数理统计参考答案.doc

习题一
1 设总体的样本容量，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.
1）； 2）；
3）； 4）.
解 设总体的样本为，
1）对总体，

其中：
2）对总体

其中：
3）对总体

4）对总体

2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.
解 设代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：

表1.1 频率分布表
i
0 1 2 3 4
个数
6 7 3 2 2

0.3 0.35 0.15 0.1 0.1

经验分布函数的定义式为：
，

据此得出样本分布函数：

图1.1 经验分布函数

3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：

组下限
165 167 169 171 173 175 177
组上限
167 169 171 173 175 177 179
人 数
3 10 21 23 22 11 5
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.
解

图1.2 数据直方图

它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即.
4 设总体X的方差为4，均值为，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足.
解

因k较大，由中心极限定理,：

所以：
查表得：，.
5 从总体中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.
解

6 从总体中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.
解 设两个独立的样本分别为：与，其对应的样本均值为：和.
由题意知：和相互独立，且：
，

7 设是总体的样本，试确定C，使得.
解 因，则，且各样本相互独立，则有：

所以：

查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.
8 设总体X具有连续的分布函数，是来自总体X的样本，且，定义随机变量：

试确定统计量的分布.
解 由已知条件得：，其中.
因为互相独立，所以也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
，.
9 设是来自总体X的样本，试求。假设总体的分布为：
1） 2) 3) 4)
解 1)

2)

3)

4)

10 设为总体的样本，求
与。
解

又因为 ,所以：
11 设来自正态总体，定义：，计算.
解 由题意知，令：，则

12 设是总体的样本，为样本均值，试问样本容量应分别取多大，才能使以下各式成立：
1）；2）；3）。
解 1)
，

所以：
2)
令：

所以：
计算可得：
3)

查表可得： ，而取整数，.
13 设和是两个样本，且有关系式：（均为常数，），试求两样本均值和之间的关系，两样本方差和之间的关系.
解 因：

所以：
即：

14 设是总体的样本.
1) 试确定常数，使得，并求出；
2) 试确定常数，使得，并求出和.
解 1）因：，
标准化得：，且两式相互独立
故：
可得：，，.
2） 因：，，
所以：，
可得：.
15 设分别是分布和分布的分位数，求证
.
证明 设，
则：
所以：
故：.
16 设是来自总体的一个样本，求常数，使：
.
解 易知，则；
同理，则
又因：，所以与相互独立.

所以：
计算得：c = 0.976.
17 设为总体的容量的样本，为样本的样本均值和样本方差，求证：
1）；
2）；
3）.
解 1）因：，
所以：，
又：
且：与相互独立
所以：~

2） 由1）可得：
3） 因：，
所以：
18 设为总体的样本，为样本均值，求，使得
.
解

所以：
查表可得：，即.
19 设为总体的样本，试求：
1）的密度函数； 2）的密度函数；
解 因：，
所以的密度函数为：
，

由定理：

20 设为总体的样本，试求：
1）； 2）
解

21 设为总体的一个样本，试确定下列统计量的分布：
1）； 2）；3）
解 1）因为：
所以：，
且与相互独立，由抽样定理可得：

2）因为：，
且与相互独立，
所以：
3）因为：，
所以：，
且与相互独立，
由卡方分布可加性得：.
22 设总体服从正态分布，样本来自总体，是样本方差，问样本容量取多大能满足？
解 由抽样分布定理：,,
查表可得：，.
23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，分别为两样本方差，求.
解 设分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，

又因分别为两独立的样本方差：
所以：.

24 设总体，抽取容量为20的样本，求概率
1）；
2）.
解 1）因，且各样本间相互独立，所以：

故：
2）因：, 所以：

25 设总体，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下的值：
1） 已知；
2） 未知，但已知样本标准差.
解 1）

2）

26 设为总体的样本，为样本均值和样本方差，当时，求：
1） 2）
3）确定C，使.
解 1）

2）

其中,则

3）

其中，，则

所以： ,计算得：.
27 设总体的均值与方差存在，若为它的一个样本，是样本均值，试证明对，相关系数.
证明

所以：.
28. 设总体，从该总体中抽取简单随机样本，是它的样本均值，求统计量的数学期望.
解 因，为该总体的简单随机样本，令，则有
可得：

习题二

1 设总体的分布密度为：

为其样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量 .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值 .
解 计算其最大似然估计：

其矩估计为：

所以：，
.
2 设总体X服从区间[0, ]上的均匀分布，即，为其样本，
1)求参数的矩估计量和极大似然估计量；
2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.
解 1）矩估计量：

