资源描述
§11.1 全 等 三 角 形
教学目标：知识与能力：了解全等形及全等三角形的的概念；理解全等三角形的性质。
过程与方法：在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉。
情感态度价值观：学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣
教学重点：全等三角形的性质.
难点：全等三角形对应元素的确定.
教学过程：一、创设情境，导入新课
1、我们生活在一个丰富的图形世界中，在我们的生活中有着许多的图形，观察下面每组图片有何特征？（课件演示）
2、你能再举出这样的一些例子吗？
二、自学：1、动手操作：
把准备好的任意形状的图形按在纸板上画下图形剪下来，观察剪下来的图形的形状，大小一样吗？
形状相同、大小相等 —— 完全重合
（1）全等形：能够完全重合的两个图形.
由学生类似地给出全等三角形的定义：
（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形.
2、全等变换
自学课本91页思考（1）学生用准备好的两全等三角形动手操作（可以展示课本所画位置不同的情形）变换三角形的位置，有什么新的发现？
归纳：平移、翻折、旋转前后的图形全等.
3、全等的表示及对应元素 自学课本91页思考前一段
（1）什么叫全等三角形的对应顶点，对应边，对应角？
（2）如何表示两个全等三角形？在表示时需要注意什么？
（3）用符号表示思考①中每对全等三角形，并说出它们的对应边、对应角.
自学交流：（1）对应顶点、对应边、对应角。
2）表示：“全等”用“≌ ”表示，“∽ ”表示两图形的形状相同，“= ”表示大小相等，读作“全等于”
A
注意：记两三角形相等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.
B
D
3）学生说出另两图中的对应元素.
4、全等三角形的性质：
思考2：两三角形全等，对应边，对应角有何关系？
全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等;
A
⑵全等三角形的对应角相等.
练习：课本4页练习
C
例：△ABC≌ △ADC,AB=3,AC=4,
∠B=100°，求AD、DC与∠D.
思考：两全等三角形的周长、面积有何关系
四、 小结：由学生交流本节课的收获
1、 全等形、全等三角形的概念.
2、 数学方法：全等变换（平移、旋转、翻折）.
3、 全等三角形的表示及对应元素.
4、 全等三角形的性质.
五、当堂训练：
1、下列命题正确的有（ ）个
（1）只有两个三角形全等才能完全重合；
（2）两个图形全等，它们的面积一定相等
（3）两个面积相等的图形一定全等；
（4）两个正方形一定是全等图形.
C
C
E
E
A
A
A
A
A
B
B
B
D
D
D
D
O
E
FD
C
C
C
C
D
A
2、下面每组图中的两三角形全等，找出对应相等的边和角，（学生可用自己手中的两全等三角形看经过怎样的全等变换得到每组图形，再找对应元素）
B
B
B
D
思考：通过上面找对应元素，你能发现找对应元素有何规律？
归纳：找对应角、对应边的方法：
（1） 有公共角（公共边）的公共角（公共边）是对应角；对顶角是对应角；
（2） 最大（小）角与最大（小）角是对应角;
（3） 最长边（短）与最长边（短）是对应边;
（4） 对应角所对边是对应边，对应边所对对角是对应角.
E
DD
C
A
3如图：△ABC ≌△DEF, △ ABC的周是32cm,DE=9cm,EF=12cm，求AC.
A
B
D
C
E
B
DD
A
FD
C
(4)
B(5)
4如图：△ABC ≌△BAD,∠C=60°,∠ABD=35°∠BAD=＿＿.
5如图：△ABD≌△EBC,AB=3cm,BC=5cm,求DE长.
E
CB
BB
A
D
6如图,长方形ABCD沿AE折叠,使点D落F
在BC边上的点F处,如果∠BAF=50°,∠DAE为多少度?
