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第19讲 相似三角形
基础知识点：
一、比例线段
1、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2、若四条线段a、b、c、d，有（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项；b、c叫做比例内项；d叫a、b、c的第四比例项，
3、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。
4、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d，用这个性质常在解题时把比例式化为等积式。
5、合比性质：如果，那么
6．等比性质：如果，（），那么
说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
7、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
二、相似三角形
1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（A型和X型）
说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。
4、三角形相似的判定定理：
（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
5、相似三角形的性质：
（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
6、介绍有特点的两个三角形
（1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。
（2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4－6
（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。
说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB
（4）若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD
且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
例题讲解：
1．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．
2．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．
4．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
5.如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
6.在中, 为直角, 于点,,
写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.
7. 如图，在△ABC中,若DE∥BC,＝,DE＝4cm,则BC的长为 ( )
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
8. 如图，已知是矩形的边上一点，于，试证明．
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