最大似然估计量：

无解 .此时，依定义可得：
2）矩法：
极大似然估计：.
3 设是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .已知总体X的分布密度为：
1）未知
2）未知
3）未知
4) 未知
5），其中参数未知
6），其中参数未知
7）未知
8）

解 1）
矩法估计：
最大似然估计：

.
2)

矩估计：
最大似然估计：

.
3）
矩估计：
联立方程：

最大似然估计：
,
,无解，当时，使得似然函数最大，
依照定义，，同理可得.
4)
矩估计：
，不存在
最大似然估计：

，无解；依照定义，.
5)
矩估计：

即
最大似然估计：

，无解
依定义有：.
6)
矩估计：

解方程组可得：
最大似然估计：

无解，依定义得， 解得 .

7)
矩估计：

最大似然估计：

.
8)
矩估计：

最大似然估计：

.
4. 设总体的概率分布或密度函数为，其中参数已知，记，样本来自于总体X，则求参数的最大似然估计量 .
解 记则；

.
5 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：

组中值
5 15 25 35 45 55 65
频 数
365 245 150 100 70 45 25
如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.
.解 最大似然估计：

.
6 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：
1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948
设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
解 设灯泡的寿命为,,极大似然估计为：
根据样本数据得到： .
经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.
7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：
大肠杆菌数/升
0 1 2 3 4 5 6
升 数
17 20 10 2 1 0 0
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？
解 设为每升水中大肠杆菌个数，，，由3题（2）问知，的最大似然估计为，所以

所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .
8 设总体，试利用容量为n的样本，分别就以下两种情况，求出使的点A的最大似然估计量 .
1）若时； 2）若均未知时 .
解 1） ，的最大似然估计量为，

所以 .
2） 的最大似然估计量为，最大似然估计为，由极大似然估计的不变性，直接推出.
9 设总体X具有以下概率分布：
x

0
1/3
1/4
0
1
1/3
1/4
0
2
0
1/4
1/4
3
1/6
1/4
1/2
4
1/6
0
1/4
求参数的极大似然估计量 .若给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值 .
解 分别计算 ，时样本观测值出现的概率：

由最大似然估计可得：.
10 设总体X具有以下概率分布：
，
求参数的最大似然估计量 .
解 最大似然估计应该满足：

结果取决于样本观测值.
11 设是总体X的样本，设有下述三个统计量：

指出中哪几个是总体均值a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？
解

，

所以 无偏，方差最小.
12 设总体，为其样本，
1）求常数，使为的无偏估计量；
2）求常数，使为的无偏估计量 .
解 1）

令
得 .
2）
令
.
13 设是来自总体X的样本，并且EX =，DX = ，是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量 .
解

所以 .
14 设有二元总体，为其样本，证明：

是协方差的无偏估计量 .
证明
由于

所以：

，证毕 .
15 设总体，样本为，是样本方差，定义，，试比较估计量,,哪一个是参数的无偏估计量？哪一个对 的均方误差最小？
解 1）

所以 是的无偏估计
2）
所以，

可以看出最小 .
16 设总体，为样本，试证：与都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？
解

所以 比较有效.
17 设，是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍 .试确定常数c1, c2，使得为的线性最小方差无偏估计量 .
解： 设

当，上式达到最小，此时 .
18. 设样本来自于总体X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，证明估计量是参数的有效估计量 .
解

所以其C-R方差下界为
所以 是参数有效估计量.
19 设总体X具有如下密度函数，

是来自于总体X的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定R-C下界 .
解 因为似然函数

所以取统计量

得=，所以是无偏估计量
令 由定理2.3.2知 T是有效估计量，由
所以 C-R方差下界为.

20 设总体X服从几何分布：，对可估计函数，则
1）求的有效估计量；
2）求；
3）验证的相合性 .
解 1）因为似然函数

所以取统计量 .
又因为

所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量
2）

所以 是相合估计量 .

21 设总体X具有如下密度函数，

是来自于总体X的样本，是否存在可估计函数以及与之对应的有效估计量？如果存在和，请具体找出，若不存在，请说明为什么 .
解 因为似然函数

所以令

所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量
所以：是有效估计量.