7你能把一个等边三角形分成两个全等的三角形吗？分成三个呢？四个全等的三角形呢
五、作业：习题11.1，第1、2、3.思考：4题。
六、板书设计：
七、教学反馈：
§11．2 三角形全等的条件(1)
教学目标：知识与能力：掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．
过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
情感目标：③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．
教学难点：三角形全等条件的探索过程．
教学重点：“边边边”条件
教具准备：多媒体电脑、剪刀、圆规、量角器、直尺、三角尺
教学建议：强调自主活动，注重合作交流，让学生的学习在合作探究过程中进行，使学生在自主探究的过程中理解和掌握三角形的条件。
教学设计：复习过程，引入新知
多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．
二、创设情境，提出问题
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?
组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．
三、建立模型，探索发现
探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
问题：让学生按照下面给出的条件作出三角形．
(1)三角形的两个角分别是30°、50°．
(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．
(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．
再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．
四、应用新知，体验成功
实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．
鼓励学生举出生活中的实例．
例l、如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．
例2、如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：
①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；
②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；
③画射线AD．
AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?
例3 、如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．
五、巩固练习：教科书第96页的思考及练习．
六、反思小结：回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．
七、布置作业：1．必做题：教科书习题11．2中的第1、2题．
2．选做题：教科书第16页第9题．
八、板书设计
§ 11.2 三角形全等的条件(1)
一、 三角形全等的条件 例1 例3
边边边 例2
九、教学反思：
§11.2 三角形全等的条件(2)
教学目标：知识与能力：经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力
过程与方法：在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．
情感目标：通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．
教学难点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．
教学重点：应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．
教具准备：多媒体电脑、剪刀、圆规、量角器、直尺、三角尺
教学建议：强调自主活动，注重合作交流，让学生的学习在合作探究过程中进行，使学生在自主探究的过程中理解和掌握三角形的条件。
教学设计：创设情境，引入课题
多媒体出示探究3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．
教师点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．
二、交流对话，探求新知
根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)
补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．
三、 应用新知，体验成功
例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．
(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：
要想证AB＝DE，
只需证△ABC≌△DEC
△ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……)
明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．
补充例题：1、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ACE
思考：求证：1、BD=CE 2、∠B= ∠C 3、∠ADB= ∠AEC
变式1：已知：如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.
求证： ⑴ △DAC≌△EAB
1、BE=DC 2、∠B= ∠ C 3、∠ D= ∠ E 4、BE⊥CD
四、再次探究，释解疑惑
探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?
得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
教师演示：方法(一)教科书98页图13.2-7．
方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论．
五、巩固练习：教科书第99页，练习(1)(2)．
六、小结提高：1．判定三角形全等的方法；
2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充。
七、布置作业：1．必做题：习题11．2第3、4题．
2．选做题：教科书第16页第10题．
3．备选题：
(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?并说明理由．
(2)如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证：BC＝DE．
八、板书设计
§ 11.2 三角形全等的条件(2)
二、 三角形全等的条件 例1 例3
边角边 例2
九．教学反思
§11.2 三角形全等的条件(3)
教学目标：知识与能力：探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．
过程与方法：经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．
情感目标：敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．
教学重点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”．
教学难点：探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．
教具准备：多媒体电脑、剪刀、圆规、量角器、直尺、三角尺
教学建议：强调自主活动，注重合作交流，让学生的学习在合作探究过程中进行，使学生在自主探究的过程中理解和掌握三角形的条件。
教学设计：一、创设情境、复习引入
问题：1、我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?（ “SSS”“SAS”）
2、那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。
二、探究新知、解决问题：
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？
1．问题：我们先来探究第一种情况．(课件出示“探究5……”)
(1)探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
问题：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。
在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决．
(2)全班讨论交流
问题1：画好之后，我们看这儿有一种画法：(课件出示画法，出现一步，画一步)你是这样画的吗?
问题2：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它们是否全等．全等吗?
