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回顾与思考
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教学设计
授课备注
回顾与思考
教学目标
(一)教学知识点
1．掌握本章的知识结构图．
2．探索圆及其相关结论．
3．掌握并理解垂径定理．
4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
5．掌握圆心角和圆周角的关系定理．
(二)能力训练要求
1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．
2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．
3．用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力．
4．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．
教学重点
掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．
教学难点
上面这些内容的推导及应用．
教学方法
教师引导学生自己归纳总结法．
教具准备
投影片三张：
第一张：(记作A)
第二张：(记作D
第三张：(记作C)
教学过程
Ⅰ．回顾本章内容
[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？
[生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．
[师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了全章内容，结构如下：(投影片A)
Ⅱ．具体内容巩固
[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．
一、圆的有关概念及性质
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．
[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？
[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．
二、垂径定理及其逆定理
[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
[师]这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．下面我们就用一些具体例子来区别它们．
(投影片B)
1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．
2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂 直于AB吗？OC的长度是多少？
[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？
[生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，应用逆定理．
[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？
[生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE是矩形．
∵AC＝AB，∴AE＝AD．
∴四边形ADOE是正方形．
2．解：∵C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAC中，AC＝AB＝25mm，OA＝50mm．
∴由勾股定理得OC＝(mm)．
三、圆心角、弧、弦之间关系定理
[师]大家先回忆一下本部分内容．
[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
[师]下面我们进行有关练习
(投影片C)
1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．
[生]解：由题意可知的度数为120°，
∴∠AOB＝120°．
作OC⊥AB，垂足为C，则
∠AOC＝60°，AC＝BC．
在Rt△ABC中，
AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2×．
∴AB＝2AC＝2(cm)．
四、圆心角与圆周角的关系
[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积
[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．
[生]弧长公式l＝，π是圆心角，R为半径．
扇形面积公式S＝或S＝lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形弧长．
圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径．
S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2．
Ⅲ．课时小结
本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．
Ⅳ．课后作业
复习题 A组
Ⅴ．活动与深究
弓形面积
如图，把扇形OAmB的面积以及△OAB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积．如图(1)中，弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形＝S扇形－S△OAB；图(2)中，弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形＝S扇形＋S△OAB；图(3)中，弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形＝S圆．
例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m，求截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m2)．
解：如图，在⊙O中，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C．
∵OA＝0.6，DC＝0.3，
∴OD＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD＝60°，AD＝0.3．
∵S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB，
∴S扇形OACB＝·0.62＝0.12π(m2)，
S△OAB＝AB·OD＝×0.6×0.3＝0.09(m2)
∴S弓形ACB＝0.12π－0.09≈0.22(m2)．
板书设计
回顾与思考
一、1．圆的有关概念及性质；2．垂径定理及其逆定理；
3．圆心角、弧、弦之间关系定理；4．圆心角与圆周角的关系；
5．弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．二、课时小结
三、课后作业
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