22 设是来自于总体X的样本，总体X的概率分布为：

1） 求参数的极大似然估计量；
2） 试问极大似然估计是否是有效估计量？如果是，请求它的方差和信息量；
3） 试问是否是相合估计量？
解 1）

得到最大似然估计量
2）

所以
所以是无偏估计量，，由定理2.3.2得到是有效估计量
信息量

3）

所以，T也是相合估计量 .
23 设样本来自总体，并且的区间估计为，问以多大的概率推断参数取值于此区间 .
解 设以概率推断参数取值于，在已知方差为1条件下，推断参数
的置信度为的置信区间为
所以 ，，得到

即以概率推断参数取值于.
24 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：
2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，
2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11
设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的90%置信区间，
1）若已知=0.01cm； 2）若未知；

解 因为
1） 计算

所以 置信区间为
2） 计算

所以 置信区间为.

25 测量铝的密度16次，测得试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布) .
解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：
因为
计算
所以 置信区间为 .
26 在方差已知的正态总体下，问抽取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于l？
解 均值的置信度为的置信区间为
要使
即 .
27 从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
解

，所以.

28假设0.5, 1.25, 0.8, 2.0是总体X的简单随机样本值 .已知 .
1） 求参数a的置信度为0.95的置信区间；
2） 求EX的置信度为0.95的置信区间 .
解 1） 服从正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间为 ，由题意，从总体X中抽取的四个样本为：

其中，，代入公式，得到置信区间为
2）
，由1）知道的置信区间为，所以置信区间为.

29 随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻()为：
A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137
B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140
设测试数据分别服从和，并且它们相互独立，又均未知，求参数的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：
置信区间为
计算得

所以.
30 有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5419和0.6065，设与分别为A、B所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比/的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：
置信区间为

计算得

所以置信为 .
31 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意标准差的置信度为0.95的置信区间为
计算得

所以 置信区间为 .
32 在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货物次品率的置信度为95%的置信区间
解 设表示来自总体的样本，样本为次品时,样本为正品时，表示次品率，则，
的置信区间为
计算得：

所以 置信区间为.
33 设总体，参数，是来自于总体X的样本，并且，求参数的贝叶斯估计量 .
解 设，先验分布密度，
当时，样本的概率密度分布为
关于参数的后验分布为
的后验分部为 ，所以关于的Bayes估计量.

34 设总体，参数具有指数分布，即，并且损失函数为平方差函数形式，求 参数的贝叶斯估计量 .
解 设，先验分布密度
当时，样本的概率密度分布为

关于参数的后验分布为
的后验分部为 ，关于的Bayes估计量.

35 设总体X服从几何分布：，并且参数，其中为已知参数 .在平方差损失下，求参数的贝叶斯估计量T .
解
设，
先验分布密度
当时，样本的概率密度分布为：

关于参数的后验分部为

的后验分部为
关于的Bayes估计量.
36 设为总体的样本，
1） 求参数p是有效估计量T1与相应的信息量；
2） 如果，在平方差损失下，求参数p的贝叶斯估计量T2 .
3） 试比较两个估计量T1和T2 .
解 1）因为似然函数为：

所以

又因为

所以取，有定理2.3.2得 是的有效估计量

2）设
先验分布密度 当时，样本的概率密度分布为

关于参数的后验分部为

的后验分部为 ，关于的Bayes估计量
（3）比较估计量,有：

所以，优于.

习题三
1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（）？
解 由题意知 ，，设立统计原假设
拒绝域为 ，临界值 ，
由于 ，所以拒绝，总体的均值有显著性变化.
设立统计原假设
由于，所以当时

拒绝域为
由于，所以拒绝，总体的方差有显著性变化.
2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为=950h .已知该种元件寿命，问这批元件是否合格（）？
解 由题意知 ，设立统计原假设

拒绝域为
临界值为
由于 ，所以拒绝，元件不合格.
3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（）？ 2）能否认为这批罐头重量的方差为5.52（）？
解 （1）设X表示罐头的重量(单位：g). 由题意知,已知
设立统计原假设 ,拒绝域
当时，
临界值 ，由于，
所以接受，机器工作正常.

（2）设X表示罐头的重量(单位：g). 由题意知，已知
设立统计原假设
拒绝域为 当=0.05时，可得

由于,所以接受，可以认为方差为.
4 某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399（元/500克），标准差为0.269（元/500克）.已知往年的平均售价一直稳定在3.25（元/500克）左右， 问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？（）
解 设X表示市场鸡蛋的价格（单位：元/克），由题意知
设立统计原假设 , 拒绝域为
当=0.05时，
由于所以拒绝，当前的鸡蛋售价明显高于往年.
5 已知某厂生产的维尼纶纤度，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差是否明显变大了（）？
解 由题意知 ，
设立统计原假设
拒绝域为， 当时，