问题3：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现．
问题4：这条件可以简写成“角边角”或“ASA”．至此，我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应注意，“边”必须是“两角的夹边”．
练习：已知：如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C 求证：△ABE≌ △A’CD
已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证：BD=CE
2．探究2： 问题：我们再看看下面的条件：
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?
问题：看已知条什，能否用“角边角”条件证明．生独立思考，探究……再小组合作完成．
问题1：你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)
问题2：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一个什么规律?
问题3：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”．那怎样更完整的表述这一规律?
强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”．
例2．教材12页例1。小结：。。。
问题：三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目)，想想，怎样来探究这个问题?
引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．
1、这一规律我们可以怎样表达?
2、判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?
三、小结提高：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获?
四、巩固练习：教科书第13页，练习2．
五、布置作业：1。必做题：教科书第15页习题11.2第6、11题
2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么?
六、板书设计
§ 11.2 三角形全等的条件(3)
一、 三角形全等的条件 例1 例3
ASA、AAS 例2
七、教学反思
§11.2 三角形全等的条件(4)
知识与能力：探索并掌握两个直角三角形全等的条件，并能应用它判别两个直角三角形是否全等。
过程与方法：经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；
情感目标：通过探究与交流，解决问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性。
教学重点：理解、掌握三角形全等的条件：HL
教学难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等。
教具：三角板、圆规、多媒体。
教学过程：一、创设情景，探究新知
问题1：判定三角形全等的方法有几种？
α
问题2：舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
（1） 你能帮他想个办法吗？（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
做一做：已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c.
c
a
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做：⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A; ⑷ 连接AB.
问题：1、 △ABC就是所求作的三角形吗？
2 、剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
3、直角三角形全等的条件
4、你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
二、例题：
1：如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD
2. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
3、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
三、练习：
1、如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BF=DE
B B
C
F
A E F C A E
D D
2、如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF求证：BD平分EF。
四、小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
五、作业：习题11.2，第7、8题。
六、板书设计：
§ 11.2 三角形全等的条件(3)
三角形全等的条件 例1 例3
例2
七、反思：
§11．3．1 角的平分线的性质（一）
知识与能力：角平分线的画法．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理
过程与方法：会用尺规作一个已知角的平分线．
情感与价值观：在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点 利用尺规作已知角的平分线．
教学难点 角的平分线的作图方法的提炼．
教学方法 讲练结合法．
教具准备 多媒体课件（或投影）．
教学过程：Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1：三角形中有哪些重要线段．
问题2：你能作出这些线段吗？
三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．
过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．
取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．
用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．
三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．
数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习．
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？
Ⅱ．新课
问题：1、在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．求证：∠MOC=∠NOC．
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．
2、这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）
3、这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，联想迁移的学习方法值得大家借鉴．
议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．
学生活动： 观看多媒体课件，讨论操作原理．
问题1、要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
2、∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
3、我们看看条件够不够．
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
4、原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．
问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示： 作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．
议一议：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结：
