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1．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E=　 　°；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．

2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=　 　°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

3．已知，在△ABC中，∠A=∠C，点F和E分别为射线CA和射线BC上一点，连接BF和FE，且∠BFE=∠FEB．
（1）如图1，当点F在线段AC上时，若∠FBE=2∠ABF，则∠EFC与∠FBE的数量关系为　 　．
（2）如图2，当点F在CA延长线上时，探究∠EFC与∠FBA的数量关系，并说明理由．
（3）如图3在（2）的条件下，过C作CH⊥AB于点H，CN平分∠BCH，CN交AB于N，由N作NM⊥NC交CF于M，若∠BFE=5∠FBA，MN∥FB时，求∠ABC的度数．

4．（Ⅰ）（1）问题引入
如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=　 　（用α表示）；
（2）拓展研究
如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数　 　（用α表示）
（3）归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=　 　（用α表示）．
（Ⅱ）类比探索
（1）特例思考
如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示）．
（2）一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=　 　（用α表示）．

5．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；
（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出　 　．
（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系　 　．

6．已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线，BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线，如图①；BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线（即∠A3BC=∠A1BC，∠A3CB=∠A1CB），如图②；依此画图，BAn、CAn分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线（即∠AnBC=∠A1BC，∠AnCB=∠A1CB），n≥2，且n为整数．
（1）若∠A1=70°，求∠A2的度数；
（2）设∠A1=α，请用α和n的代数式表示∠An的大小，并写出表示的过程；
（3）当n≥3时，请直接写出∠MBAn+∠NCAn与∠An的数量关系．

7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．
求证：∠DAE=（∠ABC﹣∠C）．

8．如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠CAB和∠CBA，相交于点D．
（1）如图1，过点D作DE∥AC，DF∥BC分别交AB于点E、F．
①若∠EDF=80°，则∠C=　 　；
②若∠EDF=x°，证明：∠ADB=（90+）°．
（2）如图2，若DE，BE分别平分∠ADB和∠ABD，且EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，若∠BFE的度数是整数，求∠BFE至少是多少度？
9．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α．
（1）当α=40°时，∠BPC=　 　°，∠BQC=　 　°；
（2）当α=　 　°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　 　．

10．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=　 　°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．

11．（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；
（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；
（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．

12．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点，点C为x轴上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E，直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上，射线FO平分∠GFH，过点H的直线MN交x轴于点M，满足∠MHF=∠GHN，过点H作HP⊥MN交x轴于点P，请探究∠MPH与∠G的数量关系，并写出简要证明思路．

13．在△ABC中，点D为△ABC的三条内角平分线的交点，BE⊥AD于点E，

（1）当∠BAC=80°，∠ACB=60°时，∠BDC=　 　．∠DBE=　 　．
（2）当∠BAC=α，∠ACB=β时，用含有α的代数式表示∠BDC的度数，用含有β的代数式表示∠DBE的度数．
（3）如图2，若AD平分∠BAC，CD和BD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BE⊥AD于点E，（2）中的两个结论是否发生变化？
14．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=60°
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数；
（3）如图③，若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”，其他条件不变，∠DAE的大小是否变化，并请说明理由．

15．如图，AF平分∠BAC，DF平分∠BDC，求证：∠AFD=（∠H+∠BGC）．

16．如图，已知CD是△ABC的角平分线，E是BC上的点，∠B=60°，∠ACE=∠CAE=20°．求∠CDE的度数．

17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，CE与BD交于F，连接AF并延长交BC于H，过F作FG⊥BC于G．
（1）若∠ABC=45°，∠ACB=65°，求∠HFG的度数；
（2）根据（1）中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；
（3）试探究∠BFH与∠CFG的大小关系，并说明理由．

18．如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．
（1）求∠BDC的度数；
（2）在图1中，过点D作DE⊥BD，垂足为点D，过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F（如图2），求证：BF是∠ABC的平分线．

19．老师给了小胖同学这样一个问题：
如图1，△ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D是BC延长线上一点，2∠D=∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BED
小胖通过探究发现，过点C作CM∥AD（如图2），交BE于点M，将∠BED转移至∠BMC处，结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线，在△ABC中求出∠BMC，从而得出∠BED．
（1）请按照小胖的分析，完成此题的解答：
（2）参考小胖同学思考问题的方法，解决下面问题：
如图3，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A=m°，求∠G的度数（用含m的式子表示）
20．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；
（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．
①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；
②若∠BAC=70°，求∠F的度数．

