八年级数学上册 第十三章《实数》平方根教案 人教新课标版.doc

第十三章 实数 平方根课题： 算术平方根课型：新授教学目标：知识与技能1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。过程与方法通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。情感、态度与价值观通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。教学重点：算术平方根的概念。教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。教学方法引导、合作交流预习导航1、 什么是算数平方根及其表示方法。2、 如何求一个非负数的算术平方根。教学过程一、 情境导入1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,-,-3,3,1,2、请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容这节课我们先学习有关算术平方根的概念二、新知探究：1、揭示概念（1）提出问题：（教材68页的问题）你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生思考并交流解法）这个问题相当于在等式=25中求出正数x的值。填表正方形的面积1916360.25边长上面的问题，实际上就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（2）小结一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式=a (x0)中，规定x =.（3） 试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来2、新知应用（1） 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？（2）讲解例题例1 求下列各数的算术平方根： （1）100； (2)1； (3)； (4)0.0001 （5）思考：负数有算术平方根吗？（任何实数的平方都是非负数，所以被开方数都是非负数，即 负数没有算术平方根。） 小结： 对于：a0 0 即算术平方根的双重非负性（3）反馈练习下列各式中，哪些有意义？那些无意义？为什么？ 3、拓展提升（1）81的算术平方根是 。（2） 的值是 。（3） 的算术平方根是 。三、总结1、这节课学习了什么呢？2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根四、巩固练习1、P69练习 1、22、备选题(1)双基练习 1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_;若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为_.2.求下列各式的值:, , , 3.3x-4为25的算术平方根,求x的值. 4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值. (2)创新提升 5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值. (3)探究拓展 6.若与互为相反数,求xy的算术平方根.六、作业布置：P75习题13.1第1、2、题七、板书设计算术平方根1、算术平方根的概念 3、拓展提升2、例题 4、巩固练习 课后反思课题：用计算器求算术平方根课型：新授课教学目标：知识与技能1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.过程与方法通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义。情感、态度与价值观通过计算近似值，比较两个算术平方根的大小，培养学生的探求精神，提高学习数学的兴趣。教学重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小。教学难点：夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。教学方法引导、操作、观察预习导航1、 如何用计算器求一个数的算术平方根。2、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.教学过程一、情境导入我们已经知道：正数x满足=a,则称x是a的算术平方根当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，=4；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本第69页的大正方形的边长等于多少呢？二、探究新知1、探究1：究竟有多大？怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？方法1：课本中的方法，略；方法2：可还有其他方法，鼓励学生探究。问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？大正方形的边长是，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？建议学生观察图形感受的大小小正方形的对角线的长是多少呢？让学生思考讨论并估计大概有多大.由直观可知道大于1而小于2，那么是1点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1.5，大于1.4而小于1.5.关于是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明为无理数的概念的提出打下基础交流：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。2、用计算器求算术平方根 例1 用计算器求下列各式的值：（P71） （1）（2）（精确到0.001）注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值3、探究2：:被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.