资源描述
等腰三角形的性质
【设计说明】
1．问题是数学的心脏。本设计把“问题”贯穿于教学的始终，运用“提出问题——探究问题——解决问题”的教学方式，让学生体会发现结论和证明结论的乐趣，使学生在长知识的同时，也长智慧、长能力以及培养良好的思维品质。
2．让数学思想方法渗透于课堂教学之中。本设计引导学生运用“转化”思想，将等腰三角形转化为两个全等的三角形；设计中注重首尾呼应，以渗透数学与实践相结合的辨证唯物主义思想，培养学生的应用意识。
【教学目标】
(一).知识目标：
1、掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用它们进行有关的论证和计算。
2、理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间的联系。
(二) 能力目标：
1、定理的引入培养学生对命题的抽象概括能力，加强发散思维的训练。
2、定理的证明培养学生“转化”的数学思想及应用意识，初步掌握作辅助线的规律及
“分类讨论”的思想。
3、定理的应用，培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。
(三) 情感目标：
在教学过程中,引导学生进行规律的再发现，激发学生的审美情感，与现实生活有关的实际问题使学生认识到数学对于外部世界的完善与和谐，使他们有效地获取真知，发展理性。
【教学重点】等腰三角形的性质定理及其证明。
【教学难点】问题的证明及等腰三角形中常用添辅助线的方法。
【教学方法】引导发现法、探究法、讲解法、练习法
【教学媒体】多媒体辅助教学
【教学过程】
一．复习引入:
1. 三角形按边怎样分类?
三角形
不等边三角形
等腰三角形
腰和底不相等的等腰三角形
等边三角形
2. 什么叫等腰三角形?指出等腰三角形的腰、底、顶角、底角.
有两边相等的三角形叫等腰三角形.
△ABC中,AB=AC
3. 一般三角形有那些性质?
两边之和大于第三边.
三个内角的和等于180°.
4. 同学们都很熟悉人字梁屋架（出示图形），它的外观构形就是等腰三角形。等腰三角形除了具有一般三角形的性质外,还有那些特殊的性质?今天我们一起研究------等腰三角形的性质(揭示课题).
二．新课讲解:
1．动手实验，发现结论
［问题1］ 等腰三角形的两腰AB=AC,能否通过对折重合呢? (学生动手折叠课前准备好的等腰三角形) 通过实验,大家得出什么结论?
［结论］等腰三角形的两个底角相等.
（几何画板演示）得到同样的结论
[辨疑] 从实际图形中发现结论，并验证结论，这也是探究几何问题的方法之一。但必须注意，由观察发现的命题不一定是真命题，需要证明，怎样证明？
2．证明结论，得出性质
[问题2] 关于几何命题的证明步骤是怎样的？（学生回答）
启发学生找出题设和结论，画出图形，并写出已知、求证。
[问题3] 证两角相等的常用方法是什么？（学生回答，要证两角所在的两个三角形全等）通过电脑演示，引导学生全面观察，联想，突破引辅助线的难关，并向学生渗透转化的数学思想。
[定理证明]
已知: △ABC中,AB=AC
求证:∠B=∠C
证明:作顶角∠BAC的平分线AD
AB=AC (已知)
∠1=∠2 (辅助线作法)
AD=AD (公共边)
在△ABD 和 △ACD中,
∴△ABD≌△ACD (SAS)
∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等)
[问题4] 证明性质定理时,辅助线可不可以作成BC边上的高或中线?证明两三角形全等的方法有什么不同?
引导学生分析后写出证明过程，同时总结等腰三角形常用辅助线的添加方法及其用。
上述结论就是等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等.简述成：等边对等角。
[说明] 所谓等边对等角，是指在同一个三角形中有两条边相等，则这两边所对的两个角相等。这是在同一个三角形中证明两个角相等的常用方法。
3．巩固练习，加深理解
练习一：
1. △ABC中,AB=AC.
(1) 若∠B=50°, 则∠C=______,∠A=________.
(2) 若∠A=100°, 则∠B=______,∠C=________.
2. (1) 等腰三角形的一个内角为50°,则另两个角为_____________________.
(2) 等腰三角形的一个内角为100°,则另两个角为_____________________.
(3) 等腰三角形的一个内角为90°,则另两个角为_____________________.
[归纳]已知等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时,
(a) 若已知角为钝角或直角,则它一定是顶角;
(b) 若已知角为锐角,它可能是顶角,也可能是底角.
4．运用性质，得出推论
[问题5] 上面定理的证明得出两个三角形全等后，还可以证明那些对应元素相等呢？
对应边:BD=CD------------------------------------------------------AD是BC边上的中线
对应角: ∠BDA=∠CDA,
又∠BDA+∠CDA=180°
从而∠BDA=∠CDA=90°----------------- AD是BC边上的高
（学生探讨回答，并归纳得出推论1）
推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边.
推论1用几何语言表示:
在△ABC中,（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠______=∠_____，______=______；
（2）∵AB=AC，AD是中线，∴∠_____=∠______，_____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，∴_____⊥_____，______=______。
推论1体现了AD的三重“身份”，即
“三线合一”性质：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
[问题6] 一般三角形是否具有这一性质呢？
(几何画板演示)
[问题7] 等边三角形的各角之间有什么关系？各角为多少度？（学生回答，并归纳得出推论2）
推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
5．深入实际，举例应用
例题: 已知:如图,房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
首先用多媒体给出学生熟悉的人字梁屋架，然后分别介绍顶架上房屋的屋椽（两条椽相等）、横梁、立柱（垂直于横梁），而后把顶架结构抽象成数学模型，寻找解题思路。
解:在△ABC中,
∵AB=AC (已知)
∴∠B=∠C (等边对等角)
∴∠B=∠C= (180°-∠A)= (180°-100°)=40°
又∵AD⊥BC (已知)
∴∠BAD=∠CAD (等腰三角形顶角平分线与底边上的高互相重合)
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=50°
6．巩固练习，加深理解
练习二
如下图的三角形测平架中AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤自然下垂,调整架身,使点A恰好在锤线上.
(1)求证: AD⊥BC
(2)这时BC处于水平位置吗?
证明: (1)在△ABC中,
∵AB=AC,BD=CD(已知)
∴AD⊥BC(等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合)
(2)由于BC与铅垂线垂直,所以BC处于水平位置.
三．课堂小结:
1. 等腰三角形的性质定理.( 会根据等腰三角形的一个角求另两个角(分情况讨论))
2. 推论1(“三线合一”) (会用之证明两角相等、两线段相等或两直线互相垂直)和推论2。
3. 等腰三角形中经常用到的辅助线（顶角的平分线、底边上的中线或高,根据具体情况决定），分类讨论的思想，把实际问题抽象成数学模型的能力。
四．布置作业:
P71 A组 2、3、5
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
