九年级数学下册•方案设计问题•教案数学沪科版.doc

沪科版·九年级下·方案设计问题·教案
几何方案设计问题近年各地中考比较常见的一种新题型，该问题是指应用几何知识对有几何背景的实际问题按题目的要求，对图形进行分割，选择，判断，设计，计算的一种数学试题。利用几何知识进行方案设计，不仅要熟炼地运用几何图形的性质，而且要掌握全等，相似，图形变换，三角函数等有关知识，还要有较强的几何作图能力，在解题中还应当考虑采用分类讨论，类比归纳，猜想验证等数学方法。
类型一、利用几何知识解方案设计问题：
（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．
（1）求、，并比较它们的大小；
（2）请你说明的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
B
A
P
X
图（1）
Y
X
B
A
Q
P
O
图（3）
B
A
P
X

图（2）

解：⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
∴AC＝30
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40
∴ BP＝
S1＝
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，
又BC＝40
∴BA'＝
由轴对称知：PA＝PA'
∴S2＝BA'＝
∴﹥
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA'
∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B
∴S2＝BA'为最小
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
A'B'＝
∴所求四边形的周长为

类型二、利用计算比较方案的优劣：
（宁夏中考）居民楼的采光是人们购买楼房时关心的一个重要问题．冬至是一年中太阳光 相对地球北半球位置最低的时刻，只要此时楼房的最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射．宁夏地区冬至时阳光与地面所成的角约为30°，如图所示．现有A、B、C、D四种设计方案提供的居民楼的高H(米)与楼间距L(米)的数据，如下表所示．仅就图中居民楼乙的采光问题，你认为哪种方案设计较为合理，并说明理由(参考数据 =1．732)．

A
B
C
D
H(米)
12
15
16
18
L(米)
18
25
28
30
解：根据题意：tan30°= /3=0．5773．
设计合理的楼房应满足：H/L≤0．5773．
∵对于A方案：12/18=0．6667>0．5773，对于B方案：15/25=0．6>0．5773，
对于c方案：16/28=0．5714<0．5773，对于D方案：18/30=0．6>0．5773．
∴C方案设计较为合理．
类型三、利用图形变换的知识进行图案设计：
（09义乌)（1）如图1，正方形网格中有一个平行四边形，请在图1中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分；
(2)把图2中的平行四边形分割成四个全等的四边形（要求在图2中画出分割线），并把所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个轴对称图形或中心对称图形，使所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格点上。
温馨提示：作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑。

解：（1）画图正确（注：所画直线必须过平行四边形对称中心）；
（2）附：部分参考分法及拼法．

四、基本训练
1．（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形 D．菱形
2．（05日照）一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形，且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案．某同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

3．（07四川乐山）认真观察图（3.1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
图（3.1）

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1：_________________________________________________；
特征2：_________________________________________________．
（2）请在图（10.2）中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征

4．（2008莆田）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出人口，要求分别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案：
方案（1）：如图（1）所示，两个出入口E、F已确定，请在图（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案（2）：如图（2）所示，一个出入口M已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．
图（3.2）

5．（07潜江等）经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得．
（1）求所测之处江的宽度（）；
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．
A
C
B
图①
图②

6．（09达州)阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具．三角尺．标杆．小平面镜等.
首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含30角）来测量”.于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15㎝，小明的眼睛与地面的距离为1.6㎝，如图甲所示.
然后，小红和小强提出了自己的想法.
小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.”
小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！”
根据以上情景，解答下列问题：（1）利用图甲，请你帮助小明求出旗杆AB的高度（结果保留整数.参考数据：，，，）；

（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中方案在图乙中画出测量示意图，并简述测量步骤.
7．（09济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子.

图1
图2

（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶的仰角，在点和塔之间选择一点，测出看塔顶的仰角，然后用皮尺量出．两点的距离为m,自身的高度为m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（，结果保留整数）.

