资源描述
23.4 中位线
1．经历三角形中位线的性质定理形成过程．
2．掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题．
3．通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力．
重点
三角形中位线的性质定理．
难点
三角形中位线的性质定理的应用．
一、情境引入
在前面23.3节中，我们曾解决过如下的问题：如图，在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC.由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点，现在换一个角度考虑，如果点D，E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
二、探究新知
教师从课件展示的图片中引导学生进行猜想，证明，归纳得出三角形中位线的性质定理．
1．猜想：从画出的图形看，可以猜想：
DE∥BC，且DE＝BC.
2．证明：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB与AC的中点，
∴＝＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)，
∴∠ADE＝∠ABC，＝(相似三角形的对应角相等，对应边成比例)，
∴DE∥BC，且DE＝BC.
思考：本题还有其他的解法吗？
已知：如图，在△ABC中， AD＝DB，AE＝EC.求证：DE∥BC，DE＝BC.
【分析】要证DE∥BC，DE＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形．
还可以作如下的辅助线．
【归纳结论】我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
教师展示多媒体例1，例2，可由学生自主完成，教师可略作指导，分析．
例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，
AF＝FC.
求证：AE，DF互相平分．
【分析】要证AE，DF互相平分，即要证四边形ADEF为平行四边形．
证明：连结DE、EF.
∵AD＝DB，BE＝EC，
∴DE∥AC，
同理可得EF∥BA.
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴AE，DF互相平分．
例2 如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝.
【分析】有两边中点易想到连结两边中点构造三角形的中位线．
证明：连结ED.
∵点D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，＝，
∴△ACG∽△DEG，
∴＝＝＝，
∴＝＝.
思考：在例2的图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图，那么我们同理可得＝，即两图中的G与G′是重合的，由此我们可以得出什么结论？
归纳：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.
三、练习巩固
教师课件展示练习题1，2，可由学生自主完成，小组内交流，再由教师点名上台展示，教师点评．
1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为点M，CE和DF的交点为点N.求证：MN∥AD，MN＝AD.
第1题图
第2题图
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，CD的中点，且AC＝BD，求证：OM＝ON.
【答案】1.解：连结EF，证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，得FM＝AM，FN＝DN，
∴MN∥AD，MN＝AD.
2．解：取BC的中点G，连结EG，FG，
∵BG＝CG，BE＝AE，
∴GE＝AC，EG∥AC，
∴∠ONM＝∠GFE，
同理GF＝BD，FG∥BD，
∴∠OMN＝∠GEF，
∵AC＝BD，
∴GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，
∴∠ONM＝∠OMN，
∴OM＝ON.
四、小结与作业
小结
1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2．三角形中位线定理的应用．
3．三角形重心的性质．
布置作业
从教材相应练习和“习题23.4”中选取．
本课时从学过的知识入手猜想中位线的性质，并通过动手画图、操作，证明猜想，体会知识的形成过程，加深对知识的理解．在证明的过程中举一反三，用多种方法证明三角形中位线定理，通过具体的实例分析，提高学生应用知识的能力．
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