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1．6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?
〖参考答案〗（1） 自变量0＜x≤8 药物燃烧后y关于x的函数关系式为
（2）至少要30分钟
（3）消毒有效
〖讲评策略〗（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设，将点（8，6）代人解析式，求得，自变量0＜x≤8；药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设，用待定系数法求得
（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y＝1．6代入，求出x＝30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小，求得时间至少要30分钟
（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y＝3时，代入中，得x＝4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y＝3时，代入，得x＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒有效
〖设计说明〗当堂训练，当堂反馈的这一环节的实施不但使学生对所学的新知识得到及时巩
固和提升，同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在
学习新知识的第一时间得到最清晰的认识，这正是高效的价值所在．
课后提升
一、课后练习题及答案：
1．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(Pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pv=k (k为常数，k＞0)，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（ ）
p
v
O
A
p
v
O
B
p
v
O
C
p
v
O
D

2．某闭合电路中，电源电压不变，电流I(A)与电阻R()成反比例，如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．一定质量的氧气,它的密度是它的体积 的反比例函数, 当时, =1.43,求与的函数关系式．

4．太阳能热水器已走进千家万户，有一容量为升的太阳能热水器，
设其工作时间为(分)，每分钟的排水量为(升)．
(1)写出与之间的函数关系式；
(2)若热水器可连续工作的最长时间为小时，求自变量的取值范围；

5．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销
售量个之间有如下关系：
(元)
3
4
5
6
（个）
20
15
12
10

(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的关系式；
(2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使所获利润最大？

二、参考答案：
1．C 2 ．D 3． 4．(1)，(2)
5．(1)设其为一次函数，把分别代入得
，解得，所以一次函数为，
把代入，左边≠右边，所以不是一次函数．
设其为反比例函数，把代入得，所以反比例函数为,
验证：当时，，符合反比例函数．同理可验证：时，；时，成立．所以可用反比例函数表示其变化规律．
(2)根据题意得,当时，有最大值．
〖设计说明〗在学生充分理解的基础上，加强实际问题的应用练习，联系实际拓展反比例函数实际应用的内涵，为实际问题如何建立函数模型进一步打好坚实的基础．