资源描述
二次函数与一元二次方程的关系
教学目标
一、教学知识点
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2.理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标。
二、能力训练要求
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神
2.通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3.通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识。
三、情感与价值观要求
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2.具有初步的创新精神和实践能力。
教学重点
1.体会方程与函数之间的联系。
2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标。
教学难点
1.探索方程与函数之间的联系的过程。
2.理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
教学方法：讨论探索法
教学过程：
1.设问题情境，引入新课
我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k≠0)和一次函数y =kx+b (k≠0)的关系，你还记得吗？
它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。
现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。
2.新课讲解
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式 h =－5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么 （1）h 与t 的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？
小组交流，然后发表自己的看法。
学生交流：（1）h 与t 的关系式是h =－5t 2+v 0t +h 0，其中的v 0为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0。把v 0,h 0带入上式即可求出h 与t 的关系式h =－5t 2+40t
（2）小球落地时h为0 ，所以只要令h =－5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可。也就是 －5t 2+40t=0 t 2－8t=0 ∴t（t－8）=0 ∴t=0或t=8
t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间。
也可以观察图像，从图像上可看到t=8时小球落地。
议一议
二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像如下图所示
（1）每个图像与x 轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2+2x=0 , x2－2x+1=0有几个根？解方程验证一下, 一元二次方程x2－2x +2=0有根吗？
（3）二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
（课件展示）
学生讨论后，解答如下：
（1）二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点。
（2）一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2 ；x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ；方程x2－2x +2=0没有实数根
（3）从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点（0,0）,(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2;
二次函数y=x2－2x+1的图像与x 轴有一个交点(1,0),方程 x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1
二次函数y=x2－2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2－2x +2=0没有实数根
由此可知，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
小结：
二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点。当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
基础练习
1.判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
2.已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=______________；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是____________
3.已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是______________ 。
4.已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p=_________ ，q=______________。
5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
6.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ）
（A） a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0
（B） （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D)a＜0 b2-4ac＜0
想一想
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60 m？你是怎样知道的？
学生交流：在式子h =－5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得
－5t 2+40t=60
t 2?8t+12=0
∴t=2或t=6
因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是60 m。
课堂练习
小结：本节课学习了如下内容：
1.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1.x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2.一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想
3.二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
第二课时
教学目标：
1．会用函数图象的交点解释方程的根的意义；
2．能结合二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的存在性和根的个数；
3．了解函数的零点与对应方程根的联系．
教学重点：根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数．
教学难点：根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数．
教具准备：多媒体课件、打印好的作业．
教学过程：
一、提出统摄性问题，创设适宜情境，引入新课
我们知道，等式x2-2x-3=0是关于x的一元二次方程，关系式y =x2-2x-3则是关于自变量x的一个二次函数，那么，二次函数与对应的一元二次方程有什么关系？它们有哪些联系？这些联系对于研究函数问题有怎样的作用？这就是我们这节课所要研究的问题．
（引入新课，书写课题——二次函数与一元二次方程）
二、学生活动
（一）探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系
问题1：你能快速地求出一元二次方程x2—2x—3=0的根吗？
请画出二次函数y =x2-2x-3的图象．（生动手画图，师生共同归纳画二次函数图象的步骤）
方法引导：画二次函数简图的步骤：
（1）先根据二次项系数确定图象的开口方向，即当a>０时，图象开口向上；当a<０时，图象开口向下．
（2）再根据x= 画出函数的对称轴．
（3）确定函数图象与两坐标轴的交点，成图．
问题2：请观察你所画的函数图象，研究图象上的一些特殊点以及二次方程x2-2x-3=0的根，你有什么发现吗？
（组织学生交流，得出如下结论）
结论：
（1）一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根就是二次函数y =x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标．
（2）一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根即为二次函数y =x2-2x-3的函数值等于０时的自变量x的值．
问题3：研究一元二次方程x2-2x-3=0的根的个数及其判别式与二次函数y =x2-2x-3的开口方向和顶点位置，你能得到什么结论？
结论：
（1）一元二次方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根，判别式Δ＞０；
（2）二次函数y =x2-2x-3的开口向上，顶点在x轴下方；
（3）方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根 判别式Δ＞０ 对应的二次函数y =x2-2x-3的开口向上且顶点在x轴下方；
问题4：你能将这个结论进行推广吗？（学生思考，同时投影显示如下问题）
合作探究：一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的个数及其判别式与二次函数y= ax2+bx+c=0(a>0)的开口方向和顶点位置之间有什么联系？
（师生共同结合函数ax2+bx+c=0(a>0)的图象的不同情形，得出如下结论）
方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实数根 判别式Δ＞０ 对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴下方；
方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等的实数根 判别式Δ＝０ 对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴上；
方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实数根 判别式Δ＜０ 对应的二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的开口向上且顶点在x轴上方．
也就是说，判断一个方程是否有解以及解的个数的问题，可以转化为讨论对应的二次函数的图象开口方向以及顶点与x轴的位置问题．
也可以通过二次函数对应的二次方程的根的个数来判断二次函数的开口方向以及顶点位置．
思考：当二次函数y =ax2+bx+c(a＜0)时，是否也有类似的结论呢？
（二）函数与方程关系的应用
[例1]求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根．
根据我们前面研究的结论，你觉得应该如何完成上题的证明呢？
证法：因为一元二次方程2x2+3x-7=0 的判别式Δ=32-4×2×（-7）=65>0,所以方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根．
思考：该题还有其他证法吗？
请同学们回顾一下确定一个二次函数的解析式都有哪些方法呢？
［学生交流归纳求二次函数解析式的常见方法］
方法一：设函数解析式为y =ax2+bx+c(a≠0)，再根据题意得到关于A.B.c的三个方程，联立方程，解方程组确定出y =ax2+bx+c(a≠0)．
方法二：根据题中具体要求，也可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),进而求出函数的对应变量的值．
方法三：也可设解析式为顶点式，进而求出函数的解析式．
问：你能根据题目的具体条件选拔具体的方法确定上题中函数的解析式吗？
（师板书解题过程）
（三）目标检测
课本练习
三、课堂小结
1． 一元二次方程根的个数的判断方法；
2．一元二次方程与二次函数的关系
四、布置作业
课本习题
活动与探究：若方程x2+2m+3=0的两根都小于1，试求m的取值范围？
数学教学中进行探究性的一点体会
创设适宜情境
提出立体开放的问题
进行结构性变式
变式后的反思提炼
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