山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.5.2直线与圆的位置关系（二）》教案 北师大版.doc

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.5.2直线与圆的位置关系（二）》教案 北师大版
课 时
第三章第五节第2课时
课 题

课 型
新授课
时 间

节 次
第二节
授 课 人

教学
目标
1.掌握切线的判定定理，会判断一条直线是否为圆的的切线．
2.掌握经过圆上一点画圆的切线的方法．
3.理解三角形的内切圆和内心的概念及其内心的性质．
4.掌握用尺规作三角形内切圆的方法．
重点
切线的判定，三角形的内切圆．
难点
切线的判定．
教法、学法指导
教师引导，学生自主学习与合作探究．
课前
准备
教、学具：多媒体课件；
知识储备：切线的定义与性质.

教学过程
一、创设问题，引入新课
师：我们已经学习了哪几种直线与圆的位置关系？
生：相离、相切、相交．
师：在这三种关系中，出现题目最多的就是相切．那么，你现在知道几种判断相切的方法？
生1：利用直线与圆公共点的个数判断．如果有惟一的公共点，说明直线与圆就是相切的．
师：很好！这是根据圆的切线的定义判断的，谁还有其它的方法？
生2：如果圆心到直线的距离与圆的半径大小相等，也能说明这条直线是圆的切线．
师：很好！通过d与r的大小关系同样可以判定一条直线是不是圆的切线．实际上这种判断方法还有另一种表述，你知道吗？
生：不知道．
师：我们这节课就来探究这一问题．今天我们就继续学习直线与圆的位置关系（二）．（板书课题）
（设计意图：通过复习提问引入新课，既复习上节课所学知识，又能激发学生的学习兴趣）
二、分组合作，探究新知
活动一：利用旋转实验探究圆的切线的判定条件
a
d
A
O
r
B
l
图1
师：首先我们做一个旋转实验．大家仔细观察图1．（展示课件）如图1，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠a，⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．当直线l绕点A旋转时，大家注意观察∠a与d的变化情况，以及直线与圆的位置关系，回答下面两个问题：
（1）随着∠a的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化?
a
l
A
O

B
d
r
图2
(2) 当∠a等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（教师利用多媒体演示，学生仔细观察并认真思考）
师：现在谁能描述一下∠a与d的变化情况，以及直线与圆的位置关系?
生1：当l与⊙O的另一个交点在AB的右侧时，∠a是逐渐减小的，此时d ＝rsina，所以d也逐渐减小；当l与⊙O的另一个交点在AB的左侧时，∠a是逐渐增大的，此时d ＝rsina，所以d也逐渐增大．这两种情况直线与圆都是相交的．当∠a＝90°，即AB与l垂直时，d＝r，这时直线与圆只有一个交点，因此是相切的位置关系．
师： 很好！他不但说出了变化情况，还把d与a的关系用三角函数表示出来了．谁还又要补充的吗？
生2：当l与AB重合时，∠a＝0°，此时d＝0，直线与圆仍旧是相交的位置关系.
师：很好！生1把这一点漏掉了．现在哪位同学能综合一下这两位同学的结论？
A
O
l
B
图3
生3：直线l绕A点逆时针旋转时，AB与l的夹角是先减小后增大的，圆心O到直线l的距离d也是先减小后增大的（如图1和图2所示）．当∠a＝90°时，d达到最大，此时d＝r，这时直线与圆只有一个公共点，即直线与圆是相切的（如图3所示）．
师：非常好．我们鼓励一下．通过以上分析，你认为直线满足什么条件时，就是圆的切线？大家可以讨论一下．
（学生讨论，教师巡视指导）
师：有结论的请举手．
生1：我认为直线要与直径垂直并且还要过它的一个端点．
师：很好！要满足两个条件：一是直线过直径的一个端点；二是垂直于这条直径，这样的直线才是圆的切线．大家一定要注意这两点，二者缺一不可．
设计意图：教师利用多媒体演示实验，让学生仔细观察．通过小组探究合作，得出切线的判定定理．
活动二：作圆的切线
A
O
图4
α
师：我们已经学习了三种判定直线与圆相切的方法，如果告诉你⊙O上有一点A（如图4所示），让你过点A作出⊙O的切线，你会作吗？（课件展示）