例2:(1)求下列各数的算术平方根. 0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000 (2)利用计算器计算下列各式的值: 你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说出、的近似值(已知1.732),你能根据的值确定 的值吗? 解:(1)0.0012=0.000001 =0.001依次可得出=0.01, =0.1, =1, =10, =100, =1000 从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有=10,(或者:被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍) (2) =0.25 0.79057 7.9057 7.9057 =25 79.057 =250 790.57比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而与中的数开方数只扩大了10倍,它们的算术平方根之间没有规律可循.故若已知1.732,可知0.1732, 17.32, 173.2,但不能知的值.规律：被开方数的小数点向左（向右）移动两位，平方根的小数点相应的向左（向右）移动一位。4、探究3(1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪?(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗? 解:(1)面积为400cm2的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为30020=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,则可设其两边为3x和2x,则有3x2x=300,6x2=300 x2=50,x=,故长方形纸片的长为3cm,宽为2cm,而337=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.三、小结：1、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值.2、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？四、巩固练习：1、课本P72的练习 1、2 2、课本P76习题13.1 第6题3、备选题(一)双基练习1. 用计算器求出下列各式的值. - 2.用计算器比较与的大小. 3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P之间有如下的一个关系式:P=I2R,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I. 4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm) (二)创新提升 1.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2. (1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(精确到0.01) (三)探究拓展1.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3.随着运算资料的增加,你发现了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律?(2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,你发现了什么? 参考答案 1.94.63 111.1 -16.12 0.0733 2. 0.3662 ,所以a-b=-1-=-1-1-=-1-,而c-a=-1- =a-b0 bac (三)探究拓展 若的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值. 56 的整数部分为5,小数部分为-5,即a=5,b=-5五、作业布置P75-76习题13.1第3、7、8题。板书设计平方根1、平方根的概念 4、巩固练习 2、例题1、23、一个数的平方根的特征 课后反思课题： 平方根课型：复习课教学目的：通过练习，使学生对平方根的知识能灵活地运用并得到巩固。教学重点：灵活地运用平方根的知识解决问题。.教学难点：灵活地运用平方根的知识解决问题。教学方法讲练结合教具准备：小黑板教学过程一、重难点突破知识点一 算术平方根1、具有双重非负性：（1）被开方数非负；算数平方根本身是非负数。2、在求一个非负数的平方根时，如果被开方数不能开尽，则用的形式表示。知识点二 平方根1、正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。2、平方根与算术平方根的联系与区别。联系：具有包含关系：平方根包含算术平方根存在的条件相同：都是只有非负数才有0的平方根，算术平方根都是0.区别：定义不同：个数不同：表示方法不同：正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为。二、典型例题分析题型1 求字母的取值范围例1 （1）若有意义，求x的取值范围。（2）若没有意义，求x的取值范围。例2 已知+=0，求2x+7y的值。题型2 求一个数的平方根例3 求下列各数的平方根（1）324 （2） （3） （4）题型3 化简求值例4 求下列各式的值（1） （2） （3） （4）例5 已知有意义，化简x-1-3-x题型4 利用开平方法解方程例6 解方程（1）=36 （2）-=0三、复习检测（一）选择题1（-0.7）2的平方根是（ ）A-0.7 B.0.7 C.0.7 D.0.493.有下列说法: 其中正确的说法的个数是( ) (1) 无理数就是开方开不尽的数. (2) 无理数就是无限不循环小数.(3) 无理数包括正无理数,零,负无理数.(4) 无理数都可以用数轴上的点来表示.A.1 B.2 C.3 D.44.若=25,=3,则a+b=( )A.-8 B.8 C.2 D. 8或2答案：1.C 2.B 3.B 4.D（二）填空题5在其中_是整数,_是无理数,_是有理数.6.的相反数是_,绝对值是_.7.在数轴上表示的点离原点的距离是_.8.若E有意义,则_.9.