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第五章 相交线与平行线
一、平面中两条直线的位置关系：
先请大家想一下，平面中两条直线的位置关系会有几种呢？请大家注意以下的几件事：
1、从“两分法”的角度来对这种位置关系进行分类，一定是可行的。
即用相交与不相交来划分平面中两条直线的位置关系。
2、无论如何划分分类，都将以“点”来分类，所以我们将平面中两条直线的位置关系划分为2类：
（1）相交：有且只有一个公共点
（2）不相交：没有公共点
我们对不相交的这种情况，也叫做平行了，有的同学可能会提出这样的问题：那么重合怎么办？
我们现在将重合的情况认为是同一条直线，不再予以考虑。
二、相交：
在画图时，请注意：先养成随时标记名称的习惯。
我们一旦画出两条直线相交的图象，马上就会发现图中有我们上学期学过的一些基本图形：
回忆一下上个学期，我们在学几何时学了一些什么内容？
我们依次学习了：直线、射线、线段；角的概念；角的比较；角的运算；其中特殊的运算是互补、互余、等角等等。
那么回到相交中图1所示的情况：这里面有互余关系吗？（不一定有），有互补关系吗？（一定有，如∠1与
∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1）有相等关系吗？（一定有，如∠1与∠3，∠2与∠4）我们要关注的，就是这些必然出现的等量关系。
1、邻补角（书上第5页）
关键词：公共边、反向延长线
2、对顶角（书上第5页）
关键词：公共顶点，反向延长线
请大家在学习这两个基本概念时注意：
（1）补角是可以脱离几何背景的（假如说∠1与∠2互为补角，已经表述清数量关系了），而邻补角是必然跟随着几何背景的。
（2）描述概念时，关键是刻画出两层含义：
①先刻画原有的角；
②再刻画新构造的角，尤其是把角的要素——边与角说清楚。
接下来的一个问题是：怎么说明“对顶角相等”呢？我们将从这里开始逐步接触到几何问题的证明过程。我们将借助这个问题的证明来向同学们展示几何中最常见的推理方法。
证明过程如下：
已知：如图，直线l1、l2交于点O
求证：∠1=∠3且∠2=∠4
证明：如图，∵∠1与∠2互为邻补角
∴∠1+∠2=180°
即∠1=180°-∠2 ①
又∵∠2+∠3=180°
即∠3=180°-∠2 ②
据①②，有180°-∠2=∠3=∠1
∴∠3=∠1
同理可证：∠2=∠4
即，对顶角相等。
当我们解决一道证明题时，更多的是用数学符号语言去论述问题，即：
将文字转译成图（用图把想说的事画一下、示意一下），再用数学符号语言表述清楚已知、求证、证明过程，最好把结论写好。
三、平行
在谈平行问题时，单独说平行并没有什么好多探讨的，更多的是说三条直线间的关系。
1、各种角：
不管平面中三条直线位置关系究竟如何，存不存在平行，只要是一条直线分别与另外两条直线相交，就会产生这样的8个角，如图：
我们由此提出3个名称：
（1）同位角：如∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8
（2）内错角：如∠2与∠6，∠3与∠7
（3）同旁内角：如∠2与∠3，∠6与∠7
2、平行公理：
平面内两条直线被第三条直线所截，若同旁内角之和小于180°，则这两条直线必在这一侧相交。
平行公理的含义有这么两层：
（1）扩充一下条件：
如图：
①若∠1+∠2=180°，即互补，则不相交，即平行。
②若∠1+∠2<180°，则交于同侧
③若∠1+∠2>180°，则交于异侧
即：同旁内角之和可以决定两条直线的位置关系。
我们知道，在平面几何中，公理是不可证的，而定理定律是可由已知公理及其推出的定理证明的。所以，平行公理为我们在后面证明新的定理打下了基础。
（2）另外一层意思是，这个公理翻过来说是什么样的？成立吗？
即若两直线平行，同旁内角之和是180°吗？
已知：如图，l1∥l2
求证：∠1+∠2=180°。
证明：（反证法）
假设l1∥l2，且∠1+∠2≠180°，
则若∠1+∠2<180°，则据公理，有l1与l2相交。
若∠1+∠2>180°，则据公理，有l1与l2相交。
与已知矛盾（说明假设出错了）
命题得证。
在这里，我们也稍稍谈一下反证法的格式：
①假设结论“不对”，并将“不对”翻译成“数学语言”；
②将这个“数学语言”与“已知”结合（都当已知），推出矛盾的结果；
③命题得证。
以上，我们将平行公理发展成了我们常用的样子，即：
若同旁内角互补，则两直线平行；
若两直线平行，则同旁内角互补。
这里面说了两句话，每句都是一个条件，一个结论；用“若”和“则”来区分开条件和结论。而对于这两句话我们也有专门的名词来描述：前面一句可以判断出两条直线的平行关系，叫做判定定理；而后面一句表述了两条直线平行时的特征，叫性质定理。
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