由于，所以拒绝，认为强度的方差明显变大.
6 某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000，标准差不得超过130.现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值,标准差.设元件寿命服从正态分布，试在显著水平 =0.05下, 确定这批元件是否合格.
解 设X表示电子元件的平均寿命（单位：），由题意知
设立统计原假设
拒绝域为
当时，
由于 ，所以接受，即这批电子元件的寿命是合格的.
7 设为来自总体的样本，已知对统计假 的拒绝域为.1）当时，求犯两类错的概率与；2）证明：当→时，→0，→0.
解 （1）由题意知
犯第一类错误的概率为

犯第二类错误的概率为

（2）若成立，则
当，，所以
同理
8 设需要对某一正态总体的均值进行假设检验H0：= 15，H1：< 15
取检验水平α=0.05，试写出检验H0的统计量和拒绝域.若要求当H1中的=13时犯第二类错误的概率不超过=0.05，估计所需的样本容量n.
解 由题意知 ,已知, 设立统计原假设
则拒绝域为，其中临界值
犯第二类错误的概率

即 , 化简得 .
9 设为来自总体～的样本，为已知, 对假设：
其中，试证明：
解 （1）,由题意知
犯第一，二类错误分别为，则有
（2）
由题意知 ，犯第一，二类错误分别为，则有

10 设为总体样本，对假设：的
拒绝域为 . 求犯第Ⅰ类错误的概率和犯第Ⅱ类错的概率.
解 由题意知 ,
统计假设为 . 拒绝域为
则犯第一，二类错误的概率分别是

11 设总体是密度函数是

统计假设 .现从总体中抽取样本,拒绝域，求：两类错误的概率
解 由题意知

当
此时
当
此时
12 设总体，根据假设检验的基本原理，对统计假设：
；，试分析其拒绝域.
解 由题意知 ,当成立时

所以拒绝域为
当成立时

所以拒绝域为
13 设总体根据假设检验的基本原理，对统计假设：
（1）；（2）
试分析其拒绝域.
解 由题意知
（1）假设统计假设为 其中已知
当成立时，拒绝域形式为
由 ，可得
所以 ，由此可得拒绝域形式为
（2）假设统计假设为 其中未知
当成立时，选择拒绝域为 ，由
得
所以，由此可得拒绝域形式为

14 从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含灰率（%）为,甲:24.3, 20.8, 23.7, 21.3, 17.4, 乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服从正态分布且，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异 （）？
解 由题意知
设统计假设为 其中
当时

临界值
拒绝域为
而
15 设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低.经过试验获得它们的抗拉强度分别为（单位：kg/cm）：
甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88
假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且 =.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高（）？
解 由题意知
设统计假设为 ，其中
当时

临界值
拒绝域为
而 ，所以接受，认为甲的抗拉强度比乙的要高.
16 甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径（单位：mm）为：
甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8
乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8
假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高（）？
解 由题意知
设统计假设为 ，其中
当时 ，临界值
拒绝域为，而，接受，认为乙的精度高.
17 要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量（单位：mg）数据列表如下：
（甲）
4900
5220
5500
6020
6340
7660
8650
4870
（乙）
4930
4900
5140
5700
6110
6880
7930
5010

试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？(). 假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足且两个样本相互独立.
解 由题意知
设统计假设为 ，其中
当时，令
拒绝域为，临界值
而，所以接受，认为两种轮胎耐磨性无显著差异.
18 设总体, 由两总体分别抽取样本
：4.4，4.0，2.0，4.8 ：6.0，1.0，3.2，0.4
1）能否认为 ()? 2）能否认为 ()？
解 (1) 由题意知
设统计假设为 ，其中
令，则有，
当时，，
拒绝域为，而，所以
(2) 由题意知
设统计假设为 ，其中
其中，拒绝域为

临界值
而
19 从过去几年收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证 实他的看法，他用他的方法治疗200个癌症病人，其中有6个治好了.这个医生断 言这种样本中的3%治愈率足够证实他的看法.（1）试用假设检验方法检验这个医生的看法；（2）如果该医生实际得到了4.5%治愈率，问检验将证实化学疗法比外科方法更有效的概率是多少？
解 (1) 记每个病人的治愈情况为，则有
设统计假设为 ，其中
拒绝域为，临界值
而
(2) 不犯第二类错误的概率
由，可得
由中心极限定理得