若,则_.10.若一个数的立方根就是它本身,则这个数是_.（三）解答题.11.计算. (1) (2) (精确到0.01)(3) (4)(保留三个有效数字)12.求下列各式中的X. (1) X2=17 (2) 13. 写出所有符合下列条件的数 (1) 大于小于的所有整数; (2) 绝对值小于的所有整数.五、布置作业1、预习立方根第一节的内容课后反思13.2 立方根课题：立方根课型：新授课教学目标：知识与技能1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.3、让学生体会一个数的立方根的惟一性.4、分清一个数的立方根与平方根的区别。过程与方法用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同。情感、态度与价值观发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并作出正确的处理。教学重点：立方根的概念和求法。教学难点：立方根与平方根的区别。教学方法观察、探究、归纳预习导航1、 立方根的概念及其表示方法。2、 思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？3、 平方根和立方根有什么异同？教学过程一、 情境导入：1、复习1-10的立方2、问题：要制作一种容积为27 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？设这种包装箱的边长为x m,则=27这就是求一个数，使它的立方等于27. 因为=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m二、新知探究1、揭示概念如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。即如果，那么叫做的立方根，记作x=。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，.求一个数的立方根的运算叫开立方，开立方与立方互为逆运算。2、探究1：（1） 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为，所以8的立方根是（ 2 ） 因为，所以0.125的立方根是（ ）因为，所以0的立方根是（ 0 ）因为，所以-8的立方根是（ ）因为，所以的立方根是（ ）一个正数有一个正的立方根0有一个立方根，是它本身一个负数有一个负的立方根任何数都有唯一的立方根 （2）小结 （3）应用例1 求下列各数的立方根 27 -27 - 0 由本题可发现互为相反数的数的立方根也互为相反数。（4）讨论：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?被开方数平方根立方根正数有两个,互为相反数有一个,是正数负数无平方根有一个,是负数零零零3、探究2：与的关系(1)填空：因为所以 因为，所以 (2)小结：利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。4、新知应用 例2 求下列各式的值： +5、拓展延伸（1）一个数的平方等于64，那么这个数的立方根是 。（2）若0，则m的取值为 。（3）要使=3-k,那么k的取值为 。（4）解下列方程 三、小结：1.立方根和开立方的定义2.正数、0、负数的立方根的特征3.立方根与平方根的异同四、巩固练习：1、课本P79练习1、2、3 2、 P80习题13.2第1、2、3题3、备选题（1）当 0 时，有意义；当 为一切实数 时，有意义（2）的立方根是 2 ，的平方根是 2 ，的立方根是 2 （3）8的立方根与的一个平方根的和等于 1或5 （4）一个自然数的算术平方根是，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ，立方根是 （5）解方程 （6）已知，且，求的值五、作业布置： P80习题13.2第5、6题立方根（1）1、立方根的概念 3、例题 2.小结一个正数有一个正的立方根0有一个立方根，是它本身 4、巩固练习 一个负数有一个负的立方根任何数都有唯一的立方根板书设计课后反思课题 用计算器求立方根课型 新授课教学目标：知识与技能使学生进一步理解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运算.过程与方法通过用计算器求一个数的立方根的过程培养学生的动手操作能力情感、态度与价值观能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力。教学重点：用有理数估计一个无理数的大致范围。教学难点：用有理数估计一个无理数的大致范围。教学方法讲解、操作预习导航1、 用计算器求一个数的立方根2、被开方数扩大（或缩小）与它的立方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？教学过程一、复习引入：1、复习立方根的概念及性质。2、求下列各式的值 ；二、新知探究：1、估算无理数问题：有多大呢？因为，所以因为，所以因为，所以如此循环下去，可以得到更精确的的近似值，它是一个无限不循环小数，=一3684 031 49事实上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数我们用有理数近似地表示它们2、利用计算器来求一个数的立方根：（1）操作 用计算器求数的立方根的步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。步骤：输入 被开方数 = 根据显示写出立方根.（2）例：求5的立方根（保留三个有效数字） 被开方数 = 1.709975947所以 （3）练习用计算器求下列各式的值 3、利用计算器计算探究被开方数与立方根小数点的移动规律（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？规律：被开方数的小数点向左（向右）移动三位立方根的小数点相应的向左（向右）移动一位。（2）用计算器计算（结果保留四个有效数字）。并利用你发现的规律说出，的近似值。（3）练习根据你发现的规律填空已知=1.442，则= ，= 。已知=0.07696，则= 。若=1.52，且=0.152，则a= x四、小结：1、立方根的概念和性质。2、用计算器来求一个数的立方根。