生1：老师，是用尺规作图吗？
师：可以用三角尺．现在大家可以在练习本上画一画，必要时可以讨论．
（学生作图，教师巡视指导）
l
A
O
图5
师：哪位同学来展示所画的图形？
生1：（利用实物投影仪展示）如图（图5）所示，我的作图步骤是先连接OA，再过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
师：你作图的依据是什么呢？
生1：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
师：很好！我们鼓励一下．通过这个作图题，你能得到什么启发呢？大家可以讨论一下．
（学生讨论交流）
生1：在证明圆的切线问题时，如果知道直线与圆有一个公共点，可以把这个点和圆心连接起来，再证明直线与这条半径垂直，就可以说明这条直线是圆的切线．
师：说得很好，哪位同学还有要补充的吗？
生2：我认为在知道半径和直线垂直的情况下，证明垂线段等于半径也可以证明这条直线是圆的切线．
师：这两位同学总结的非常正确．我们可以简单记为“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”．其实这两种方法都是我们刚才学习的切线判定定理的应用，二者知道一个，证明另一个，就可以确定直线是切线．
设计意图：利用作图加深对圆的切线的判定定理的理解，引导学生总结证明圆的切线的方法．
活动三：探究三角形的内切圆
师：我们在前面学习了三角形的外接圆，谁能说一下怎么作一个三角形的外接圆？
F
E
D
C
B
A
O
图6
生1：先作两条边的垂直平分线，找到交点即为圆心，连接圆心和三角形任一顶点，即得半径，知道圆心和半径，作出的圆就是三角形的外接圆．
师：很好！看来这位同学对三角形外接圆的作法比较熟练．现在大家观察图6，
在△ABC内部有一个圆O，它与△ABC的各边都相切，连接圆心和各个切点，再连接AO，你能得到哪些结论？现在小组探究交流．
（学生探究学习，教师巡视指导）
师：哪位同学来展示你的结论？
生1：我能得到OD＝OE＝OF，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，△ADO ≌ △AFO，AD＝AF，
∠DAO＝∠FAO，∠DAO＝∠FAO．
师：你的结论比较全面，我们鼓励一下．我们重点看这个结论：∠DAO＝∠FAO．这说明了什么？
生：AO是∠BAC的角平分线．（学生齐声回答）
师：对 ．如果我再连接BO呢？
生：是∠ABC的角平分线．
师：连接CO呢？
生：是∠ACB的角平分线．
E
F
I
A
D
C
B
图7
师：这说明O是△ABC的三个内角的角平分线的交点，并且O到三边的距离相等．像这样的圆，我们只能作一个，我们把它叫做三角形的内切圆，它的圆心就叫做三角形的内心．现在给你一个三角形，你能作一个圆，使其与三角形各边都相切吗？
生：能．（齐声回答）
师：现在开始用尺规作图，然后我请一位同学说出作图步骤．
（学生利用尺规作图，教师巡视指导）
师：哪位同学来展示所作的图形？
生1：如图（图7）所示，我先用尺规作∠BAC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点为I，然后过I作ID⊥AC，垂足为D，最后以I为圆心，以ID为半径作⊙I．⊙I就是所求的圆．
师：很好！我们鼓励一下．我发现个别同学做了三个角的角平分线．
生1：没有必要，三条角平分线是交于一点的，作两条就能确定这个交点．
师：对！你知道它在什么位置吗？
生1：三角形内部．
师：对！因为它是三个内角角平分线的交点．我们一定要记住三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点．现在我们对比一下三角形的外接圆和内切圆．
圆心O的名称
圆心O确定
“心”的性质
“心”的位置
圆心 O叫做△ABC的内心
作两角的角平分线
内心O到三边的距离相等
内部
圆心 O叫做△ABC的外心
作两边的中垂线
外心O到三个顶点的距离相等
内部、外部、边上
大家可以结合图形记忆．
设计意图：首先让学生复习三角形的外接圆，再通过三边相切让学生了解三角形的内切圆的定义，进而理解内心的定义，并且与外心比较，加深对知识的记忆．
D
C
B
A
O
三、学有所用
1．例1如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
分析：由条件知，直线AD经过半径OA的外端点A，因此只要说明AD⊥AB即可．
解：∵AB是⊙O的直径
∴∠C＝90°
∴∠CAB+∠ABC＝90°
又∵∠CAD＝∠ABC
∴∠CAD+∠CAB＝90°，即∠BAD=90°
∴AD与⊙O相切.
设计意图：先复习直径所对的圆周角为直角，再利用“连半径，证垂直”证明直线是圆的切线．
2．例2：已知：⊙O的直径长6 cm，OA＝OB＝5 cm，AB＝8 cm.求证：AB与⊙O相切.
分析：题目中不明确直线和圆有公共点，要证明相切，可用“作垂直，证半径”的方法，因此只要证点O到直线AB的距离等于半径即可，从而想到作辅助线OC⊥AB于C.
O
A
C
B
证明：过O点作OC⊥AB于C
∵OA＝OB＝5cm，AB＝8cm
∴AC＝BC＝4cm
∴OC＝＝＝3 cm
又∵⊙O的直径长6cm
∴圆心O到直线AB的距离OC等于半径等于3 cm．
∴AB与⊙O相切.
设计意图：进一步巩固圆的切线的证明方法．
四、学习收获
师：现在，我们已经学习完本节课的主要内容.通过本节课的学习，你有什么收获呢？大家仔细想一想.
生1：我学到了圆的切线的判定方法：过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线就是圆的切线.具体做法有两种:“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”．
师：还有吗？
生1：三角形的内切圆的定义，内心的位置以及性质．
师：哪位同学还有要补充的？
生2：还有作一个三角形的内切圆的方法，以及内切圆与外接圆的比较.
师：这两位同学总结的很全面.下面我们完成自我检测题目.
设计意图：培养学生的总结能力，进一步领会本节的重点知识，并能互相帮助解决学习上的困难．
五、课堂检测
A类：
1． 以边长为3，4，5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别为