1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．
三．随堂练习：1、 课本P22练习．
2、练后总结：平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直．
四．课时小结：
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．
五．课后作业：1、P22页2、4题
2、作一个三角形三个内角的平分线，你有什么发现？
六：板书：
七：教学反思：
§11．3．2 角的平分线的性质（二）
知识与能力：角的平分线的性质
过程与方法：会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”；能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
情感与价值观：通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、括归纳的能力，激发
学生学习数学的兴趣．
教学重点：角平分线的性质及其应用．
教学难点：灵活应用两个性质解决问题．
教学方法：探索、归纳的方法．
教具准备 ：剪刀、折纸、投影片．
教学过程：Ⅰ．创设情境，引入新课
请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．
Ⅱ．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．
2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求． 画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
学生通过讨论作出下列概括： 已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题：那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
讨论：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．
性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？
[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．
[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．
下面请同学们思考一个问题． 思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）
讨论结果展示：
1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下： 第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．
[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：略
三．随堂练习：
在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．
四．课时小结： 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
五．课后作业：P22页3、5题。思考：6题。
六、板书：
七、教学反思：
十三章 全等三角形复习
教学目标：
知识与技能：了解全等形及全等三角形的概念；理解全等三角形的性质，掌握它的判定及角平分线的应用。
过程与方法：通过学习全等三角形的性质和条件，培养学生综合应用能力，培养学生的几何直觉。
情感态度价值观：学生通过在综合运用全等三角形的性质、条件及平分线的过程中感受到数学与生活息息相关，从而激发学生学习数学的兴趣。
重点：全等三角形的性质和条件的综合应用。
难点：全等三角形的性质、条件和其他数学知识的综合应用。
课型：复习课 教具：三角板、多媒体。
教学过程：一、复习
1、 全等三角形的定义？表示方法？全等变换有几种？
2、 全等三角形有何性质？有何作用？
3、 全等三角形的判定方法有几种？分别是什么？
4、 三角形全等的应用：尺规作图的依据、三角形的稳定性、实际应用。
5、 角平分线的应用？
二、错例辨析：
1、如图，已知△ABC≌△EFD,∠C=∠D,AE=BF，指出其他的对应边和对应角。
2、如图，AB=CD,AC与BD相交于点O，若AC=BD，则∠B=∠C吗？为什么？
3、如图，AE=AC,AB=AD, ∠EAB=∠CAD,求证：∠B=∠D。
三、中考分析：（一）利用全等三角形的性质计算线段和角。
1、如图，△ABC≌△DEC, ∠ACB=900,且∠DCB=1260,求∠ACE的度数。
2、如图，OA=OB，OC=OD，∠O=600，∠C=250,则∠BED=_______。
（二）利用已知条件构造全等三角形。
1、如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。①AE=AD，②AB=AC，③OB=OC，④∠B=∠C
2、如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC。
求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD。
（三）综合应用
1、如图，∠AOP=∠BOP=150，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长。
2、求证：三角形一边上的两个端点到这条边的中线的距离相等。
（要求：根据题意画出图形，写出已知，求证，并证明）
四、小结：
五、作业：
六、反思：
十三章 全等三角形复习
一、填空题
1．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
2．已知：如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= °．
C
A O B
D
A
E
B C
D
1题 2题 3题
A
B D C
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则D到AB的距离为 ．
A D
O
B C
4题、5题图
4．如图，∠A=∠D，AB=CD，则△ ≌△ ，
根据是 ．
5．如图，△ABC≌△DBC，若BC=6cm，AC=5cm，
AB=4cm，则CD= ．
6．如图，已知：在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要
添加条件 或 ； 若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 ，或 ．
C
A B
6题
D
A
C O
7题
B
A
8题
B D C
7．如图，在ΔAOC与ΔBOC中，若AO=OB，∠AOC=∠BOC，加上条件 ，则有ΔAOC≌ΔBOC。
8．如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，若AB=10cm，AC=8cm，则SΔABD：SΔACD= ．
二、选择题：
9．下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是 （ ）
（A）∠A=∠D， ∠C=∠F， AC=DF （B）AB=DE， BC=EF， ∠A=∠D
（C）∠A=∠D， ∠B=∠E， ∠C=∠F （D）△ABC的周长等于△DEF的周长
C
A B
D 11题
O
10．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点． （ ）
（A）高 （B）角平分线 （C）中线 （D）三边垂直平分线
11． 已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论，不正确的是（ ）
（A）CO=DO（B）AO=BO A
E F
12题
B D C
（C）AB⊥BD （D）△ACO≌△BCO
12．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法
正确的有几个 （ ）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
三、解答题：
A
B F
E C
D
13．如图，AB=DF，AB∥DF，BE=FC，问：ΔABC与ΔDEF全等吗？AC与DE平行吗？请说明你的理由。
B
A
C
D
E
F
14．已知：如图，BD=CD，BF⊥AC ，CE⊥AB．
求证：点D在∠BAC的平分线上．
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