五、作业：P80习题14.2第4、8题板书设计立方根（2）1、复习题 2、用计算器求值3、利用计算器计算探究被开方数与立方根小数点的移动规律4、练习课后反思课题 立方根课型 复习课教学目的：通过练习，使学生进一步理解立方根的概念，并能熟练、灵活地进行求一个数的立方根的运算。教学重点：能熟练、灵活地进行求一个数的立方根的运算。教学难点：能熟练、灵活地进行求一个数的立方根的运算。教具准备：小黑板教学过程一、重难点突破知识点一 立方根1、每一个数a都只有一个立方根，记为，这里的根指数“3”不能省略。注意立方根的性质是正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，即任意数都有立方根。知识点二 开立方开立方运算与立方运算互为逆运算，利用立方与立方根互逆的关系可求一个数是什么数的立方根的运算，如果求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再求它的相反数。知识点三 立方根的性质1、正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.2、=知识点四 求立方根的值的变化规律被开方数扩大1000倍，其立方根扩大10倍；被开方数缩小1000倍，其立方根缩小10倍。二、典型例题分析题型1 求一个数的立方根例1 求下列各数的立方根（1）-27 （2）0.216 （3）3题型2 化简求值例2 求下列各式的值（1） （2）- （3）题型3 利用计算器计算一个长方体容器长20厘米，宽15厘米，在这个容器内放一立方体铁块，盛满水取出铁块后，水面下降了5厘米，求这个立方体铁块的棱长。（精确到0.01厘米）三、复习检测（一）填空题：1、a 的立方根是 ，-a 的立方根是 ；若x3=a , 则x= = ；= ；（）= ；= 2、每一个数a 都只有 个立方根；即正数只有1个_的立方根；负数只有 个_的立方根；零只有 个立方根，就是 。3、2的立方等于 ，8的立方根是 ；（-3）3= ，-27的立方根是 .。 4、0.064的立方根是 ； 的立方根是-4； 的立方根是。5、计算：= ；= ； = ；= = ；-= ；-= ；= = ；= ；-= ；= （二）判断下列说法是否正确：1、5是125的立方根 。 （ ）2、4是64的立方根 。 （ ）3、-2.5是-15.625的立方根。 （ ）4、（-4）3 的立方根是-4。 （ ） （三）解答题1.求下列各数的立方根：(1) 27； (2)38； (3)1； (4) 0.2.求下列各式的值：(1) (2)；(3) ；(4) ；四、作业布置预习实数第1课时课后反思13.3 实数课题 实数的分类课型 新授课教学目标知识与技能1、了解无理数和实数的概念.2、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。3、了解分类的标准与分类的结果的相关性，进一步了解体会“集合”含义。过程与方法了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小。情感、态度与价值观让学生动手实验操作，感悟知识的生成、发展和变化教学重点正确理解实数的概念。教学难点了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小。教学方法引导、探究、归纳预习导航1、无理数和实数的概念。2、实数的分类。3、实数与数轴上的点的对应关系。教学过程一、 创设情景，导入新课1、 什么是有理数？2、你能说出圆周率的多少位 小数。3、是个什么样的数呢？二、合作交流，解读探究1、实数的概念使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， ， ， ， ，我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 ， ， ， ， ， 归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，=3.1415926也是无理数结论 有理数和无理数统称为实数2、实数的分类试一试 把实数分类 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，是正无理数，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 2、探究1 用数轴上的点表示无理数我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？（1）在数轴上表示圆周率如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O，点O的坐标是多少？从图中可以看出OO的长时这个圆的周长_，点O的坐标是_这样，无理数可以用数轴上的点表示出来（2）在数轴上表示、3、总结 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大三、巩固练习例1 把下列各数分别填入相应的集合里： 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 四、总结反思1、什么叫做有理数？什么叫做无理数？无理数的特征:圆周率及一些含有的数 开不尽方的数有一定的规律，但循环的无限小数注意:带根号的数不一定是无理数2、有理数和数轴上的点一一对应吗？无理数和数轴上的点一一对应吗？实数和数轴上的点一一对应吗？五、课堂跟踪反馈1、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 2、已知四个命题，正确的有（ ）有理数与无理数之和是无理数 有理数与无理数之积是无理数无理数与无理数之积是无理数 无理数与无理数之积是无理数A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个3、若实数满足，则（ ）A. B. C. D. 六、作业布置 习题13.3第1、2、3题实数1、实数的定义 3、例题 1、2 2、实数的分类 4、练习 板书设计 课后反思 课题 实数的运算课型 新授课教学目标知识与技能1、了解实数范围内相反数和绝对值的意义2、了解在有理数范围内的运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练的进行实数运算。过程与方法在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。情感、态度与价值观了解实数的运算法