八年级数学下册 1.3.1 线段的垂直平分线教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学教案.doc

课题：1.3.1 线段的垂直平分线
教学目标：
1．证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理，并掌握文字语言、符号语言．
2．了解线段垂直平分线的性质和判定的区别。
3．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
4．通过学生动手操作、实验、观察，培养他们主动探索与合作能力，使学生领会数形结合、转化的数学思想和方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点与难点：
重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。
难点：垂直平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用。
课前准备：
教师：多媒体课件融合以下几点：几何画板制作说明线段垂直平分线性质定理的实验；几何画板制作说明线段垂直平分线判定定理的课件；Flash动画——尺规作线段垂直平分线。
学生：直尺、圆规。
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动内容：由等腰三角形的特殊性质—“三线合一”引出线段垂直平分线的性质。
课件出示：等腰三角形ABC，其中AD是顶角的平分线。
问题一：等腰三角形具有怎样的特殊性质？
问题二：根据这一特殊的性质你还能联想到我们学过的那一个定理？
问题三：我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．利用几何画板，我们也可以进行线段垂直平分线定理的验证。具体操作如下：
1.新建一个几何画板文件。选择“线段工具”，绘制出线段AB。

2.选中线段AB，选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段AB的中点。如下图所示。

3.选中线段AB和点C，选择“构造”—“垂线”命令，绘制出线段AB的中垂线。如下图所示。

4.在中垂线上任取一点D，然后选择“线段工具”，绘制出线段AD、线段BD。如下图所示。

5.选中线段AD，选择“度量”—“长度”命令，在画板左上角出现线段AD的长度。同样方法，测量出线段BD的长度。如下图所示。
也可以同时选中线段AD、线段BD，然后选择“度量”—“比”命令。如下图所示。

选择“文件”—“保存”命令即可。
6.拖动D点，线段AD,BD的长度变化，但是它们的相等关系不变。
　　通过观察和测量，可以验证线段垂直平分线定理,你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?
处理方式：
问题一：师提问学生回答，如果学生回答的不是“三线合一”，就适当引导一下。学生回答后师引导提问，那么AD所在的直线也可以看作是BC的什么线？有此一问那么在下一问中学生自然地就能想到线段垂直平分线的性质了。
问题二：在上两个问题的铺垫下，这个问题相信学生会争先恐后的回答的。
问题三：老师陈述、演示，学生观察获得直观的感受，然后提出证明的要求，同时出示课题：1.3线段的垂直平分线（一）。
设计意图：回顾等腰三角形的性质之一“三线合一”，既巩固了学过的重要知识点又为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于培养学生严谨的数学态度。
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：性质探索与证明
问题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?
处理方式：教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
学生思考和讨论后，师引导学生分析并写出已知、求证的内容。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°（垂直的定义）
在△PCA和△PCB中，
∵ AC=BC， （已知）
PC=PC, （公共边）
∠PCA=∠PCB（已证）
∴△PCA≌△PCB(SAS)．
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
教师用多媒体完整演示证明过程．
经过以上的学习过程相信学生对垂直平分线的性质有了更深入的了解，在此基础上利用课件引导学生梳理该定理的三种语言：
文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等。
图形语言：
数学符号语言：
∵P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB
温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一．
设计意图：让学生再次经历严格证明命题的过程，进一步熟悉证明的一般过程。经过证明和分析线段垂直平分线的性质定理的三种语言，相信同学们对这个定理会有深刻的认识。
活动内容2：逆向思维，探索判定
问题一：你能写出上面这个定理的逆命题吗?
问题二：它是真命题吗?如果是，请你加以证明。
处理方式：
问题一：师可以做以下引导—— 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”
问题二：写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
想初步判断这一逆命题的真假可以利用几何画板来做实验：
1.新建一个几何画板文件。选择“点工具”，绘制出点P。
2.选择“圆工具”，选中点P进行拖动绘制一个圆。
3.选中圆P，点击“构造”——“构造圆上的点”，构造出点A，点B，这样可以保证PA=PB。如下图所示。

4.选中点A，点B，点击“构造”——“构造线段”；选中点A，点B，点击“构造”——“构造线段”； 选中点P，点B，点击“构造”——“构造线段”。 选中圆，右键“隐藏圆”。 如下图所示。