21．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．
（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．
①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为　 　；
②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；
（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为　 　．

22．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．

（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF=130°，求∠BAD的度数；
（2）如图2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．
23．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O，A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动．
（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由．

24．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D．我们可以得到一个一般性的结论∠BDC=90°+∠A．请应用这一结论，解决下面的问题．
（1）如图2，过点D任意作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，求∠MDB+∠NDC的度数（用含∠A的代数式表示）．
（2）如图3，当过点D直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由．
（3）如图4，当过点D直线MN与AB的交点在线段AB的延长线上，而与AC的交点在线段AC上时，（2）问中∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．

25．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F=35°，求∠BAC的度数．

一．解答题（共25小题）
1．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E=　45　°；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．

【解答】解：（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠CAF=∠DAC，∠ACE=∠ACB，
设∠CAF=x，∠ACE=y，
∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
∴2y+180﹣2x=90，
x﹣y=45，
∵∠CAF=∠E+∠ACE，
∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，
故答案为：45；
（2）①如图2所示，
②如图2，∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=y，
∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF=∠F+y ①，
同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，
∴45°+2∠EAF=90°+y，
∴∠EAF=②，
把②代入①得：45°+=∠F+y，
∴∠F=67.5°，
即∠AFC=67.5°；
（3）如图3，设∠FAH=α，
∵AF平分∠EAB，
∴∠FAH=∠EAF=α，
∵∠AFM=∠AFC=×67.5°=22.5°，
∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，
∴45+α=67.4+∠FCH，
∴∠FCH=α﹣22.5①，
∵∠AHN=∠AHC=（∠B+∠BCH）=（90+2∠FCH）=30+∠FCH，
∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，
∴α+22.5=30+∠FCH+∠FPH，②
把①代入②得：∠FPH=，
∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，
α﹣22.5=mα+n，
解得：m=2，n=﹣3．

2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=　90　°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=×90°=45°，
∴∠AEB=135°；

（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAO=∠BAO，∠FAO=∠GAO，
∴∠EAF=（∠BAO+∠GAO）=×180°=90°．
故答案为：90；
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO，
即∠ABO=2∠E，
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，则∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍去）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）．
∴∠ABO为60°或45°．

3．已知，在△ABC中，∠A=∠C，点F和E分别为射线CA和射线BC上一点，连接BF和FE，且∠BFE=∠FEB．
（1）如图1，当点F在线段AC上时，若∠FBE=2∠ABF，则∠EFC与∠FBE的数量关系为　∠ABF=2∠EFC　．
（2）如图2，当点F在CA延长线上时，探究∠EFC与∠FBA的数量关系，并说明理由．
（3）如图3在（2）的条件下，过C作CH⊥AB于点H，CN平分∠BCH，CN交AB于N，由N作NM⊥NC交CF于M，若∠BFE=5∠FBA，MN∥FB时，求∠ABC的度数．

【解答】解：（1）如图1中，设∠EFC=z，∠ABF=x，∠A=∠C=y，

∵BE=BF，
∵∠BEF=∠BFE，∠BEF=y+z，
∴∠BFE=y+z，
∵∠BFC=∠A+∠ABF，
∴y+z+z=x+y，
∴x=2z，
∴∠ABF=2∠EFC．
故答案为∠ABF=2∠EFC．

（2）结论：∠ABF=2∠EFC．
理由；如图2中，

设∠EFC=z，∠ABF=x，∠BAC=∠BCA=y，
∵∠BAC=∠ABF+∠BFA，∠ACB=∠EFC+∠E，
∴∠BFA=y﹣x，∠E=y﹣z，
∵∠E=∠BFE，
∴y﹣x+z=y﹣z，
∴x=2z，
∴∠ABF=2∠EFC．

（3）如图3中，

设∠EFC=x，则∠ABF=2x，
∵∠BFE=5∠ABF，
∴∠E=∠BFE=10x，
∵MN∥BF，
∴∠MNA=∠ABF=2x，
∵∠ANM+∠ANC=90°，∠ANC+∠NCH=90°，
∴∠HCN=∠ANM=∠BCN=2x，
∴∠BCH=4x，∠CBH=90°﹣4x，
在△BEF中，∵∠EBF+∠E+∠BFE=180°，
∴2x+90°﹣4x+10x+10x=180°，
∴x=5，
∴∠ABC=90°﹣4x=70°．

