河北省秦皇岛市山海关桥梁中学八年级数学下册 《轴对称》教案.doc

12.1轴对称（第2课时）——线段的垂直平分线
【指导思想】
新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”，转向“关注学生活动”、“重塑知识的形成过程”，课程设计、实施将由“给出知识”转向“引导活动”。倡导学生主动探索，自主学习，合作讨论，体现数学再发现的过程，数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是给学生创造环境，鼓励学生“观察”、“操作”、“发现”，在这个过程中通过合作交流，让学生发展自主学习的能力，发展学生的个性品质，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力。那么在新课程理念下我们应该怎样做呢？做些什么呢？我个人认为，可以从以下几个方面来做。
首先、学习兴趣的培养
其次、注重数学思想方法教学
第三、思维能力的培养
第四、口语表达能力的培养
第五、应用数学能力的培养
第六、非智力因素的培养
【教材分析】
（一）教材地位
本节课是新人教版《数学》八年级上册第十二章第一节轴对称的第二课时（本人对教材做了一定的调整，把线段垂直平分线的的定义和轴对称的性质并入第一课时），这节课可进一步加深学生对轴对称图形的认识，让学生进一步感受全等三角形判定和性质的应用。这节课也是后面将要学习的等腰三角形的基础，一是学习几何图形的方法（定义、性质、判定），二、在证明判定定理时添加的辅助线也是等腰三角形性质和判定证明时常用的辅助线，三、线段垂直平分线的几何图形本身就含有等腰三角形，所以，经常结合等腰三角形来考察线段的垂直平分线。
（二）课标解读
经历探索、证明线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能应用定理解决一些简单的数学问题。定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据；逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据。
（三）教学目标：
　　1、知识目标：
　　（1）掌握线段的垂直平分线的性质定理、判定定理的内涵和证明；
　　（2）能运用它们证明两条线段相等或一条直线是某条线段的垂直平分线。
　　2、能力目标：
　　（1）经历测量、探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力；
（2）通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；
　　（3）提高综合运用知识的能力。
　　3、情感目标：
　　（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；
（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。
（四）教学重点、难点
教学重点：线段垂直平分线定理及判定定理的证明、应用。
教学难点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。
教学用具：三角板，电脑课件等
（五）教学方法：以学生为主体的归纳探究法
【学情分析】
心理方面，八年级的学生可塑性大，有着强烈的好奇心和探究欲，喜欢主动尝试。但与七年级知识相比，八年级的知识内容要深得多﹑难得多。同学们在学习方面面临着更大的挑战，有的学生因此产生了畏难情绪，感觉学习吃力，上课听不懂﹑跟不上，由此失去了学习的兴趣。基于此，这节课注重培养学生的学习兴趣，让学生主动参与学习，表达自己的观点。
知识方面，学生已经掌握全等三角形的判定和性质，能熟练应用全等三角形的判定和性质证明两条线段相等和两角相等，具有一定的数学思维和数学语言表达能力，所以，探索、猜测、归纳、证明两个定理，在老师的引导下，能顺利完成。
【教学过程】
活动过程
教师活动
学生活动
设计意图
复习
引入
1、什么叫线段的垂直平分线？
2、请叙述：
角平分线的性质定理和判定定理。
问题：线段的垂直平分线是否也有类似的性质和判定呢？
回答问题
带着疑问来学习本节课的内容。
温故而知新

线段垂直平分线性质定理的探究过程
请同学们独立完成：
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上一点，测得PA=____cm,PB=____cm,从而得到：PA___PB. 请你在MN上再取一点C，测得CA=____cm,CB=____cm,从而得到：CA___CB.

利用几何画板演示：无论点P在直线MN的什么位置，始终有PA=PB.
请你类比角平分线的性质定理，用一句简洁的话语归纳刚刚得到的结论。
归纳得到：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
这个命题是真命题吗？下面我们来证明一下。
教师画出图形，让学生说出命题的一已知和求证。教师补充。
已知: 如图，直线MN经过点O， AO=BO,且MN⊥AB,P是MN上任意一点。
求证： PA=PB.
请一同学口述命题的证明过程，教师板演。
因为P是直线MN上任意一点，特别的，当点P与线段AB的中点O重合时，就不能构成△AOP和△BOP，但是此时，∵O是AB的中点，∴OA=OB,∴PA＝PB仍然成立。（这种特殊情形初中数学证明时不做要求，但还是让学生了解一下好。）
实际上，还可以利用轴对称的知识来证明。
∵直线OP是线段AB的垂直平分线
∴点A、B关于直线OP对称
∴沿直线OP将线段AB对折，点A、B一定会重合，而且点P在对称轴上
∴PA＝PB
这样，经过证明，这个命题是真命题，我们把它叫做线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
定理的符号表示：
∵MN是线段AB的垂直平分线(MN⊥AB, AO=BO)
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等).
这个定理是证明两条线段相等的方法之一。
归纳：从开学到现在学到的证明两条线段相等的方法有：全等三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质。
学生测量。

