（春季拔高课程）九年级数学 第4讲 二次函数探究—二次函数与平行四边形的综合问题教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

二次函数与平行四边形的综合问题
知识点
二次函数综合；平行四边形的性质及判定；
教学目标
1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题
2．灵活运用数形结合思想
教学重点
巧妙运用数形结合思想解决综合问题；
教学难点
灵活运用技巧及方法解决综合问题；
复习预习
平行四边形的判定与性质
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形两组对边分别相等；
③平行四边形两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分；
3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
知识讲解
考点1 二次函数的基础知识
1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
考点2 探究平行四边形的一般思路
在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：
第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；
第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；
（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。例题精析
例1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

例2如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．

例3如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
A
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

例4如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3,0），点B（1,0），交y轴于点E（0，-3），点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
A
x
B
C
D
H
E
F
G
K
O
x
y
l
A
B
C
D
H
E
F
G
K
O
y
l
备用图
图①
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

课程小结
有针对性的对平行四边形的性质及判定与二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与平行四边形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与平行四边形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出平行四边形，并能运用平行四边形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得．
所以抛物线的解析式为．
(2)如图2，

直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那么．
所以．因此当时，S取得最大值，最大值为4．
(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：
当OB为一边时，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4．设点Q的坐标为，点P的坐标为．
①当点P在点Q上方时，．解得．
此时点Q的坐标为（如图3），或（如图4）．
②当点Q在点P上方时，．
解得或（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）．

图3 图4 图5
当OB为对角线时，PQ、OB互相平分，PB//OQ（如图6），此时点Q的坐标为(4,－4)

图6
【总结与反思】
1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．
2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．
3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．
例2【规范解答】（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．
（2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．
把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．
把x＝1代入，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．因此DE=2．
因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，
因此．
当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到．解得，（与点E重合，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．
②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此
．m的变化范围是0≤m≤3．

图2 图3
【总结与反思】
1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程．
3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．
例3【规范解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将C点的横坐标x=2，
代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是：y=﹣x﹣1；
（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PE的最大值=；
（3）存在4个这样的点F，分别是：F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．
①如图1，
连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；
②如图2，
AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；因此F点的坐标为（1，0）；
③如图3，
此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中，即可得出G点的坐标为（1±，3），
由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为：y=﹣x+h，将G点代入后，
可得出直线的解析式为：y=﹣x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为：（4+，0）；
④如图4，
同③可求出F的坐标为：（4﹣，0）；综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．
【总结与反思】
1. 抛物线与x轴的交点即为A和B，再将A和C带入求解直线方程。
2. 将点P和点E坐标设出后，求解最大值。
3. 将已知AC边作为边或者对角线分类讨论求出点坐标。
例4【规范解答】（1）设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)(x+3).
∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入得a=1,∴抛物线的函数表达式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.
(2) ∵点C是点A关于点B的对称点，点A的坐标为（-3,0），点B的坐标（1,0），∴点C的坐标（5,0）.
将点C的坐标代入y=-x+m,得m=5，∴直线CD的函数表达式为y=-x+5.
设K点的坐标为（t,0）,则H点坐标为(t,-t+5),点G的坐标为（t,t2+2t-3）.
∵点K为线段AB上一动点，∴-3≤t≤1.∴HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+)2+.
∵-3≤t≤1. ∴当t=-时，线段HG的长度有最大值.
（3）∵点F是线段BC的中点.点B（1,）），点C（5,0），∴点F的坐标为（3,0），∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3,∵点M在直线l上，点N在抛物线上，∴设点M的坐标为（3，m）,点N的坐标为（n,n2+2n-3）.
∵点A（-3,0），点C（5,0）. ∴AC=8.
分情况讨论：
①若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的边，则须MN∥AC,且MN=AC=8，当点N在点M的左侧时，MN=3-n，∴3-n=8，解得n=-5，∴点N的坐标为（-5，,1）；当点N在点M的右侧时，MN= n-3，
∴n-3=8，解得n=11，∴点N的坐标为（11，140）.
②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C是点A关于点B的对称点”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于B的对称点P，则P的坐标为（-1,0），过P作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x2+2x-3.得y=-4，过点N，B作直线NB交直线l于点M，
在△BPN与△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN≌△BFM, ∴NB=MB.
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标为（-1，-4）的点N符合条件.
∴当N点的坐标为（-5,12），（11,140），（-1，-4）时，
以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
【总结与反思】
1. 用交点式表示出二次函数的表达式，再将抛物线与y轴的交点坐标代入求得a的值，得出二次函数的表达式；
2. H、G的横坐标相同，用一字母t表示出H、G两点的坐标，其长度就是两点纵坐标之差，这样得到长度关于t的二次三项式，结合t的取值范围，求的HG的最大值；
3．要分AC是对角线和边两种情况来讨论，AC为边时，点M、N的左右位置不一样，结果又不一样，考虑要周到，运算一定要仔细．