八年级数学 分类讨论思想在一元二次方程中的运用.doc

八年级数学 分类讨论思想在一元二次方程中的运用
在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。
例1 已知方程有实数根，求的取值范围。
分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。
解：⑴当，即时，方程为一元一次方程，有实数根。
⑵当，即时，方程为二次方程，由有实根的条件得，
，。所以，且。
综合⑴、⑵，得。
评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种⑴前置式，即“二次方程”；⑵后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。
例2 当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数。
解：由于给出的关于的方程是一元二次方程，二次项系数不为零，即。又由于方程均有实根，
，解得。
又，解得。
。又m是整数，且，或1.
当时，方程为，
解得方程的根为，它的根不是整数，故舍去。
当时，方程的根为，
方程根为，，均为整数，。
评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。
例3 已知关于的方程：。
⑴求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
⑵若这个方程的两个实数根、满足，求的值及相应的、。
解：⑴，不论取值，总有，，即，方程总有两个相异的实根。
⑵，，或，。
①若，，则，。。
此时，，。
②若，，则，。。此时，，。
评注：本例是根据方程的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。
例4 若实数、满足，。求的值。
解：由方程根的定义，知、是方程的两个根，，，。事实上，题设中的与是可以相等的，当时，原式=2。
综上所述：当时，原式=；当时，原式=2。
评注：本例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：⑴明确讨论的对象。⑵进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行，②分类应当没有遗漏，③分类应是没有重复的。⑶逐类讨论，分级进行。⑷归纳并作出结论。