云南省昆明市艺卓高级中学八年级数学下册《4.2 黄金分割》教学设计 北师大版.doc

4.2 黄金分割一、教学内容及其分析1、教学内容：黄金分割2、内容分析：本节课要学的内容是黄金分割，指得是线段的比、成比例线段，其核心是线段的比，理解它关键是把握成比例线段的特点，来理解黄金分割的内容。学生已经学过了基本作图，懂得了作图的方法。又在学习本章第一节后，掌握了线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质，求比的计算和比例尺的计算等知识，本节课的内容黄金分割，就是成比例线段的应用。由于学习黄金分割不仅实现线段比例的要求，更是体现数学的文化价值，0.618的意义，体现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。所以在本学科有非常重要文化价值，并有美化生活的作用，是相似形这一章的基础内容。教学的重点是了解黄金分割的意义并能运用，解决重点的关键是通过建筑、艺术上实例欣赏，应用中进一步强化线段的比、成比例线段的特点，来理解黄金分割的内含。二、目标及其分析 （一）教学目标1.了解黄金分割，会找一条线段的黄金分割点，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；2.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。3.理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系。（二）目标分析1.了解成比例线段，就是是指结合具体事例，从它们的表示形式上对它们有所了解，并不给出它们的定义，更不涉及其图像或性质。2.理解比例的基本性质就是指对性质的推理要明白，知道依据是什么。由于本节课的教学内容重点是比例的性质，后续内容还涉及其运算，所以对比例的性质的定位应该是理解层次，并能简单应用。三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是找出黄金分割点和黄金矩形，产生这一问题的原因是对比例性质的理解，以及性质推理的认识。要解决这一问题，就是要用等式性质及方程的观点处理问题，关键是把握“比值k”的方法将比例的性质加以证明，掌握其内在的联系。四、教学过程问题1：为什么女同胞们穿高跟鞋更有魅力？设计意图：通过创设一个有趣的情景，将同学的注意力引向本章的学习之中，并引出黄金比解决实际问题。师生活动：对同学不同的回答，要求其说明原因。问题2：能从以下国旗中找出共同的图案吗？设计意图：导出五角星，并据此提出下一问。（中国、新加坡、朝鲜、新西兰国旗）师生活动：同学回答出即可，教师接着追问问题3.问题3：度量点C到A、B的距离，相等吗？设计意图：利用五角星，创设一个有利于同学探究和综合运用线段比的情境。引入黄金分割的概念，黄金比约为0.618。师生活动：提出问题让同学观察、思考、交流、探究，并共同归纳：在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比。其中即因为学生尚未学习一元二次方程，所以无法理解比值为的理由，只需让学生了解这一事实即可。例1：如何确定黄金分割点？如果已知线段AB，按照如下方法画图： （1）经过点B作BDAB，使（2）连接AD，在DA上截取DE=DB（3）在AB上截取AC=AE，则点C为线段AB的黄金分割点。根据上述作图回答下列问题（1）如果设AB=2，那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？（2）点C是线段AB的黄金分割点吗？设计意图：在于向同学介绍一种作黄金分割点的方法，同时巩固同学对黄金分割的认识。师生活动：教师操作，同学动手、独立思考，再与同伴交流完成。由于学生所学过的尺规作图方法有限，作图工具可以用三角尺和刻度尺。变式练习1：如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是AB的黄金分割点。任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？设计意图：在于向同学介绍另一种可以学到黄金分割点的方法，同时进一步巩固黄金分割点的认识。师生活动：教师引导，学生动手、观察、思考、交流、讨论，解决问题。问题4：请同学们观看图4-7是古希腊时间的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形，画成如图4-8中的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么，我们可以惊奇的发现请你们想一想：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗？设计意图：在于展示黄金分割的文化价值，在人类历史上的作用，运用比例变形的一些技巧，体会比例基本性质的重要性，提高解题问题的能力。师生活动：教师充分引导学生观察、思考、交流、讨论、解决问题。变式练习2：下面一组矩形中, 你觉得哪一个矩形最好看呢?为什么？德国一位名叫费希纳的心理学家，曾经专门召开过一个“矩形展览会”，每件展品的边长均在35厘米以下。他邀请了592位朋友到会参观，要求每位参观者在看完之后投票选出自己心中认为最美的矩形，结果下面四种矩形得票最多：58，813，1321，2134。这组矩形的短边与长边之比均接近0618。