资源描述
课题：7.5.1三角形内角和定理
教学目标：
1. 掌握“三角形内角和定理”，理解三角形内角和定理的证明方法及证明过程.
2．灵活运用三角形内角和定理解决相关问题.
3．通过猜想、推理等数学活动，探究三角形内角和定理的证明思路和过程，初步体会辅助线在证明中的作用．
教学重点与难点：
重点：三角形内角和定理及其证明.
难点：三角形内角和定理的证明及灵活应用解决相关问题.
课前准备：
多媒体课件、三角形纸板等 .
一、创设情境，复习引入
问题1：平行线的性质？
问题2：证明一个命题有哪些步骤？
问题3: 关于三角形的知识，你都知道哪些呢？
问题4：如图，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？
处理方式：教师出示题目，学生回答问题，问题的设置不仅起到复习的目的，也为新课的引入做了铺垫．
预设学生回答．
1．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角相等．
2．证明一个命题的一般步骤:
（1）分清命题的条件和结论，根据题意，画出图形．
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
3．三角形两边之和大于第三边；三角形具有稳定性；三角形按角分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形、等边三角形和等腰三角形；
三角形三个内角和为180°．．．．．．
4．不符合规定．延长AB、CD交于点O，
∵△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°，
∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°＜80°，
∴模板不符合规定．
师导语：三角形的内角和从小学就开始学习，七年级又有了新的认识，这一节课我们将进一步通过动手操作、观察、合作、交流探究等方法来验证这一定理，并通过这一定理来解决有关问题．
设计意图：设置问题情景，与学生前面所学知识紧密相连，在教学过程设计上从学生熟悉的知识创设情境，让学生简单地对三角形内角和的知识加以回忆，激发学生探究三角形内角和的兴趣．
二、情境再现，探究新知
（一）探索三角形内角和等于180°
我们知道，三角形内角和等于180°．
1．你还记得这个结论的探索过程吗？
2．如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？
处理方式：对于第一个问题教师引导学生可以用量角器测量，用准备好的三角形纸片或三角形纸板进行折叠或剪拼，完成后小组讨论并展示结果．对于第二个问题，教师结合学生的完成情况，让学生代表说出结论和思路，针对学生的回答教师给予肯定和补充．
预设学生回答：
1．（1）用测量的方法：由于误差原因，有时可能不是180°．
（2）用折纸的方法：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，最后得图示的结果．
（3）用剪拼（撕纸）的方法：剪三个角，拼成一个平角；剪两个角，也是拼成一个平角；剪一个角，构造平行线，利用平行线判定和性质说明．
2．构造平行线，可得同样效果．
设计意图：在回忆中学习，在学习中探索，在探索中验证，通过学生亲身经历的探索活动，让学生进一步理解验证三角形内角和等于180°，不仅调动小组愉快的合作学习，也激发学生的学习兴趣．
（二）证明三角形内角和等于180°
根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说“三角形内角和等于180°”这一结论的证明思路吗？
处理方式：结合探索三角形内角和，引导学生小组完成问题，学生发言后教师总结并板书证明过程及三角形内角和定理．
已知：如图，△ABC．
求证:∠A+∠B+∠C=180°。
分析：延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB，
∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180° （平角的定义），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）．
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 由此我们得出三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和等于180°.
想一想：你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?如果可以，请你写出证明．
处理方式：学生独立完成，一位学生黑板板演，教师巡视指导，对学生出现的问题及时纠正．
证明:过点A作PQ∥BC。
∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等)，
∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等)．
∵∠BAC+∠B+∠C=180° (平角的定义)，
∴∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代换).
设计意图：让学生体会用不同的方法证明三角形内角和定理，使学生感受到一题多解的重要性；让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨性，培养学生的逻辑推理能力，让学生感受到添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添加辅助线创造条件，以达到证明的目的．
三、例题解析，深化新知
例1 如图，在△ABC中，∠B =38°，∠C =62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
处理方式：学生先讨论，说出解题思路，教师针对学生的回答补充、讲解并板书证明过程.
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC =180°（三角形内角和定理）
∵∠B =38°, ∠C =62°(已知)
∴∠BAC =180°－38°－62°=80°（等式的性质）
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD =∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义)
在△ADB中
∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理)
∵∠B =38°(已知), ∠BAD=40°（已证）
∴∠ADB=180°－38°－40°=102°（等式的性质）
设计意图：学生已有了应用三角形内角和定理解题的经验，所以对本题的解决并不困难，但对证明的过程可能会出现问题，因此，采用学生说出解题思路，教师板书解题过程，起到示范的作用.
四、学以致用，巩固新知
1．若三角形的三个内角的比为1:5:6,则最大角的度数为 _______．
2．在△ABC中,∠A=105°,∠B-∠C=15°,则∠C的度数为 ______．
3. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点DE分别在AB和AC上，且DE∥BC．
求证：∠ADE=50°．
处理方式：学生独立完成，三学生黑板板演，教师巡视指导，完成后矫正点评．
答案：1．90°．
2．35°．
3．证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C =180°（三角形内角和定理），
∵∠A =60°, ∠C =70°(已知)，
∴∠B =180°－60°－70°=50°。（等式的性质）
∵DE∥BC（已知)，
∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）。
设计意图：通过练习进一步巩固三角形内角和定理，并能灵活运用三角形内角和定理解决与之相关的数学问题．
五、总结反思，畅谈收获
通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些地方存在困惑？谈谈你的体会.
处理方式：学生畅谈自己的收获与体会．教师适时针对学生的回答总结归纳．
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习谈谈自己的收获，又有了哪些进步，对于三角形内角和定理还有哪些困惑；鼓励学生大胆发言，敢于表达自己的观点，以达到学生之间相互学习，共同提高的目的．
六、达标检测，反馈矫正
A组：
1．在△ABC中, ∠A-∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于( )．
A．50° B．55° C．45° D．40°
2．一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( )．
A．等腰三角形 B．直角三角形[ C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
求证：∠A=∠DCB．
B组：
如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=65°，
求∠F的度数．
处理方式：学生独立完成后，教师给出答案，同位互换批改，对于学生不明白的问题，教师指导说明．
答案：1．C．
2．D．
3．证明：∵∠ACB=90° (已知)
∴∠DCB =90°－∠ACB（余角定义）
∵CD⊥AB（已知)
∴∠A =90°－∠ACD（余角定义）
∴∠A =∠DCB（等量代换）
4．解：∵∠A=65° (已知)
∴（∠ABC+∠ACB）=(180°－∠A)= 57.5°（三角形内角和定理）
∵BF，CF平分∠ABC，∠ACB（已知)
∴∠FBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=57.5°
∴∠F=180°－（∠FBC+∠FCB）=122.5°
设计意图：学以致用，通过检测及时获知学生对所学知识掌握及运用情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课外延伸
证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角的顶点“凑”到BC边上的一点P如图（1），如果把这三个角的顶点“凑”到三角形内一点呢如图（2）？“凑”到三角形外一点呢如（3）？你还能想出其它证法吗？
处理方式：学生课后小组完成．
温馨提示：抓住把三个角搬到一起，让三个顶点重合，以便利用平角定义这一基本思想，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点，可以把它们集中到三角形的一边上，内一点或外一点．
设计意图：通过此题，让学生进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而开阔学生视野，拓宽学生的思路．
七、布置作业，巩固提高
必做题：习题7.6 第1、3、4题.
选做题：助学181页 第12题.
板书设计：
§7.5.1 三角形内角和定理
三角形内角和定理证明：
三角形内角和定理
例题
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