观察老师的演示

思考并用语言归纳结论。

学生说出命题的已知和求证。

学生思考命题的证明过程。
一学生口述证明过程。

学生了解利用轴对称的方法证明线段垂直平分线的性质定理。
学生说出定理的符号表示，进一步理解定理，为更好应用定理做准备。
归纳证明两条线段相等的方法。

让学生经历测量、探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力；

教师演示的作用一是让学生进一步感受线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。二是把学生的注意力吸引到课堂上来。

这种特殊情形初中数学证明时不做要求，但还是让学生了解一下好。高中数学证明是有要求的。

让学生进一步加深对轴对称的认识，巩固轴对称图形的定义。

让学生进一步理解定理，为更好应用定理做准备。

及时归纳，让学生养成良好的学习数学的习惯。
巩固理解性质定理
练习
1.判断
（1）如图，CD^AB于D，则AC＝BC。（ ）
（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（ ）
2、如图，MN是线段AB的垂直平分线,
下列说法正确的有： 。
① AB⊥MN,②AO=OB， ③AM=MB， ④MO=ON，⑤AM=AN
3.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm.

4.如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于点D.
(1)如果BD=10cm，那么AD=___cm,△ABD的周长是_____cm.
(2)如果△BCD的周长是26cm,那么BC= _______cm.
(3)如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.

学生逐一解决问题，回答老师的问题。

说根据。

说根据。

找一学生说思路。
定理的两个条件：“垂直”、“平分”，缺一不可。

已知给出线段的垂直平分线条件，解题时除了想到垂直平分线的定义，还要想到可能应用性质解题。
线段垂直平分线判定定理的探究过程
同学们，刚才我们学到“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，反过来，在平面内，满足与一条线段两个端点距离相等的点，在不在这条线段的垂直平分线上？请看大屏幕。
如图，线段AB，点P是平面内一点,PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
请你用一句简洁的话语归纳刚刚得到的结论。
归纳得到：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
这个命题是真命题吗？下面我们来证明一下。
教师画出图形，让学生说出命题的一已知和求证。教师补充。
如何来证明点在某条线上呢？类比角平分线的判定定理的证明过程，应该先画出这条直线，但这里只有一个点P,过一点有无数条直线，如何来确定这条直线呢？请同学们结合垂直平分线的内涵即
满足垂直和平分两个条件的直线，来进行讨论。
讨论完毕，让学生说辅助线的作法，证明过程，教师板演。
教师补充，特别的，但点P在线段AB上，且满足PA=PB时，点P是线段AB的中点，所以此时，点P一定在线段AB的垂直平分线上。
作辅助线还有别的方法吗？
（引导学生得出这里共3种辅助线作法，分别是过点P做线段AB的垂线、取线段AB的中点O,过点O和点P作直线OP、做∠APB的平分线。）
这样，经过证明，这个命题是真命题，我们不妨（没学过逆定理）把它叫做线段垂直平分线的判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
定理的符号表示：
∵PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上(与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
这个定理是证明点在某条直线上的方法之一。
学生思考问题，然后回答。

