（春季拔高课程）九年级数学 第5讲 二次函数探究—二次函数与特殊平行四边形的综合问题教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

二次函数与特殊平行四边形的综合问题
知识点
二次函数综合；矩形的性质及判定；菱形的性质及判定；正方形形的性质及判定；
教学目标
1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题
2．灵活运用数形结合思想
教学重点
巧妙运用数形结合思想解决综合问题；
教学难点
灵活运用技巧及方法解决综合问题；

知识讲解
考点1 二次函数的基础知识
1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
考点2 矩形的性质及判定
1. 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
注意：矩形（1）是平行四边形；（2）四个角是直角．
2. 矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角；
性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；
3. 矩形的判定
矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等
矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．
矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
考点3 菱形的性质及判定
1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
注意：　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
2．菱形的性质
性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
3．菱形的判定
菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．
考点4 正方形的性质及判定
1. 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
有一个角是直角的平行四边形 （矩形）都可以得到正方形；
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
2. 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
3. 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
4. 正方形的判定方法：
(1)有一个角是直角的菱形是正方形；
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
注意：
1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．
2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

考点5 探究特殊平行四边形的一般思路
解答特殊平行四边形的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出特殊平行四边形的分类标准，一般涉及到动态问题要以静制动，动中求静，由于特殊平行四边形分为矩形、菱形和正方形，故我们可以从这些特殊平行四边形的性质及题干信息入手，具体如下：
（1）假设结论成立，分情况讨论，抓住每类图形的特殊性质入手，由于特殊的平行四边形也是平行四边形，可先证明出是平行四边形，在适当加入一些特征便可以得到矩形、菱形或是正方形。
（2）确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看看已知的边是作为四边形的边还是作为四边形的对角线，再按各自的性质入手寻找即可；
（3）建立关系式并计算。可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。

例题精析
例1 已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

例2如图，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

例3将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图所示．
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

课程小结
有针对性的对特殊平行四边形的性质及判定、二次函数的基本知识进行复习，有助于为研究二次函数与特殊平行四边形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与特殊平行四边形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出矩形、菱形或是正方形，并能运用各自的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】（1）当x＝0时，，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．
如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．
（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．
（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．
因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入，得．
解得或者m＝0（舍去）．因此点C的坐标为（2，2）．

图2 图3
【总结与反思】
1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．
2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．
3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．
例2
【规范解答】(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上，所以 解得，．
(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB＝5．因为四边形A A′B′B为菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因为，所以原抛物线的对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．
因此平移后的抛物线的解析式为．

图2
(3) 由点A (-2，4) 和点B′ (6，0)，可得A B′＝．
如图2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．
①如图3，当时，，解得．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．
②如图4，当时，，解得．此时OD＝，点D的坐标为（，0）．

【总结与反思】1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′ 的坐标、AC和B′C的长．
2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．
3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．
例3【规范解答】解：（1）抛物线c2的表达式为．
（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．
抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．
所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．
①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：
情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．
情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．

图2 图3 图4
②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，
所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．
【总结与反思】
1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．
2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．
3．根据矩形的对角线相等列方程．
例4【规范解答】（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，
由SABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），
即y=x2﹣4x﹣5；
（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，由2（m﹣2）=EH，
得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，解得m=1±或m=3±，
∵m＞2，∴m=1+或m=3+，边长EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；

（3）存在．由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，
依题意，直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，
联立，，解得或，
∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．
【总结与反思】
1. 知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；
2. 坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m﹣2）=EH，列方程求解；
3. 因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．