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15．4 角的平分线
第1课时 作角平分线
掌握画已知角的平分线的方法及经过一点作已知直线的垂线的方法．
重点
用尺规作图的方法作已知角的平分线及经过一点作已知直线的垂线．
难点
用尺规作图的方法作已知角的平分线及经过一点作已知直线的垂线．
一、创设情境，导入新课
什么是角平分线？什么是线段的垂直平分线？
问题1：如图，怎样作∠AOB的平分线呢？
(①折纸法；②度量法)
如果用尺规作图，该怎么做呢？
问题2：怎样作线段的垂直平分线呢？
今天我们就来解决上述两个问题．
二、合作交流，探究新知
[活动1] 角的平分线的画法
教师出示：已知：∠AOC.
求作：∠AOC的平分线．
然后让学生阅读如下思考题：
如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？
提出要解决的问题．
启发学生根据分角仪的原理平分已知角．
学生分组讨论，说明仪器的原理，并写出证明过程．
通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角平分线的方法，师生共同完成具体作法．(见教材P141～142)
[活动2] 线段的垂直平分线的作法
作法：
(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；
(2)作直线CD.
所以直线CD就是线段AB的垂直平分线．
问：(1)这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？
(2)你能作出线段AB的中点吗？
[活动3] 过一点作已知直线的垂线
问题1：过已知直线l外一点P，你能作这条直线l的垂线CD吗？(只用圆规和直尺)
作法：(1)任意取一点K，使点K和P在直线l的两旁；
(2)以P点为圆心，以PK长为半径画弧，交直线l于A，B两点；
(3)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点F；
(4)作直线PF.
则直线PF就是直线l的垂线．
问题2：过已知直线l上一点P，你能作这条直线l的垂线CD吗？(只用圆规和直尺)
三、运用新知，深化理解
例1 请在图中作出线段AD，使其平分∠BAC且长度等于m.
要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．
已知：
求作：
分析：首先以A为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB，AC于E，F，然后分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，交于点M，那么AM就是∠BAC的平分线，只需在射线AM上截取AD＝m即可．
解：已知：线段m，∠BAC；
求作：线段AD，使得∠BAD＝∠CAD，AD＝m.
如图所示．
【归纳总结】此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．
例2 如图，已知直线l及其两侧两点A，B.
(1)在直线l上求一点O，使到A，B两点距离之和最短；
(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB；
(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.
分析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；(2)根据线段垂直平分线的性质连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可；(3)作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.
解：(1)如图①，连接AB，线段AB交直线l于点O，∵点A，O，B在一条直线上，∴O点即为所求点；
(2)如图②，连接AB，分别以A，B两点为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接CD与直线l相交于P点，连接BD，AD，BP，AP，BC，AC，∵BD＝AD＝BC＝AC，即C，D两点都在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线，∵P是CD上的点，∴PA＝PB；
(3)如图③，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，∵B与B′两点关于直线l对称，∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ，∴△BDQ≌△B′DQ，∴∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.
图① 图② 图③
【归纳总结】本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P143练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
这节课你有什么收获？
六、布置作业
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
第2课时 角平分线的性质定理及逆定理
1．掌握角平分线的性质定理及逆定理．
2．提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力．
3．了解角的平分线的性质定理及逆定理在生活、生产中的应用．
4．在探索角的平分线的性质定理及逆定理中发展几何直觉．
重点
角平分线的性质定理及逆定理的证明及运用．
难点
角平分线的性质定理及逆定理的探究．
一、创设情境，导入新课
前面我们用一种探索的方法，对线段的垂直平分线作了较为深入的研究，今天我们要用类似的方法对角的平分线进行研究．
请同学们先回忆一下，关于角的平分线我们已经学过的有关结论．
如图，OC是∠AOB的平分线，
则：
①∠1＝∠2；
②OC所在的直线是∠AOB的对称轴．
那么关于角的平分线，还有哪些其他结论呢？请大家以小组为单位进行合作探究．
二、合作交流，探究新知
[活动1] 角的平分线的性质
实验：
1．让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.
2．分别过P点向OA，OB边作垂线PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
3．测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系．
再换一个新的位置看看情况会怎样？
教师要明确用圆规和直尺作已知角的平分线的根据是“SSS”基本事实．
指导学生通过在平分线上的不同点进行实验，观察PD，PE的关系．
归纳总结得到角的平分线的性质定理．
分析讨论：PD＝PE的理由．
可从三角形全等上引导．
[活动2] 探究角的平分线性质定理的应用
1．教材思考题．
2．问题：已知如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD.
求证：PM＝PN.
明确角的平分线的性质是今后证明线段相等的一种方法．
分析：要证PM＝PN，可以证明点P在∠ADC的平分线上．
独立思考或小组讨论．
学生写出证明过程．
[活动3]
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
提出问题，明确探究方向．
思考．
[探究1]
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
1．写出已知、求证．
2．画出图形．
3．分析证明方法．
巩固应用：
解决教材思考题．
[探究2]
三角形的三个内角的平分线相交于一点．
1．例题：教材P145例题．
2．针对例题的解答提出：P点在∠BAC的平分线上吗？
通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．
变式练习：1.教材P144～145练习．
2．作到三角形三边距离相等的点．
思考：点P在∠A的平分线上要满足什么条件？
三、运用新知，深化理解
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
分析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CFD≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)，∴CF＝EB；
(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中，∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
【归纳总结】角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
例2 如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
分析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．
【归纳总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P146练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
1．到角的两边距离相等的点在角的平分线上，它与角的平分线的性质具有互逆性．
2．三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
引导学生小结．
学生总结所学知识，谈谈角平分线判定的用途．
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P146～147习题15.4.
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