17世纪的英国美学家夏里兹曾说：“凡是美的都是合谐的和比例合度的；凡是和谐的和比例合度的就是真的，凡是既美而又真的也就是在结果上愉快和完善的”。那么，在人们的眼中，什么样的事物才算是美的？人们在探求美的规律的过程中，有这样的发现：著名的维纳斯女神像，以及太阳神阿波罗的塑像，从肚脐到脚底的高度与全身高度之比为0618。在达芬奇、提香等众多著名艺术家的作品中，有许多比例关系，也都是0618。为什么人们对0618如此钟爱？它又是怎样的一个数？这恐怕还得从古希腊毕达哥拉斯的一句名言谈起：“凡是美的东西都具有共同的特征，就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致性。”假设C是线段AB的一个分点，为了实现其“协调一致”，那么应该有，如果设AB=1，AC=x，则这个神秘的数原来是方程的正根，平时我们只取它的近似值，又称为“黄金比”；导致这一比值的分割，便称为“黄金分割”；上例中的C点则称为线段AB的“黄金分割点”。自从古希腊数学家欧多克索首次发现了“黄金比”之时，它便成了一条公认的美学规律。“黄金分割”也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面。如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618，建筑师们常常把它作为门窗的比例，这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，给观众留下更美好的形象；黄金分割在工厂里也有着普遍的应用。如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种。就连我们国家庄严美丽的国旗图案中的正五角形，也蕴含着黄金比：正五角形的每条边恰好被与之相交的另外两边黄金分割。黄金比在数学、美学、艺术中显示出了艺大的作用，随处可以见到它的影子。难怪中世纪意大利数学家帕西奥里称之为“神圣比例”。首次将它冠以“黄金”美称的，则是意大利著名科学家、艺术家和工程师达芬奇。在日常生产、生活和工程设计中，常常会面临这样一个问题：如何用最少的时间和步骤得出最佳的方案。比如说，要配制一种化学药剂，需要在其中加入10克50克的酒精，那么应该加多少呢，通常的方法是从加互克开始，然后是2克、3克不断重复试验直至找到最佳值。这种办法费时费力而且很盲目。优选法就是为了减少步骤而得到相同结果的迅捷方法，其中以黄金比为核心的0618法最为人们所称道。还是举一个例子来说明0618法的步骤：假若配制一种药剂需要加入10002000克的酒精，应该如何尝试求出最佳值？首先可以找一张大纸条，上面均匀地标好从l000到2000的数值，然后取其黄金分割点1618，划上一条线，再把纸条从正中央对折，在1618的线的正下方对应的点1382上也划了条竖线，相当于求出另外一个方向上的黄金分割点，然后取这两个值进行比较，看哪个更接近所需结果，倘若1618的结果比较好，就把纸条从1382剪去，剩下的点1618仍是黄金分割点，然后再对折，再划线，再比较，再剪去不需要的线段，这样很快就可以把范围缩得很小，很容易地就把最佳结果找到了。这种方法在70年代曾被数学家华罗庚在全国大力宣传和推广，产生了巨大的经济效益。图片欣赏1、上海东方明珠塔，是亚洲第一，世界第三，塔高462.85米。设计师将在295米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观。2.太阳神阿波罗的塑像，从肚脐到脚底的高度与全身高度之比为0618。3.据专家调查，芭蕾演员虽身材修长，但其腰长与身高之比平均约为058，只有在翩翩起舞时、踮起脚尖，方能展现0618的魅力。4.希腊古城雅典有一座大理石彻成的神庙，其中有一尊雅典娜女神像，由象牙黄金雕制而成，姿态十分优美。专家研究后发现：她的腰长（即从肚脐到脚底的距离）与身高的比值，恰好等于0618。5.著名的巴黎圣母院，同样应用了黄金比。6.著名画家达芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.7.文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618. 8.当植物的枝干的夹角13728时,通风和采光能达到最好效果,这是为什么呢?数学，不仅使你更聪明，而且使你更美丽。 设计意图：通过建筑、艺术上的实例再次了解黄金分割，体会黄金分割在现实生活的广泛应用和文化价值，增强学生的数学应用意识。师生活动：教师提供几幅图片，在教师的引导下，学生认真观察、思考、交流，从图中找出黄金分割点或黄金比。例2：电信公司通往某地的通信信号突然中断，通信电缆有10千米，现在公司要派人检测，找到故障发生地，请你提供一种你认为速度较快的检测方案？变式练习1：据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合。（人的正常体温36.237.2）变式练习2：在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某女士身高1.68米，下半身1.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？变式练习3：邻边满足黄金分割的矩形称为黄金矩形,腰与底满足黄金分割的等腰三角形称为黄金三角形。试画一个黄金矩形和黄金三角形。五小结：1.什么是黄金分割?2.如何去确定黄金分割点或黄金比?3.如何要用数学美去装点和美化生活?