20 在某公路上，50min之间，观察每15s内通过的汽车数，得下表

通过的汽车数量
0 1 2 3 4 ≥5
次数f
92 68 28 11 1 0

问能否认为通过的汽车辆数服从泊松分布（）？
解 设统计假设为
记 则有

检验统计量的值为

21 对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：

组限
10.93～10.95
10.95～10.97
10.97～10.99
10.99～11.01
频数
5
8
20
34
组限
11.01～11.03
11.03～11.05
11.05～11.07
11.07～11.09
频数
17
6
6
4
试对螺栓的口径的分布做假设检验（）.
解 设表示螺栓的口径，，分布函数为，统计假设为
，其中
在成立的情况下，计算得

由
得

所以

检验统计量的值为

由此应该
22 检查产品质量时，每次抽取10个产品检验，共抽取100次，得下表：
次品数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数
35 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0
问次品数是否服从二项分布（）？
解 设表示抽取的次品数，，分布函数为，统计假设为
，其中
在成立的情况下，
计算得

检验统计量的值为

因此
23 请71人比较A、B两种型号电视机的画面好坏，认为A好的有23人，认为B好的有45人，拿不定主意的有3人，是否可以认为B的画面比A的好（）？
解 设表示A种型号电视机的画面要好些，表示B中型号电视机画面要好些
分布函数分别为，，统计假设为

由题意知
检验统计量
而，所以
24 为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取12个产品进行测量，得下表
甲
1.13
1.26
1.16
1.41
0.86
1.39
1.21
1.22
1.20
0.62
1.18
1.34
乙
1.21
1.31
0.99
1.59
1.41
1.48
1.31
1.12
1.60
1.38
1.60
1.84
问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同（）？
解 设分别表示甲乙两车间所生产产品的指标分布，分布函数分别，统计假设为

检验统计量为秩和，易知的样本值为且
拒绝域为

而，所以
25 观察两班组的劳动生产率(件/h)，得下表：
第1班组
28 33 39 40 41 42 45 46 47
第2班组
34 40 41 42 43 44 46 48 49
问两班组的劳动生产率是否相同（=0.05）？
解 设分别表示两个组的劳动生产率，分布函数分别为，统计假设为

检验统计量为秩和，易知的样本值为
拒绝域形式为

而，因此, 所以
26 观观察得两样本值如下：
Ⅰ
2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41
Ⅱ
4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54
问这两样本是否来自同一总体（=0.05）？
解 设分别表示Ⅰ，Ⅱ两个样本，分布函数分别是，统计假设为

检验统计量为秩和，易知的样本值为
拒绝域形式为

而，因此, 所以
27 某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10，53，46,按照某种遗传模型其比率之比应为：，问数据与模型是否相符（）？
解 设体格的属性为样本，由题意知
其密度函数为，其中
统计假设为

似然函数为

解得最大似然统计量为
则
拒绝域为

而
所以
28 在某地区的人口调查中发现：15729245个男人中有3497个是聋哑人.16799031个女人中有3072个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设（）.
解 设表示男人中聋哑人的个数，表示女人中聋哑人的个数，其分布函数分别表示为，. 统计假设为

拒绝域为

而
所以
29 下表为某药治疗感冒效果的联列表：
年龄
疗效

儿童

成年

老年

一般
58
38
32
128
较差
28
44
45
117
显著
23
18
14
55

109
100
91
300

试问该药疗效是否与年龄有关（=0.05）？
解 设表示该药的疗效与年龄有关，表示该药的疗效与年龄无关，其分布函数分别表示为. 统计假设为

拒绝域为

而
所以
30 某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂提供的产品批的不合格率不超过3%时以高于95%的概率接受，当不合格率超过12%时，将以低于10%的概率接受.试为验收者制订验收抽样方案.
解 由题意知，
代入式子
选用式子
计算求得 ，于是抽查方案是：抽查66件产品，如果抽得的不合格产品，则接受这批产品，否则拒绝这批产品.
31 假设一批产品的质量指标（已知），要求质量指标值越小越好.试给出检验抽样方案（）的计算公式.若未知，又如何确定检验抽样方案（）？若质量高时指质量指标在一个区间时，又如何确定检验抽样方案（）?
解 (1) 解方程组

得
(2) 若未知，用估计，从而得出公式

习题四
1 下表数据是退火温度()对黄铜延性效应的试验结果，是以延伸率计算的，且设为正态变量，求对的样本线性回归方程.
()
300 400 500 600 700 800
(%)
40 50 55 60 67 70
解 利用回归系数的最小二估计：
其中
代入样本数据得到：
样本线性回归方程为：
2 证明线性回归函数中
(1)回归系数的置信水平为的置信区间为；
(2)回归