资源描述
角平分线
一、内容与分析
本节课要学习的主要内容是三角形三角平分线定理，指的是证明三角形三边角平分线交于一点切这点到三边距离相等，其核心是该定理的应用；通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力；教学重点是综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题，解决的关键是弄懂三角形三角平分线的定理。
二、目标与分析
教学目标：会证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论
目标分析：会证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论就是指能够利用前面学习过的知识，通过正确的方法得出三角形三角平分线交于一点并且这点到三边距离相等。
三、问题诊断分析
由于三角形三角平分线定理比较抽象，内容也较复杂，所以学生掌握起来比较困难，教师在讲解时需要细致一点，充分发挥学生的主观能动性，让学生去发现。
四、教学过程分析
问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形
锐角三角形
交于三角形内一点
交于三角形内一点
钝角三角形
交于三角形外一点
直角三角形
交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
变式练习：
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?
师生活动：有一处。在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等。而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
我找到四处除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3
例1：如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
∴∠B=×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
变式练习：已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．
∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．
(2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?
六、课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
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