云南省昆明市艺卓高级中学九年级数学上册《3.2 特殊的平行四边形》教学设计（3） 北师大版.doc

特殊的平行四边形
一、内容及分析
（一）内容：特殊平行四边形。
（二）分析：本节课的内容特殊平行四边形的第三节课，主要是探究中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系。基于学生对特殊平行四边形认识的基础之上，要求学生理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系。但这仅仅是这堂课外显的具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《特殊平行四边形（3）》内容从属于“空间与图形”这一数学学习领域中的“图形与证明”，因而务必服务于推理与论证教学的远期目标：“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会证明的必要性，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，因此通过平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等凸四边形的中点四边形的探求过程，引申至任意中点四边形的探求过程是吧吧本节课的重点。
二、目标及分析
（一）目标
1.再次经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用学过的各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别，并能对自己的猜测进行证明，进一步发展学生推理论证的能力。
2.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
（二）分析
1.再次经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，是指在前两节课的基础上，进一步引导学生探究发现决定中点四边形形状的因素，从而能熟练运用学过的各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别，并能对自己的猜测进行证明，进一步发展学生推理论证的能力。
2.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。是指对中点四边形进行识别和猜测时，必须经过证明，在明确是真命题的前提下在应用解决相关问题。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题利用各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别，产生这一问题的原因是各种特殊四边形的识别及性质多，容易混淆。要解决这一问题，就是要对平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的所有性质和判定方法有充分的认识，关键是引导学生对不同的平行四边形或梯形的性质及识别必须明确，从不同的角度思考问题，从而能对众多四边形中做出选择，从而克服可能遇到的困难。

A
D
C
B
E
四、教学过程设计
（一）教学基本流程
1.问题引入；2.猜想结论；3.分组探究，验证结论；4.运用巩固；第五
（二）教学情景
1.问题引入
问题1：1.如图，在ΔABC中，EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=30°，则∠A= .
②若EF=8cm, 则AC= .
2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？
3.四边形EFGH的形状有什么特征？

设计意图：
通过问题串，复习三角形中位线性质定理，探索新命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形”。
师生活动：
提问时选择平时学习数学有困难的学生们回答，并要求说明理由。
2.猜想结论
问题2：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
设计意图：
在一个开放的情景中，引导学生体会由一般到特殊的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神。
师生活动：
由学生大胆猜测，学生们畅所欲言，互相补充完善。如有的学生猜测还是平行四边形，有的学生猜测是正方形，有的学生猜测是矩形，有的学生猜测是菱形，甚至有的学生猜测是梯形。经过师生的共同探讨，达成一致的结论：一定是平行四边形，而非梯形。于是老师顺势提出问题“会不会是特殊的平行四边形呢？从结论来探索有一些困难，那么我们可以换一种角度思考：四边形ABCD可以为哪些特殊的四边形？”学生的回答多种多样，原四边形可以为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至还有学生回答为梯形和直角梯形。于是老师请学生选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，从而顺利进入下一环节。
3.分组探究，验证结论
活动内容1：
学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。
设计意图：
由学生非常熟悉的、常见的特殊四边形得到结论，为后面的知识形成作好铺垫。
师生活动：
学生结合前面学过的各种特殊四边形的识别与性质、三角形中位线定理等知识，人人参与、积极进行探究和交流，通过类比和转化共归纳出以下几种情况。各小组派代表展示自己小组的猜想和验证，讲解中小组之间互相补充、互相竞争，使验证的过程更加严谨。
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H

得出结论：
平行四边形的中点四边形是平行四边形；
矩形的中点四边形是菱形；
菱形的中点四边形是矩形；
正方形的中点四边形是正方形；
等腰梯形的中点四边形是菱形；
直角梯形的中点四边形是平行四边形；
梯形的中点四边形是平行四边形。
在这一环节中，老师走入学生中适时地进行指导，引导学生进行归纳总结，提高学生的概括能力。对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学习能力较强的学生鼓励他们研究第2个甚至更多个图形，使以上7个图形的结论能够顺利得出，并对学生的回答给予充分的肯定和鼓励。学生们展示完自己的结论后，老师在黑板上进行演练，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生直观的感受。
活动内容2：
1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？
2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？
3.你是从什么角度考虑的？
4.你从哪儿得到的启发？
5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？
设计意图：
以问题串的形式引导学生逐步深入思考，前2个问题的设置帮助学生回忆特殊四边形的性质与判定定理，第3、4个问题帮助学生揭示变化的原因：矩形和等腰梯形的对角线有相同的性质“对角线相等”，而且其它中点四边形的变换也和原四边形的对角线有关系。有了前4问的铺设，第5个问题可以通过类比的思想解决；同时让学生体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法，进一步提高学生的数学表达能力。
师生活动：
这一环节紧紧围绕“中点四边形”再次提出问题串，是对上一活动的拓展。通过问题串的解答，使学生对决定中点四边形形状的因素更加明了。教师引导学生对研究的问题归纳总结。概括出规律：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。
（1） 若对角线相等，则中点四边形EFGH为菱形；
（2） 若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH为矩形；
（3） 若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH为正方形；
（4） 若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH为平行四边形。
B
C
D
A
H
G
F
E

图3-6-11 图3-6-12 图3-6-13 图3-6-14
这里让学生通过归纳，学会把知识整理成一个系统，老师再次进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生们直观的感受。
4.运用巩固
活动内容1：（图形发散练习）
利用几何教具，拖动A点使四边形ABCD的图形变化进行研究。

图3-6-15 图3-6-16 图3-6-17 图3-6-18
设计意图：
用动画的形式让同学们观察四边形的不断变化过程中，中点四边形的变化情况，体会变化中存在的不变的几何关系：图中几何图形的位置关系处在相互依存的状态之中，静态图形只是动态图形在变化过程中的某一瞬间，意在培养学生的发散思维能力，提高学生研究数学的兴趣和创新意识。
在题目的设置上，采用逐步递进的策略，其中图3-6-15是ABCD为凸四边形，图3-6-16是AB、 AD在同一线段上，图3-6-17是ABCD为凹四边形，图3-6-18是ABCD为扭曲四边形。
师生活动：
利用教具演示，学生们畅所欲言，互相补充完善，师生共同探索，得到结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形。特别是图3-6-18，学生理解有困难，老师引导学生转换思考角度，即四边形EFGH可以看作四边形ADBC的边AD、BC的中点和对角线AB、CD的中点的四边形，这样就解决了问题。老师在这一环节中，对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励。
五、目标检测
1.四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长。
2. 如图，矩形ABCD的长为4，宽为3，连续取三次中点后的最小四边形的面积为多少？

图3-6-19
把练习2进行了以下的拓展：
（1）若上题连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢？
（2）若上题改为菱形，边长为4，连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢？
（3）若上题改为正方形，边长为4，连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢？
（4）若以上题目改为求连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的周长为多少呢？
六.课堂小结
1、本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学方法？
2、决定中点四边形形状的主要因素是什么？
3、通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？
七、布置作业
1. 用所学中点四边形的知识，设计一个基本图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计。
2. P91“做一做”，还可以变式图形（向正方形外内作等边三角形）。
A
C
D
X
B
A
X
D
C
B

图3-6-20 　　　　　图3-6-21