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第18讲 三角形
基础知识：
一、关于三角形的一些概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。
1、三角形的角平分线。
三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）
角平分线的性质：角平分线上任意一点到角两端的距离相等。
角平分线的判定：到角两端距离相等的点在角的平分线上。
2、三角形的中线
三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）
3．三角形的高
三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）
注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。
4．三角形任意两边中点的连线叫三角形的中位线．
中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．
二、三角形三条边的关系
三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。
等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角。
三角形按边来分类： 三角形按角分类：
三边关系：三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和。
不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。
三、三角形的内角和
定理：三角形三个内角的和等于180°
由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。
由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。
推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的外角等于与它不相邻的两个外角之和。
四、等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
五、等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
六、直角三角形初具有一般三角形的性质外，还有如下特征：
①两锐角互余，②勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：；③勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系： 那么这个三角形是直角三角形；④斜边上的中线等于斜边的一半；⑤30°角所对的直角边等于斜边的一半。
七、线段的垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。八、反证法是一种独特的证题方法，其一般步骤是：先假设结论的反面是正确的，然后
通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
图2
2． 如图2，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列 确定P点的方法正确的是
Ａ．P为∠A、∠B两角平分线的交点 Ｂ．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
Ｃ．P为AC、AB两边上的高的交点 Ｄ．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
3．如图3，点是△的边的延长线上一点，∥．若，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
5．若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1、2、3.5 B．4、5、9 C．20、15、8 D．5、15、8
7．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）．
A、3、4、5 B、6、8、10 C、、2、 D、5、12、13
8．下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）
A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，4，8
9.一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是（ ）
A ．150° B．180° C．135° Ｄ．不能确定
10.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是
A.4 B.3
C.6 D.5
D
A
B
C
第10题图
11．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（ ）
A．80° B．90°
C．100° D．110°
12．已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是 （ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．11cm
13.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
14.在中，分别是上的点，，
交于点，若，则四边形的面积为_______。
15．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 ．
16．如图3，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则 度．
A
B
C
D
E
F
17.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是
①△BDF是等腰三角形 ②DE＝BC
③四边形ADFE是菱形 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
18.如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．
若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
19如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
(1)在△ABC中，AB= ；
(2)当x= 时，矩形PMCN的周长是14；
(3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．
20.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
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