初三数学应用锐角三角函数的定义证几何题学法指导.doc

应用锐角三角函数的定义证几何题陈东秉锐角三角函数的定义，可以把一个直角三角形中边与角的关系联系起来，从而使许多几何问题有了纯粹几何证法所容纳不了的天地。请看下面几例。例1 如图1，M为正方形ABCD中AB边的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N，求证：MD=MN。证明：设AM=BM=1，BF=x，则AD=2，MF=x+1, NF=BF=x。MNDM，A=ABC，ADM=FMN。在RtADM和RtFMN中，由锐角三角函数的定义可得，。解得x=1。即NF=1，MF=2。RtADMRtFMN。DM=MN。例2 如图2，E是正方形ABCD中边AB的中点，F在AD边上，且DF=3AF，求证：CE平分BCF。证明：连EF，设正方形ABCD的边长为4。则AE=BE=2，AF=1，DF=3。EF2=12+22=5。CE2=22+42=20，CF2=32+42=25。EF2+CE2=CF2，CEF=90。在RtBCE与RtECF中，由锐角三角函数的定义可得BCE=ECF。即CE平分BCF。例3 如图3，P是等腰梯形ABCD底边BC上任意一点。PEAB于E，PFCD于F，BGCD于G。求证：PE+PF=BG。证明：四边形ABCD为等腰梯形，PBE=C。由锐角三角函数的定义可得sinPBE=。即PE=PBsinC，PF=PCsinC，BG=BCsinC。PE+PF=(PB+PC)sinC=BCsinC=BG。例4 如图4过正方形ABCD的顶点A任作一直线分别交BC于Q，DC的延长线于P，求证：。证明：设BAQ=P=2。则。，。例5 在ABC中，若AB、BC边上的高不小于其对应边，试判定ABC的形状。解 如图5，设AD、CE分别为ABC中BC、AB边上的高，则AD=ABsinB，CE=BCsinB，AD+CE=(AB+BC)sinB。ADBC，CEAB，AD+CEAB+BC，即（AB+BC）sinBAB+BC，则可得sinB1。sinB1，sinB=1，B=90，因此，AB=BC，因此D、E两点与B重合，由题设知ABBC，BCAB，则AB=BC，因此，ABC为等腰直角三角形。从以上数例可以看出，用此法证某些几何题可不添或少添辅助线，以计算代替逻辑推理从而减少证题中的困难。