资源描述
一元二次方程的应用
教学目标
【知识与技能】
会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释.
【过程与方法】
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识.
【情感态度】
让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识.
【教学重点】
应用一元二次方程解决实际问题.
【教学难点】
从实际问题中建立一元二次方程的模型.
教学过程
一、情景导入，初步认知
复习列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
（2）设未知数：用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；
（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；
（4）解方程：求出所给方程的解；
（5）检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；
（6）作答：根据题意，选择合理的答案.
2.说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？
【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备.
二、思考探究，获取新知
1.思考：如图，在一长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长.
（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
（2）确定本题的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽；
（3）引导学生根据题意设未知数；
（4）引导学生根据等量关系列方程；
（5）引导学生求出所列方程的解；
（6）检验所求方程的解合理性；
（7）根据题意作答.
【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，多项式时要加括号再写单位.
2.如图，一长为32m，宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽.
分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x）（20-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
解：设道路宽为x米
（32-x）(20-x)=540
解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）
∴x=2
答：设道路宽为2米
3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,AC=6cm.BC=8cm,点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2?
解：设xs后，可使△PCQ的面积为9cm2．
由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm则1/2·(6－x)·2x=9．
整理，得x2-6x+9=0，解得x1=x2=3．
所以P、Q同时出发，3s后可使△PCQ的面积为9cm2．
【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.
三、运用新知，深化理解
1.如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为3xcm，则可列方程为.
分析：若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程.
则可列方程：(30－4x)(20－6x)=3/4×30×20
【答案】 （30-4x）(20-6x)=3/4×30×20
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
A.x2+130x-1400=0
B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0
D.x2-65x-350=0
【答案】 B
3.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地．
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为12（80-x）米．
依题意，得x·1/2（80-x）=750．
即，x2-80x+1500=0，
解此方程，得x1=30，x2=50．
∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去．
当x=30时，1/2（80-x）=1/2×（80-30）=25，
所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2．
（2）不能．
因为由x·1/2（80-x）=810得x2-80x+1620=0．
又∵b2-4ac=（-80）2-4×1×1620=-80＜0，
∴上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2．
4.如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
分析：本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：
（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积．
解：设花边的宽为x米，
根据题意得（2x+6）（2x+3）=40，
解得x1=1，x2=-11/2，
x2=-11/2不合题意，舍去．
答：花边的宽为1米．
5.我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，使剩余的空地面积为12m2，求原正方形的边长．
分析：本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x-1）m，宽为（x-2）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x-1）（x-2）=12
整理，得x2-3x-10=0．
∴（x-5）（x+2）=0，
∴x1=5，x2=-2（不合题意，舍去）
答：原正方形的边长5m．
6.小明家有一块长8m，宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分)，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，求图中的x值．
解：据题意，得（8-x）（6-x）=1/2×8×6．
解得x1=12，x2=2．
x1不合题意，舍去．
∴x=2．
【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：教材“习题2.5”中第3、4、7题.
教学反思
本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题.这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运.既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用.
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