九年级数学上 一元二次方程教案.doc

一. 教学内容：
一元二次方程

［学习目标］
1. 正确理解一元二次方程概念，会识别，在综合题中，做到合理应用。
2. 熟练用各种方法解一元二次方程，注意旧知识的应用，体会知识的融汇贯通，及转化思想的重要性、普遍性。
3. 灵活应用根的判别式及根系关系，提高分析、解决、归纳问题的能力，加强分类思想。
4. 在保证正确求解分式方程的基础上，进一步学习转化思想，明确产生增根的原因，解决增根问题的方法。
5. 会解简单的二元二次方程组。建立解多元高次方程的基本思路：消元，降次。掌握常见方法，代入法，加减法，根系关系法。
6. 从实际生活出发，应用数学解决问题，建立方程思想，立足相等关系，列各种方程（组），通过对它们的求解，经实际情况检验，最终解决实际应用题。

二. 重点、难点：
一元二次方程的重点是一元二次方程及分式方程的解法，判别式和根系关系的应用。难点是配方法和列方程解应用题及综合题。

【典型例题】
例1. 如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，求。
分析：根据方程根的定义，组建方程组求解。
解：根据题意

∴
点拨：考察了方程根的定义及二元二次方程组解法，加强了知识联系、综合应用能力的训练。

例2. 关于x的方程的根的情况如何？
分析：考察一元二次方程判别式与根的情况。
解：由题意，

∴方程有两个不相等的实数根。
点拨：要判别一元二次方程根的情况，必须求，把写成易于判别符号的形式，一般都用配方来解决，也有分类讨论的情况。

例3. 已知方程有两个不相等的实数根，求的值。
分析：先确定a的范围，才能去绝对值的符号。
解：∵有两个不相等实根。

∴
点拨：已知含有字母系数的方程根的情况，可通过判别式符号，确定字母的范围。

例4. 关于x的一元二次方程的两根的平方和小于5，求k的取值范围。
分析：通过判别式及根系关系，联立不等式组求解。
解：设是方程的两实根。
由题意
又
解
∵

∴k的取值范围为
点拨：做一元二次方程综合题得五看，一看二次项系数非零，二看判别式，三看两根和，四看两根积，五看具体题目条件。

例5. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：这个方程有两个不相等的实根；
（2）如果这个方程的两实根分别是，且，求m的值。
解：（1）证明：

∴方程有两个不相等的实数根。
（2）由题意，

经检验：均为方程①的解，

点拨：（1）中注意，同学们易把当已知，弄不清求证。
（2）中易忽视，才能①两边同乘以m，由于①是分式方程，必须检验。

例6. 实数k取何值时，一元二次方程的一根大于2，一根小于2。
分析：本题对根附加了限制条件，利用判别式及韦达定理可列出关于k的不等式，从而求k的取值范围。
解：设的两根为
∵

∴。
点拨：贯彻例4中的五看，特别注意两根和与积与已知根的限制的巧妙结合，能主动拓展把二次项系数变成待定字母系数，会更复杂些。

例7. 甲、乙两地相距960千米，一辆吉普车和一辆卡车同时从甲地开出，1小时后，吉普车在卡车前20千米；吉普车比卡车早4小时到达乙地，吉普车和卡车每小时各行驶多少千米？
分析：行程问题，“1小时后吉普车在卡车前20千米”意思是“每小时吉普车比卡车多行20千米”，即，接着一句话给出相等关系，即。
解：解法1：
设卡车每小时行驶x千米，则吉普车每小时行驶（x+20）千米，由题意，

解得
经检验，都是原方程的解，
但不符合题意，舍去。
∴
答：吉普车每小时行驶80千米，卡车每小时行驶60千米。
解法2：可以列方程组求解。
点拨：注意，列分式方程（组）解应用题时，双检验，先验是否是分式方程的根，再验是否符合实际情况。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 在一元二次方程中，若a、c异号，则方程（ ）
A. 有两不等实根 B. 有两相等实根
C. 无实根 D. 根情况，无法判断
2. 下列方程中，有实根的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 关于x的方程至少有一个根等于零的条件是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列方程中，两根之和等于5，积等于6的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 若一元二次方程的两根2，－3，那么二次三项式可分解为（ ）
A. B.
C. D.

二、填空题
6. 已知的两根，那么的值等于_____________。
7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，那么m的取值范围_____________。
8. 已知关于x的方程的一个根是2，则另一个根是_____________，m=_____________。

三、解答题：
9. 已知关于x的方程有两个相等的实根，求k的值并解这个方程。
10. 若为实数，关于x的方程有两相等实根，求证：
11. 已知：是三角形的三条边，求证：
无实根。
12. 甲、乙两人共同做一项工作，预计若干天完成，若甲单独完成，则需多做18天；若乙单独完成，则需多做32天，求甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？

试题答案
一、选择题：
1. A 2. B 3. C 4. B 5. D

二、填空题：
6.
7.
8.

三、解答题：
9. 解：由题意，

∵方程有两个相等的实根

解得
当k=0时，方程不是一元二次方程，
不符合题意，应舍去。
当时，原方程为
解方程，得
∴k的值为，方程的解为。
10. 证明：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴

11. 解：∵a，b，c是三角形
∴
∴此方程是一元二次方程
∵

∵a，b，c为三角形的三条边

没有实数解。
12. 解：设甲、乙共同做这项工作需x天，则甲单独做需（x+18）天，乙单独做需（x+32）天，
由题意，
解之 （舍）

答：单独做甲需42天，乙需56天。