山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册《第二章运用公式法》教案1 北师大版.doc

山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册《第二章，运用公式法》教案1 北师大版
教学目标：
1.使学生会用完全平方公式分解因式．
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式．.
3.在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
4.通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.
教学重难点：
重点：让学生掌握用完全平方公式进行分解因式，掌握多步骤、多方法分解因式方法.
难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.
教法及学法指导：
教法：启发诱导、类比探究法．
学法：自主探究、合作交流．
课前准备：多媒体课件.
教学过程
一、温故知新，引入新课
师：分解因式学了哪些方法？
生：提取公因式法和运用平方差公式法．
师：用提公因式法和运用平方差公式法分解因式要注意哪些问题？
（学生踊跃回答互相补充.）
师：大家回答的都很棒，那么大家展示一下自己的才学.（教师投影问题.）
因式分解
要彻底.
把下列各式分解因式：
（学生板演，师生共同纠错，并强调注意事项.）
解:（1）原式=ax2(x2-1) （2）解:原式=(x2+4)(x2-4)
有公因式，先提公因式.
=ax2(x+1)(x-1) =(x2+4)(x+2)(x-2)
师：整式乘法中，我们除了学过平方差公式外，还学过了哪些公式？
生：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
师：本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.
（教师板书课题------2.3 运用公式法（2）.）
设计意图：复习以习题的形式回忆两种提公因式和平方差公式分解因式的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫.
二、合作探究，获取新知
师：由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
生：可以.
将完全平方公式倒写：
a2+2ab+b2=(a+b)2；
a2-2ab+b2=(a-b)2.
多项式与多项式相乘
分解因式
(a±b)2
a2±2ab+b2.

便得到用完全平方公式分解因式的公式.

师：很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点?
生：从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.
师：【总结】左边的特点：
（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍，符号可正可负.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
形如：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
【辨一辨】
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-4a+4；（2）x2+4x+4y2；（3）4a2+2ab+b2；（4）a2-ab+b2；
师：判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
（学生独立做题，教师选代表回答.）
生1：（1）是.
生2：（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；
生3：（3）是；
生4：（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍．
【牛刀小试】
师：已知4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k是多少？
（学生先独立思考，然后小组交流，并选代表回答.）
生：k是±12，因为kxy是完全平方式中的乘积的2倍对应的项，而完全平方式有两种形式，所以它对应的答案有两个.
师：大家回答的很好，现在我们一起利用完全平方式分解因式.
设计意图：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发，加深学生对完全平方式特征的理解，并能顺利的辨别哪些是完全平方式，为利用完全平方式分解因式打下基础.
三、学以致用，解决问题
【例题讲解】
例3把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49；（2）(m+n)2-6(m +n)+9.
师：【点拨】大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的ab可以是单项式，也可以是多项式.
解： a2+2·a·b+b2=(a+b)2
↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓
（1）x2+14x+49=x2+ 2·x·7+72=(x+7)2.
师：仿照（1）把（2）分解因式.
（2）(m+n)2-6(m+n)+9
=(m+n)2-2·(m+n)×3+32
=［(m+n)-3］2
=(m+n-3)2.
例4把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2；
（2）-x2-4y2+4xy.
师：【点拨】对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
（2）-x2-4y2+4xy
=-(x2-4xy+4y2)
=-［x2-2·x·2y+(2y)2］
=-(x-2y)2.
【即学即用】
随堂练习：
1.下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式.
（1）x2-x+；（2）9a2b2-3ab+1；（3）m2+3mn+9n2；（4）x6-10x3-25.
（学生先口答，然后板演.）
解：（1）是完全平方式
x2-x+
=x2-2·x·+()2
=(x-)2.
（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求；
（3）是完全平方式；
m2+3mn+9n2
=(m)2＋2×m×3n+(3n)2
=(m+3n)2.
（4）不是完全平方式.
2.把下列各式分解因式：
（1）x2-12xy+36y2；（2）16a4+24a2b2+9b4；（3）-2xy-x2-y2；（4）4-12(x-y)+9(x-y)2.
（学生板演，教师纠错.）
解：（1）x2-12xy+36y2
=x2-2·x·6y+(6y)2
=(x-6y)2；
（2）16a4+24a2b2+9b4
=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2
=(4a2+3b2)2
（3）-2xy-x2-y2
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2；
（4）4-12(x-y)+9(x-y)2
=22-2×2×3(x-y)+［3(x-y)］2
=［2-3(x-y)］2
=(2-3x+3y)2.
设计意图：培养学生对完全平方公式的应用能力；让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．在例4中，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.
【过关斩将】
3．把下列各式分解因式：
（1）(x2-2x)2+2(x2-2x)+1；
（2）(x2+y2)2-4x2y2.
师：你发现这两道题与前面做过的有什么特殊之处吗？
（学生自由发言互相补充.）
生：有.
生：没有.
师：有没有，大家做一下就知道了.
（学生板演，教师纠错.）