B
A
C
O
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°AC＝60，BC＝80，以C为圆心，48为半径作圆，则⊙C与直线AB的位置关系为
3．已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°．
求证：直线AB是⊙O的切线．

设计意图：进一步巩固本节课的基础知识，掌握圆的切线判定的方法．
B类
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，AD＋BC＝AB，以AB为直径作⊙O．判定直线CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
设计意图：本题主要考察学生是否掌握利用“作垂直，证半径”的方法证明圆的切线．由于这种证明方法应用较少，提醒学生注意．
C类
E
D
C
B
A
P
O
1．如图，P为⊙O外一点，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO并延长交⊙O于D、E，∠PAB＝∠PCA．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）如果PA2＝PD·PE，那么当PA＝2，PD＝1时，求⊙O的半径．

设计意图：本题是一道综合性较强的题目，有一定的难度，通过本题培养学生的综合应用能力．
六、作业：
习题5.2问题解决 第1、2题
七、板书设计：
§3.5.2 直线与圆的位置关系（二）
1．切线的判定定理:
经过直径一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．作圆的切线
证法：（1）“连半径，证垂直”
（2）“作垂直，证半径”
3．三角形的内切圆
（1）定义
（2）内心：三个内角角平分线的交点
（3）与外心对比
4．学以致用
例1
例2
5．学习收获
6．课堂检测

八、教学反思
1．本节课在教学设计上与课本相比稍微有点变化，我将教材中的旋转实验图经行分解，然后通过多媒体的形式进行演示，易于让学生观察总结．在学习三角形的内切圆时，也打算乱了教材的顺序，而是让学生先理解内切圆，再应用，可以加深学生对知识的理解，做到让学生体会知识发生、发展、形成和应用的全过程．
2．不足：本节课是本章比较重要的一节，因此要加强学生对知识的练习巩固．我在本节课中由于时间关系，练习较少，并且多数题目没有与以前知识联系在一起．
3．建议：如果课堂时间充足，可结合前面知识做练习，如果时间不充足，课后可选择重点题目加强巩固．