（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影的长为m（如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；
②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？
.
8．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
北
东
B
A
C
D

l

9．某市经济开发区建有三个食品加工厂，这三个工厂和开发区处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且米，米．自来水公司已经修好一条自来水主管道两厂之间的公路与自来水管道交于处，米．已知自来水主管道到各工厂的自来水管道每米造价800元，每条管道至少可供两家工厂用水．
（1）要使修建自来水管道的造价最低，B工厂的自来水管道路线应怎样设计？在图形中画出，并求出B厂所修建的自来水管道的最低的造价是多少元？
（2）CD两厂计划共同修建自来水管道，若要使修建自来水管道的造价最低，则它们的自来水管道路线应怎样设计？在图形中画出，并说明理由。

【答案】
1．D 2．C
3．（07四川乐山）解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等
（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个．

4．（2008莆田）解：方案（1）

画法1： 画法2： 画法3：
（1）过F作FH∥AD交 （1）过F作FH∥AB交 （1）在AD上取一点
AD于点H AD于点H H，使DH＝CF
（2）在DC上任取一点G （2）过E作EG∥AD交 （2）在CD上任取
连接EF、FG、GH、 DC于点G 一点G
HE，则四边形EFGH 连接EF、FG、GH、 连接EF、FG、GH、
就是所要画的四边形； HE，则四边形EFGH HE，则四边形EFGH
就是所要画的四边形 就是所要画的四边形

方案（2）画法：
（1）过M点作MP∥AB交AD于点P，
（2）在AB上取一点Q，连接PQ，
（3）过M作MN∥PQ交DC于点N， 连接QM、PN、MN，则四边形QMNP就是所要画的四边形（本题答案不唯一，符合要求即可）
5．（07潜江等）解：（1）在中，，
∴（米）
答：所测之处江的宽度约为248米
（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识
来解决问题的，只要正确即可得分．
6．（09达州)解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△BDE中，DE=AC=15m，∠BDE=30°
∴BE=DE·tan30°≈15×058=870(m)
∴AB=BE+AE=870m+16m=103m≈10m
（2）小红和小强提出的方案都是可行的
小红的方案：利用皮尺和标杆：
（1）测量旗杆的影长AG
（2）测量标杆EF的长度
（3）测量同一时刻标杆影长FH
小强的方案：把小平面镜放在适当的位置（如图点P处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB的顶端
步骤：
（1）测出AP的长度
（2）测出NP的长度
（3）测出小强眼睛离地面的高度MN
7．（09济宁市）解:（1）设的延长线交于点，长为，则.
∵,∴.∴.
∵,∴,解得.
∴太子灵踪塔的高度为.
(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P点看塔顶的仰角．自身的高度. (注：答案不唯一)
8．（2009临沂）解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可得．
和都是等腰直角三角形．
，．
两村的距离为（km）．
方法二：过点作直线的平行线交的延长线于．
易证四边形是矩形，
．
在中，由，可得．
（km）
两村的距离为km．
（2）作图正确，痕迹清晰．

B
A
C
D

l
N
M
O
P

作法：①分别以点为圆心，以大于的长为
半径作弧，两弧交于两点，
作直线；
②直线交于点，点即为所求．
9．（05年潍坊）
（1）要使修建自来水管道的造价最低，B工厂的自来水管道路线应怎样设计？在图形中画出，并求出B厂所修建的自来水管道的最低的造价是多少元？
（2）CD两厂计划共同修建自来水管道，若要使修建自来水管道的造价最低，则它们的自来水管道路线应怎样设计？在图形中画出，并求出所修建的自来水管道的最低的造价是多少元？
解：（1）过B作的垂线段BH，交于H，BH即为B厂的造价最低的管道路线．
（米），＝1500（米），
∴（米），
∴B厂所建自来水管道的最低造价是720×800＝576000（元）
（2）过点C作的垂线段CF，交于F，则折线段FCD即为所求的造价最低的管道路线．理由是：作过点D作的垂线段DG，交于G，若CD两厂分别引水，则路线DG与CF的和为最短，由相似可求得CE＋DG＝300＋1020＝1320(米)， 而折线段FCD的长为300＋900＝1200(米)

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