学生尝试用语言概括结论。

说出定理的已知和求证。

讨论辅助线的做法和证明过程。

学生尽可能想到多种做辅助线的方法。

学生说出定理的符号表示，进一步理解定理，为更好应用定理做准备。

提出问题，引出线段垂直平分线的判定定理，让学生体会两个定理的“互逆”关系。

培养学生的口语表达能力。

拓展学生的推理证明意识和能力；

引导学生如何画出辅助线进行证明。

掌握线段的垂直平分线的判定定理的证明

引导学生多种方法做辅助线，进行证明。

让学生进一步理解定理，为更好应用定理做准备。

巩固理解判定定理
练习
判断
（1）若PA=PB，则点P必在线段AB的垂直平分线上。（ ）
（2）若PA=PB，则过点P的直线一定是线段AB的垂直平分线。（ ）

说明仅有一点满足到线段两端点距离相等，并不能确定这条线段的垂直平分线，要想确定线段的垂直平分线需要满足到线段两端点距离相等的两个点。
学生思考，回答问题。
加深学生对判定定理的理解。
例题讲解
例题：如图，AB＝AD，BC＝DC，E 是 AC 上的一点．
求证：BE＝DE.
思路导引：先证 AC 是 BD 的垂直平分线，再根据线段
的垂直平分线的性质得到 BE＝DE.
【易错警示】要证明一条直线是线段的垂直平分
线，必须要证明直线上有两点在垂直平分线上。

分析问题，尝试解决。

在老师的引导下，完成证明过程。
综合应用线段垂直平分线的性质和判定证明。进一步感受两个定理的“互逆”关系。
线段垂直平分线的集合定义

性质定理：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。
判定定理：
与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。
随着老师的讲解，思考，理解
给学生了解集合的观点
对比角平分线和线段的垂直平分线

角的平分线
线段垂直平分线
图 形

性质

角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
判定

角的内部到角的两边的距离
相等的点，在这个角的平分
线上。
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
集合观

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合。

点的集合是一条射线
点的集合是一条直线

说出每一个定理和定义，进一步理解两个定理

注意角平分线和线段垂直平分线的性质与判定的异同。

进一步对比角平分线和线段的垂直平分线，让学生加深的本节课两个定理的理解。

呼应本节课开始提出的用类比的方法学习本节课。
课堂小结
这节课，你有什么收获？
先让学生回答，教师补充。
一个方法：证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。
两条定理：
性质定理：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
判定定理：
与线段两个端点距离相等点，在这条线段的垂直平分线上。
回答本节课的收获，总结本节课的知识与方法。
总结本节课的知识与方法，建立知识体系。
课堂检测
（一）判断题：
1、与线段两端点距离相等的点只有线段的中点。( )
2、若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB.（ ）
3、若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB.（ ）
4、若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点。（ ）
5、若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．（ ）
（二）选择题：
1．三角形纸片上有一点 P，量得 PA ＝3cm，PB＝3cm，则点 P 一定( )
A．是边 AB 的中点
B．在 AB 的中线上
C．在边 AB 的高上
D．在边 AB 的垂直平分线上
2．若点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，则 PA 与 PB 的关系为( )
A．PA >PB
B．PA ＝PB
C．PA <PB
D．以上都有可能
（三）填空题：
1、如图，在△ABC中,PM,QN分别垂直平分AB,AC，若BC=10cm，则△APQ的周长=_____cm;

2、如图，在△ABC中，BC=8,AB的垂直平分线交BC于E,AC的垂直平分线交BC于D,且DE=3,则△ADE的周长是_____

学生完成。
检测、巩固本节课学到的知识。
布置作业
1. 如图，AB=AC,MB=MC,求证： 直线AM是线段BC的垂直平分线。

2. MN是AB的垂直平分线，EF是BC垂直平分线。PA与PC是否相等，为什么？

学生课后完成。
巩固本节课学到的两个定理，并加强对解题过程的练习。

【板书设计】
12.1轴对称（2）
----线段的垂直平分线
一、 性质定理
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

二、 判定定理：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

性质定理的证明过程。

判定定理的证明过程。

三、 应用
例题：
证明：∵AB＝AD，
∴点 A 在线段 BD 的垂直平分线上．
又∵BC＝DC，
∴点 C 也在线段 BD 的垂直平分线上．
∴AC 是线段 BD 的垂直平分线．
又∵点 E 在 AC 上，∴BE＝DE.
【课后反思】这节课相对成功的地方或者说达到我的预设的有：
1.从整体上来说，脉络还算清晰，板书比较规矩，同学们对垂直平分线的性质定理及其逆定理基本掌握。
2.引入比较自然，同时渗透类比的数学思想。在测量完成后，我试着让学生用类比的方法提出一个命题，学生马上就能提出“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。”来。学习在一定程度上来说就是“模仿”，所以让学生模拟以前学习的性质和判定提出一个命题，这对学生以后的学习有一定的启发。
3.练习、例题的处理也比较适合这个班的学生，然后逐渐“变式”，达到一个比较高的难度，学生就很容易接受。