5.选中线段AB（不包括端点），点击“构造”——“构造中点” ，绘制出线段AB的中点。如下图所示。

6.选中P，C两点，点击“构造”——“构造直线” ，绘制出直线PC。如下图所示。

7.依次选中点A，点C，点P，选择“度量”——“角度”。 如下图所示。
“
从而可以说明点P在线段AB的垂直平分线上。
在观察的基础上引导学生分析证明过程，学生书写的过程中教师注意观察，发现有不同的做法就请学生到黑板上板书，然后师生共同讲评。
总结起来大致有如下四种证法：
证法一：
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．
∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴P在AB的垂直平分线上．
其中第四种做法是不正确的，如果有学生这样证明就安排他板书，如果没有就由教师给出，由学生进行辨析，从而获得以下认识：
在证明的过程中所添加的辅助线只能直接满足一个条件，然后在此基础上进行证明，像本题的“证法四”，它的辅助线的添加方法违背了这一原则，在此基础上的证明是不成立的。
总结提炼：从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．
设计意图：教师通过精心设置的一个个问题链及数学实验，激发学生的求知欲，使学生在教师的引导和合作下，通过自主探索，合作交流，发现问题，解决问题，同时感受证明方法的多样性，提高学生问题拓广能力，发展学生学习的自主性。
活动内容3：巩固应用
内容：在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：
（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
（2）到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。
问题一：
例题：
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．
处理方式：
学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
证法一：
证明：设AO交BC于点D，
在△ABO和△ACO中，
∵ AB = AC，（已知）
OB = OC，（已知）
AO = AO，（公共边）
∴△ABO≌△ACO(SSS)．
∴∠BAO=∠CAO(全等三角形的对应角相等)．
在△ABD和△ACD中，
∵ AB = AC，（已知）
∠BAO=∠CAO，（已证）
AD = AD，（公共边）
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD=CD(全等三角形的对应边相等)．
∠BDA=∠CDA(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠BDA+∠CDA=180°
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（垂直平分线的定义）
证法二：
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
设计意图：学生对比两种证明方法，体会线段垂直平分线的判定定理的作用。
三、练习巩固，深化提高
问题一：课本23页随堂练习
已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点。
求证：∠ECF=∠EDF
问题二：课本24页问题解决4
如图，A,B表示两个仓库，要在A,B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
处理方式：
各组选派一名学生到黑板上板书（共四个名额，先到先得），小组内的同学自主完成.
教师巡视学生的答题情况，并对个别学习辅导；然后学生的讲解及时点评、鼓励，同时对小组表现进行积分作为学期末评选优秀小组及小组长的依据.
特别是第二题，上课时询问学生利用尺规作线段的垂直平分线的掌握情况，如果多数同学都忘记了，就领着学生复习一下。播放：线段的垂直平分线的尺规作图动画。详见课件。
设计意图：设计本部分，使学生在本课所学的两个定理的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式以及回忆线段垂直平分线的尺规作图法。另外，心理学研究成果说明：一个人只要体验到成功的欣慰与快乐，便会激起再一次追求成功胜利的信念和力量.因此我设计了两道练习，以小组比赛的形式，努力为学生创造成功的条件.
四、归纳总结，知识沉淀
问题：这节课大家通过自己的努力和小组的合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来。
我掌握的定理有______；
我学会了_______；
我还知道了_______.
处理方式：
学生写完后，全班交流各自的收获和心得.
教师巡视学生的答题情况，及时点评、鼓励.
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，写下来更能加深印象．
六、快乐套餐，体验成功
A类
一、判断题
1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线
2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线
3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD
4.如图（3），PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线

（1） （2） （3）
二、填空题
5.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=60°,那么∠EDC= °.
B类
三、解答题
6.尺规作图：如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD。
7.已知：如图AB=AC，BD=CD，P是AD上一点，
求证：PB=PC
E
D
A
B
C

第5题 第6题 第7题

处理方式：
学生独立完成，完成后进行校正答案．
设计意图：通过检测纠错，提高认识知识的效率，使学生能运用所学知识技能解决问题，同时又为学生提供了充分发挥创造力的空间，吧进一步发现和弥补教与学的不足，强化基本技能的训练，培养学生的良好的学习习惯和思维品质．
七、分层作业，发展个性
必做题：课本24页问题解决3
如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。
选做题：
如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.

设计意图：作业层次化，使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业.既满足了不同层次学生的需求，又提高作业的实效性，促进学生学习兴趣与质量的提高．
板书设计：
1.3 线段的垂直平分线（第一课时）
一、性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
学生板书：证明过程
二、判定定理
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
板书：几何语言
三、例一
学生板书证明过程
四、尺规作图
教师示范