八年级数学下：2.2一元二次方程的解法教案浙教版.doc

2.2一元二次方程的解法（一）
【教学目标】
◆1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.
◆2. 会用开平方法解一元二次方程.
◆3. 理解配方法.
◆4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
【教学重点与难点】
◆教学重点：开平方法.
◆教学难点：配方法有一个比较复杂的过程，无论从理解和运用上，对学生来说都有一定的难度.
【教学手段】
用多媒体powerpoint和黑板的形式。
【教学过程】
(一)引入新课
问题1： 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时，遇到高山，需要开掘隧道，为了预计这座山隧道的长度，工程人员测量了山的高度约AB=3千米，坡面的长度约AC=5千米。请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米？
从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程，体现方程与几何图形性质的应用，对一元二次方程概念的理解、方程根的检验等起着复习巩固的作用。
（二）由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根。
如果把 变形为 ，进而可以理解为x是16的平方根，引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行，再得出开平方法的概念。
通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征：1、它适合于什么样的方程？(左边是一个关于x的完全平方，右边为一个非负常数即 )。2：用什么样的方法来解？(方程的两边直接开平方的方法)
然后通过一系列、连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程，既突出本节课的重点，又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程。
例1、
(1 )

(2)

(3)

(4)

通过第4个例题的讲解学生已经了解到，如果左边不是一个直接的完全平方，那么通过观察、变形，把它配成完全平方，就可以用开平方法来解一元二次方程。
（三）、问题2：
把方程变形：左边是一个含有x的式子的完全平方，而右边是一个非负数。
1：先移项：含有未知数的项移到左边，含有常数的项移到右边。
2：方程两边同加上一个合适的数。
3：左边是一个完全平方，右边是一个非负常数。
4：最后用开平方法来解
即可引出配方法的概念。像这样，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
然后让学生回答：用配方法解一元二次方程关键在哪里？(就是如何在方程左、右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方。)
为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数，可以通过专门的3个练习来得出。即突破本节课的难点。
(1)

(2)

(3)

最后让学生得出结论：1：加上一次项系数一半的平方；
2：前提条件：二次项系数为1
例2、
(1)

(2)

再次总结：形如　　　　　　　　　　（二次项系数为1时），可以用配方法来解一元二次方程。
具体的步骤有：
第一：移项。
第二：等式两边同加上一次项系数一半的平方。

第三：再用开平方法来解方程。
（四）提出挑战题：当二次项系数不是1时，怎么办？为下节课的教学打下了基础。
例3、

一、 课堂小结
让学生回答1：用开平方法、配方法解一元二次方程的概念。2：用这两种方法解方程时，方程的特点。3：用这两种方法解方程时的步骤。4：让学生回答在解方程过程中应注意的事项。
六、布置作业。
2.2一元二次方程和解法（二）
【教学目标】
◆1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.
◆2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.
【教学重点与难点】
◆教学重点：用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程.
◆教学难点：当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程.
【教学过程】
一.复习旧知
用适当的方法解下列方程： 1、（x-2）2=3
2、 x2+3x+1=0
请学生上来板演，老师点评归纳。
二.新课讲授
1.出示引例：用配方法解方程5x2=10x+1
提出问题：当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？
经学生讨论后，指定一名学生（中等程度）回答。
教师总结：对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，就转化为我们已经能解决的问题。即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。
2.讲解例题
例3：用配方法解下列一元二次方程
（1）2x2+4x-3=0
(2) 3x2-8x-3=0
评注（1）本例讲解可由上一课时的复习来引入，先给出方程x2+2x-1=0,让学生解答，并板书过程，同时解答方程3x2+6x-3=0,让学生作比较，学生容易发现，两个方程同解。再把6x改成4x,并提出问题：方程3x2+4x-3=0又应该如何解？从而把问题化归。
（2）本例中两个小题的解法是相通的，在讲解时，需要让学生明确配上去的值到底应该是多少，即解决的一半是多少这一问题，常用的解决方法是把该数乘以。
教师总结：1：用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时，一般步骤为：
（1）x2+px=-q(移）；
（2）x2+px+() 2=-q+() 2(配)；
（3）（x+）2= (化）；
（4）解得x=- (解)
2、当二次项系数不为1时，则在 “移”之前先要有个“除”，即两边同除以二次项系数，使二次项系数为1.
练习：用配方法解下列方程
1.2x2-7x+5=0
2.-3n=1
3.x2-x-=0
练习：
一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米。这个牧场的周长是多少米？
三：小结
1. 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程。
2. 本课时的难点是对二次项系数的处理。
四：布置作业
课本”“作业本”及习题精选中对应的练习。
2.2一元二次方程的解法（三）
【教学目标】
◆知识教学点：理解一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
◆能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
2．培养学生快速而准确的计算能力.
◆德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．
2．让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
【教学重点与难点】
◆教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.
◆教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.
【教学过程】
（一）复习引入
1．用配方法解下列方程．
（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．
（通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．）
2．用配方法解关于x的方程 x2＋2px＋q＝0．
解：移项，得x2＋2px＝-q
配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2
即（x+p）2＝p2-q．

（教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．）3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．
解：因为a≠0，所以方程的两边同除以a，

∵ a≠0， ∴4a2＞0 当b2－4ac≥0时．

从上面的结论可以发现：
（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入上式中，可求得方程的两个根．

的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
（二）师生互动，应用新知
互动1
师：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式中，要求b2-4ac≥0，那么b2-4ac<0时会怎样呢？
生：当b2-4ac<0时，没有意义，此时一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数解．
明确: b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b2-4ac<0时，此方程无解，也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．
互动2.
例1 用公式法解一元二次方程：x2－3x＋2＝0
解：∵  a＝1，b＝-3，c＝2．
又∵  b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，

∴  x1=2，x2=1．
在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算．引导学生总结步骤 1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．

例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝

例3用公式法解一元二次方程：
（1）X（x-1）=（X-2）2； （2） x2+x＋1＝0
其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b2－4ac＜0,方程无实数根.

明确：运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解．
练习：P．35课内练习1。熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．
互动3
请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．
明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x-a）2=b（b≥0）时，可用直接开平方法；（2）当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．
练习：P．35课内练习2。合理选择解法．

(三)达标反馈,深化新知
（1）用公式法解方程4x2+12x+3=0，得到 （A）
A．x= B．x= C．x= D．x=
（2）关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根，则k的取值范围是
（3）不解方程，你能说出下列方程解的个数吗：
x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0，

（四）总结及布置作业
引导学生从以下几个方面总结：

≥0）．
（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．
2.求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解．渗透一种分类的思想．