资源描述
3.1 圆
1．理解确定圆的条件及圆的表示方法；(重点)
2．掌握圆的基本元素的概念；(重点)
3．掌握点和圆的三种位置关系．(难点)
一、情境导入
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”它的完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有同一形状，它最谐调、最匀称．观察图形，从中找到共同特点．
二、合作探究
探究点一：圆的有关概念
【类型一】 圆的有关概念
下列说法中，错误的是( )
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
解析：直径相等的两个圆是等圆，A选项正确；长度相等的两条弧的圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，B选项错误；圆中最长的弦是直径，C选项正确；一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，D选项正确．故选B.
方法总结：掌握与圆有关的概念是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 圆的概念的应用
如图，CD是⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，连接OE，∠A＝20°，AB＝OC，求∠DOE的度数．
解析：由AB＝OC得到AB＝BO，则∠A＝∠1，而∠2＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD.
解：连接OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠A＝∠1.又∵∠2＝∠A＋∠1，∴∠2＝2∠A.∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.
方法总结：解决此类问题要深刻理解圆的概念，在圆中半径是处处相等的，这一点在解题的过程中非常关键，不容忽视．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：点与圆的位置关系
【类型一】 判定几何图形中的点与圆的位置关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D、E分别为BC、AB的中点，以点A为圆心，AC长为半径作圆，请说明点B、D、C、E与⊙A的位置关系．
解析：先根据勾股定理求出AC的长，再由点D、E分别为BC、AB的中点求出AD、AE的长，进而可得出结论．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6.∵AB＝10＞6，∴点B在⊙A外；∵在Rt△ACD中，∠C＝90°，∴AD＞AC，∴点D在⊙A外；∵AC＝AC，∴点C在⊙A上；∵E为AB的中点，∴AE＝AB＝5＜6，∴点E在⊙A内．
方法总结：解决本题关键是掌握点与圆的三种位置关系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 根据点与圆的位置关系确定圆的半径的取值范围
有一长、宽分别为4cm、3cm的矩形ABCD，以A为圆心作⊙A，若B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是__________．
解析：∵矩形ABCD的长、宽分别为4cm、3cm，∴矩形的对角线为5cm.∵B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围是3＜r＜5.故答案为3<r<5.
方法总结：解决本题要熟练掌握点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型三】 在平面直角坐标系中判断点与圆的位置关系
如图，⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为(1，1)，试判断点P(－1，1)，点Q(1，0)，点R(2，2)与⊙O′的位置关系．
解析：首先求得圆的半径长，然后求得P、Q、R到Q′的距离，即可作出判断．
解：⊙O′的半径是r＝ ＝，PO′＝2＞，则点P在⊙O′的外部；QO′＝1＜，则点Q在⊙O′的内部；RO′＝＝＝圆的半径，故点R在圆上．
方法总结：注意运用平面内两点之间的距离公式，设平面内任意两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝.
【类型四】 点与圆的位置关系的实际应用
如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的客车车速为60千米/时．
(1)当客车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，客车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，客车到发射塔的距离是多少千米(离发射塔越近，信号越强)?
(2)客车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能接收到信号吗？请说明理由．
解析：(1)根据路程＝速度×时间求得客车行驶了0.5小时的路程，再根据勾股定理就可得到客车到发射塔的距离；(2)根据勾股定理求得BC的长，再根据有效半径进行分析．
解：(1)过点B作BM⊥AC于点M，则此时接收信号最强．∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50千米，∴BM＝40千米．所以，客车到发射塔的距离是40千米；
(2)到C城后还能接收到信号．理由如下：连接BC，∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，∴CM＝AC－AM＝90千米，∴BC＝＝10千米＜100千米．所以，到C城后还能接收到信号．
方法总结：解决本题的关键是能够正确理解题意，熟练运用勾股定理进行计算．
三、板书设计
圆
1．圆的有关概念
2．点和圆的位置关系
设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点P在圆外⇔d＞r；
点P在圆上⇔d＝r；
点P在圆内⇔d＜r.
本节课的设计总体思路清晰，对于圆及相关知识的概念理解较为深刻，对于圆的概念的形成过程主要通过让学生找出圆的两种不同画法的共同点得到，抓住了本质．通过教材中圆的概念的阅读，让学生找出关键词，从而让学生进一步理解圆的概念．例题的分析，是本节课的一个难点，为分散难点，本节课采用了小问题的形式进行，关注数学建模过程，抓住问题的本质：判断每一个点与圆的位置关系.
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