资源描述
《15.2.1平方差公式》教案
教学目标
1．认识平方差公式并了解公式的意义，会用平方差公式进行计算并解决简单的实际问题。
2．了解公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。
3．经历平方差公式的探索过程，进一步发展符号感和推理能力，体会从特殊到一般的思想方法。
教学重点
理解并运用平方差公式计算并解决数学问题。
教学难点
公式推导的理解及理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式进行计算，
教学手段
多媒体辅助教学。
教学过程设计
（一）创设情境，引出课题
问题1： 我去商店买糖果，单价是5.8元/千克，买了4.2千克，售货员刚拿起计算器，旁边一个女孩就说：“应付24.36元。”结果与售货员计算出的结果一样。售货员很惊讶地说：“你怎么算得这么快？” 同学们，你知道她是怎样快速算出结果的吗?
【设计意图】 以学生身边的实际问题为例，激发学生对数学学习的兴趣，并自然引出本节课的主要内容。
（二）探索新知，尝试发现
问题2：你能叙述一下多项式与多项式相乘的法则吗？
问题3：计算下列多项式的积
(1)(x+1)(x-1) =x2-1
(2)(m+2)(m-2)=m2-4
(3)(2x+1)(2x-1)=4x2-1
【设计意图】 通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．
问题4：观察以上三道题并思考下列问题：
1.等式左边的两个多项式有什么特点？
2.等式右边的多项式有什么特点？
3.你能用自己的语言叙述所发现的规律吗？
教师提问，师生活动。学生通过自主探究、合作交流，发现规律：式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
【设计意图】 根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理．
（三）总结归纳，发现新知
问题5：对于任意的a、b，计算 (a+b)(a-b)
由学生运用多项式乘法法则计算：
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
从而验证了其公式的正确性．
问题6：你能用文字语言表示所发现的规律吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
(a+b)(a−b)=a2−b2
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．
（四）数形结合，几何说理
问题7：你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
`
a
a
b
b
a
a
b
【设计意图】通过多媒体演示,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．
（五）剖析公式，发现本质
问题8 ：平方差公式有哪些结构特征？
在平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2中，其结构特征为：
1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
2.右边是两个二项式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．
（六）巩固运用，内化新知
例1 运用平方差公式计算：
1.(3x+2)(3x–2)
2.(b+2a)(2a-b)
3.(-x+2y)(-x-2y)
解：1.(3x+2) (3x–2) = (3x)2 - 22= 9x2- 4
2.(b+2a)(2a-b)
=(2a+b) (2a-b) = (2a)2 - b2= 4a2- b2
3.(-x+2y) (-x-2y) = (-x)2 - (2y)2= x2- 4y2
【设计意图】平方差公式是多项式乘法运算中的一个重要公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能运用。在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算。
问题9：思考：运用平方差公式的关键是什么？
运用平方差公式的关键是把要计算的式子与平方差公式对照,明确哪个是 a , 哪个是 b。左边两个二项式中完全相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
练习：眼明嘴快
1 下列式子能用平方差公式计算吗? 为什么?
(1) (a+b)(-a−b) (2) (a−b)(b+a)
(3) (a+2b)(2b+a) (4) (-2x+y)(y−2x)
【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．
2 下面各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
(1) (x+2)(x-2)= x2-2 (2)(-3a-2)(3a-2)= 9a2-4
(3)(3x-y)(-3x-y)= y2-9x2
【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．
3．口答下列各题：
(1)(-a+b)(a+b) (2)(a-b)(b+a) (3)(-a-b)(-a+b)
(4)(a-b)(-a-b) (5) (a+3b)(a-3b) (6) (3+2a)(-3+2a)
【设计意图】通过基本练习，让学生逐步看清平方差公式的特征，看到问题的本质。
（七）拓展深化，发展思维
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)
【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
练习：运用平方差公式计算.
(1) 51×49
(2) (3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2)
问题10：观察例1和例2，平方差公式中字母a、b可以表示什么？
平方差公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式。
【设计意图】通过分析例1、例2，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
问题11：如何解决本节开头提出的问题？
5.8×4.2=(5+0.8)(5-0.8)=52-0.82=25-0.64=24.36
【设计意图】运用平方差公式解决实际问题，体现了数学来源于生活，服务于生活，学生感受到学习了有用的数学。
（八）小试牛刀，挑战自我
1.(a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)
2. (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
【设计意图】设计此组题旨在灵活运用平方差公式。
（九）小结提高，知识升华
问题12：通过本节学习，大家认识了什么公式？运用公式要注意什么？通过本节学习，大家领会了哪些数学思想？
【设计意图】从知识和数学思想两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．
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