因式分解要彻底呦？
解：（1）(x2-2x)2+2(x2-2x)+1
=(x2-2x)2+2·(x2-2x)·1+12
=［(x2-2x)-1］2
=(x2-2x-1)2
=［(x-1)2］2
=(x-1)4.
（2）(x2+y2)2-4x2y2
=(x2+y2)2-(2xy)2
=(x2+y2-2xy)2
=［(x-y)2］2
=(x-y)4.
【火眼金睛寻“法宝”】
补例：已知x2+y2-4x+6y+13=0，求x，y的值.
师：怎样才能求出x，y的值呢？
（学生自由发言互相补充.）
生：构造完全平方式.
生：x2，y2项组合.
生：x2，y2项组合没有xy项，它们不能组合.
生：分组提公因式.
生：……
师：大家的想法都很不错，那到底哪种方法能求出x，y的值呢？还需大家好好的思考.
（教师引导并板书过程.）
解：依题意：x2+y2-4x+6y+13=0
∴x2-4x+4+y2+6y+9=0
∴(x-2)2+(y+3)2=0
∵(x-2)2≥0，(y+3)2≥0.
∴要使(x-2)2+(y+3)2=0成立，当且仅当(x-2)2=0,(y+3)2=0时成立.
∴x=2，y=-3.
设计意图：本题考察学生应用完全平方式综合水平，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
四、回顾课堂，盘点收获
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它的特点：
左边的特点：
（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍，符号可正可负.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.
设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
五、快乐套餐，深化提高
1、判断正误：
（1）x2+y2=(x+y)2 ( )．
（2）x2–y2=(x–y)2 ( )．
（3）x2–2xy–y2=(x–y)2 ( )．
（4）–x2–2xy–y2=–(x+y)2 ( )．
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x2–x+； （2）9a2b2–3ab+1；
（3）； （4）.
3、把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2； （2）16a4+24a2b2+9b4；
（3）–2xy–x2–y2； （4）4–12（x–y）+9（x–y)2.
4、已知x2+y2+16x–4y+68=0，求x+y的值.
设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本第60页 习题2.5 第1、2题.
选做题：课本第60页 习题2.5 第3、4题.
板书设计:
2.3 运用公式法（2）
运用公式法：
a2-2ab+b2=(a-b)2
a2+2ab+b2=(a+b)2

例3

例4

补例：
学生板演区

教学反思:
逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维．它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程．
整式乘法中的完全平方公式从左到右转换为从右到左就形成因式分解的完全平方公式，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现．
遗憾之处：练习时间短，学生做题速度慢，没能将设计的计算题都展现出来并讲评改错，只能在课后和后面的习题练习中来补充提高了.
再教设计：在做练习时，控制好时间，先给学生一点时间独立完成，在整体完成一多半的时候，再找个别同学板书展示自己的解题过程，这样既避免有个别同学偷懒等别人答案的情况，又节省了不必要的时间；不要等大家都做完了再叫学生板书，这样可以节约点时间，最后老师和学生给出评价，利于学生改错并完善自己的解题过程，确保课堂教学实效！