资源描述
1 认识二元一次方程组
一、学生起点分析
在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，具备了进一步学习二元一次方程及二元一次方程组的基本能力．
二、学习任务分析
《认识二元一次方程组》是义务教育课程标准教科书北师大版八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第一节，本节内容安排1个课时完成．具体内容是：让学生通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；同时了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
二元一次方程是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容，它是刻画现实世界的一个有效数学模型，在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础．它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下的作用．
基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，类比一元一次方程学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念．在学习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型．
三、学习目标分析
1．学习目标
知识与技能：了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
过程与方法：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
情感态度价值观：⑴培养学生良好的数学应用意识．
⑵通过古代数学名题，展示我国古代数学的杰出成就，激发学生的学习兴趣．
2．教学重点
理解二元一次方程、二元一次方程组等有关概念．
3．教学难点
让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识．
四、学习过程设计
（一）创设情境，引入新课
导语：
• 法国数学家笛卡尔说过：一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程．因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解．（请一生朗读）
• 师：笛卡尔的这段话虽然夸大了方程的作用，却说明方程作为数学的一个重要分支，是刻画现实世界的有效数学模型，方程在日常生活的各个领域都有广泛的应用．
（二）合作交流，探究新知
引例1．我国古算名题：
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
师解释：各几何？
师：你会用学过的一元一次方程解决这个问题吗？
学生先独立思考，再同位交流，分享成果．（一生口答）
解：设鸡x只，兔（35-x）只，则
2x+4(35-x)=94
师：能不能根据题意直接设两个未知数，来列出方程？
设鸡x只，兔y只，则(引导学生分析其中的等量关系)
上有三十五头，可得什么方程？ x+y=35
下有九十四足，可得什么方程？ 2x+4y=94
引例2．昨天，我们8个人去红山公园玩，有大人和儿童，买门票一共花了34元．每张成人票5元，每张儿童票3元，你知道他们到底去了几个成人，几个儿童呢？
学生先独立思考，再同位交流．
方法1：设x个成人，（8-x）个儿童，则
5x+3(8-x)=34
方法2：设x个成人，y个儿童，则
x+y=8
5x+3y=34
师引导学生自主完成此题，可以列一元一次方程解决这个问题，也可以设两个未知数，寻找两个等量关系来列出方程．
想一想：
2x+4(35-x)=94，5x+3(8-x)=34
这两个方程是什么方程？（学生回答：一元一次方程）
师：什么是一元一次方程？（学生回忆作答）
师强调：必须是整式方程．
x+y=35 x+y=8
2x+4y=94 5x+3y=34
师：上面所列方程各含有几个未知数?
含未知数的项的次数是多少?
学生同位讨论．
师：请同学们类比一元一次方程给它们起一个恰当的名字？
学生试着描述：①两个未知数
②所含未知数的项的次数都是 1
③整式方程
师追问：为什么是“所含未知数的项的次数”？
举反例：xy=1
练习：请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由．
（1）x+3y-9=0 （2）3x2-2y+12=0
（3）x2+y=20 （4）
（5）3a-4b=7 （6）2x+10=0
议一议：
方程x+y=8和5x+3y=34中，x所代表的对象相同吗？y呢？
学生同位讨论．
师归纳：方程x+y=8和5x+3y=34中，x、y所代表的对象分别相同，因而x，y必须同时满足方程x+y=8 和5x+3y=34 ，把它们联立起来，得
定义：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
注意：1．方程组各方程中同一字母必须代表同一对象．
2．“共含有”
师：是否每个方程都要含有两个未知数？
举例：
• 试一试：请在自己的草稿纸上列举几个二元一次方程组．
• 练习：判断下列方程组是否是二元一次方程组：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
• 师：通过两题练习让学生理解二元一次方程组．
师：2x+4(35-x)=94，5x+3(8-x)=34
这两个一元一次方程同学们已经会解．
问：什么是方程的解？（学生回忆作答）
下面我们一起来探寻二元一次方程的解．
做一做：
⑴．x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他x，y值适合x+y=8方程吗？
⑵． x=5， y =3适合方程5x+3 y =34吗？x=2， y=8呢？
⑶．你能找到一组值x， y同时适合方程x+ y =8和5x+3 y=34吗？
师生交流合作完成并归纳：
定义： 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解．
如x=6， y=2是方程x+ y =8的一个解，记作 ；同样，也是方程x+ y=8的一个解，同时 又是方程5x+3y=34的一个解．
定义： 二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
例如，就是二元一次方程组的解．
注：二元一次方程有无数解
然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）
1．下列四组数值中，哪些是二元一次方程的解？
A． B． C． D．
2．二元一次方程的解有：
3．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
5．写出一个以为解的二元一次方程组为 ．
（答案不唯一）
意图：通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识．
同时渗透一些解题小技巧．
效果：通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题．
（三）归纳总结、自我反思
1．本节课你有哪些收获？
2．你有哪些需进一步探究的问题？
学生同位讨论交流，请几生回答，师生共同归纳：
数学知识：
1．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程．
2．像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
3．适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
4．二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
• 数学方法：
• 1．方程的模型思想
• 2．类比思想
• 古算名题（鸡兔同笼）——我们为此骄傲，我国古代人民富有智慧！
• 探究的问题：(学生发言)
• 1．怎样解二元一次方程组？
• 2．为什么二元一次方程有无数解？二元一次方程组解的情况？
• 师引导拓展：二元一次方程与一次函数的联系，数形结合思想．
• 有兴趣的同学课后继续探究．
（四）布置作业：
基础性作业：书P106习题5.1第1、2、3题
发展性作业：书P106习题5.1第5题
送给同学们一个礼物：x+y=100
这是一个什么方程？
生答：二元一次方程
师：假定x代表本节课的数学知识，y代表本节课的数学思想方法，如果同学们这两者都掌握了，那么今天可以得100分！
五、板书设计：
1 认识二元一次方程组
解：设鸡x只，兔（35-x）只，则 设x个成人，（8-x）个儿童，则 1 方程的模型思想
2x+4(35-x)=94 5x+3(8-x)=34 2．类比思想
设鸡x只，兔y只，则 设x个成人，y个儿童，则
x+y=8 x+y=3
2x+4y=94 5x+3y=34
六、教后反思：
本节课的教学紧紧围绕两个中心展开：
1. 类比思想．类比一元一次方程引入二元一次方程，类比方程的解引入二元一次方程的解、二元一次方程组的解．
2. 方程是刻画现实世界的有效数学模型．
在教学的最后环节通过习题的第二题，巧妙地渗透了二元一次方程与上一章学习的一次函数的联系，同时数形结合成功解决了为什么二元一次方程有无数解，并和学生一起初步了解了二元一次方程组解的情况，留给学生更多的探究空间．
整个学习过程，学生积极参与，思维活跃，目标达成度高，不同层次的学生都得到不同程度的发展．
通过古算名题（鸡兔同笼），展示我国古代数学的杰出成就，同时激发学生学习的兴趣．
课后通过反思，我觉得如果在课堂上能够把更多的空间留给学生，学生的收获会更多!
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