初三数学应用锐角三角函数的定义证几何题学法指导.doc

应用锐角三角函数的定义证几何题
陈东秉

锐角三角函数的定义，可以把一个直角三角形中边与角的关系联系起来，从而使许多几何问题有了纯粹几何证法所容纳不了的天地。请看下面几例。

例1 如图1，M为正方形ABCD中AB边的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N，求证：MD=MN。

证明：设AM=BM=1，
BF=x，则AD=2，
MF=x+1, NF=BF=x。
∵MN⊥DM，∠A=∠ABC，
∴∠ADM=∠FMN。
在Rt△ADM和Rt△FMN中，由锐角三角函数的定义可得，，
。
∴。解得x=1。即NF=1，MF=2。
∴Rt△ADM≌Rt△FMN。
∴DM=MN。

例2 如图2，E是正方形ABCD中边AB的中点，F在AD边上，且DF=3AF，求证：CE平分∠BCF。

证明：连EF，设正方形ABCD的边长为4。则AE=BE=2，
AF=1，DF=3。
EF2=12+22=5。
CE2=22+42=20，CF2=32+42=25。
∵EF2+CE2=CF2，∴∠CEF=90°。
在Rt△BCE与Rt△ECF中，由锐角三角函数的定义可得

∴∠BCE=∠ECF。即CE平分∠BCF。

例3 如图3，P是等腰梯形ABCD底边BC上任意一点。PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，BG⊥CD于G。求证：PE+PF=BG。

证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∠PBE=∠C。
由锐角三角函数的定义可得sin∠PBE=。即PE=PBsinC，PF=PCsinC，BG=BCsinC。
PE+PF=(PB+PC)sinC=BCsinC=BG。

例4 如图4过正方形ABCD的顶点A任作一直线分别交BC于Q，DC的延长线于P，求证：。

证明：设∠BAQ=∠P=2。则。
∵，
∴。

例5 在△ABC中，若AB、BC边上的高不小于其对应边，试判定△ABC的形状。
解 如图5，设AD、CE分别为△ABC中BC、AB边上的高，则AD=ABsinB，CE=BCsinB，

AD+CE=(AB+BC)sinB。
∵AD≥BC，CE≥AB，
∴AD+CE≥AB+BC，即（AB+BC）sinB≥AB+BC，则可得sinB≥1。∵sinB≤1，
∴sinB=1，∠B=90°，因此，△AB=BC，因此D、E两点与B重合，由题设知AB≥BC，BC≥AB，则AB=BC，因此，△ABC为等腰直角三角形。
从以上数例可以看出，用此法证某些几何题可不添或少添辅助线，以计算代替逻辑推理从而减少证题中的困难。