4．（Ⅰ）（1）问题引入
如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=　90°+∠α　（用α表示）；
（2）拓展研究
如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数　120°+∠α　（用α表示）
（3）归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=　　（用α表示）．
（Ⅱ）类比探索
（1）特例思考
如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示）．
（2）一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=　　（用α表示）．

【解答】解：（Ⅰ）（1）如图①，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，而∠A=α，
∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=180°﹣（180°﹣∠α）
=180°﹣90°+∠α
=90°+∠α，
故答案为：90°+∠α；

（2）如图②，∵∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，
∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=180°﹣（180°﹣∠α）
=180°﹣60°+∠α
=120°+∠α，
故答案为：120°+∠α；

（3）∵∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，
∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=180°﹣（180°﹣∠α）
=180°﹣×180°+∠α
=，
故答案为：；

（Ⅱ）（1）如图③，∵∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，
∴∠BOC=180°﹣（∠DBC+∠ECB）
=180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]
=180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]
=180°﹣（180°+∠α）
=180°﹣60°﹣∠α
=120°﹣∠α；

（2）∵∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，
∴∠BOC=180°﹣（∠DBC+∠ECB）
=180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]
=180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]
=180°﹣（180°+∠α）
=，
故答案为：．

5．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；
（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出　2∠A=∠1﹣∠2　．
（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系　2（∠A'+∠D'）=∠1+∠2+360°　．

【解答】解：（1）如图，根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180﹣∠2），
∵∠A+∠3+∠4=180°，
∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）=180°，
整理得，2∠A=∠1+∠2；

（2）根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180+∠2），
∵∠A+∠3+∠4=180°，
∴∠A+（180﹣∠1）+（180+∠2）=180°，
整理得，2∠A=∠1﹣∠2；

（3）根据翻折的性质，∠3=（180﹣∠1），∠4=（180﹣∠2），
∵∠A+∠D+∠3+∠4=360°，
∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）=360°，
整理得，2（∠A+∠D）=∠1+∠2+360°，
即2（∠A'+∠D'）=∠1+∠2+360°．

6．已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线，BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线，如图①；BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线（即∠A3BC=∠A1BC，∠A3CB=∠A1CB），如图②；依此画图，BAn、CAn分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线（即∠AnBC=∠A1BC，∠AnCB=∠A1CB），n≥2，且n为整数．
（1）若∠A1=70°，求∠A2的度数；
（2）设∠A1=α，请用α和n的代数式表示∠An的大小，并写出表示的过程；
（3）当n≥3时，请直接写出∠MBAn+∠NCAn与∠An的数量关系．

【解答】解：（1）∵∠A1=70°，
∴∠A1BC+∠A1CB=180°﹣70°=110°，
∵BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线，
∴∠A2BC+∠A2CB=×110°=55°，
∴∠A2=180°﹣55°=125°．

（2）在△A1BC中，∠A1BC+∠A1CB=180°﹣α，
∵∠AnBC=∠A1BC，∠AnCB=∠A1CB，
∴∠AnBC+∠AnCB=（∠A1BC+∠A1CB）=（180°﹣α），
∴∠An=180°﹣（∠AnBC+∠AnCB）=180°﹣（180°﹣α）；

（3）2（∠MBAn+∠NCAn）+（n﹣2）∠An=180°n．
理由：如图②，∵BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线，
∴∠MBE=∠A1BE=（180°﹣∠A1BC），
∠NCF=∠A1CF=（180°﹣∠A1CB），
∴∠MBAn+∠NCAn=360°﹣（∠MBE+∠NCF）﹣（∠AnBC+∠AnCB）
=360°﹣（180°﹣∠A1BC）﹣（180°﹣∠A1CB）﹣（180°﹣∠An）
=（∠A1BC+∠A1CB）+∠An
=（180°﹣∠A1）+∠An
由（2）可得，∠An=180°﹣（180°﹣∠A1），
∴∠A1=n∠An﹣180°n+180°，
∴∠MBAn+∠NCAn=（180°﹣n∠An+180°n﹣180°）+∠An
=90°n﹣∠An
∴2（∠MBAn+∠NCAn）+（n﹣2）∠An=180°n．

7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．
求证：∠DAE=（∠ABC﹣∠C）．

【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠D=90°，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠DAB=∠ABC﹣∠D=∠ABC﹣90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC，
在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C，
∴∠BAE=90°﹣∠ABC﹣∠C，
∵∠DAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠DAE=∠ABC﹣90°+90°﹣∠ABC﹣∠C=∠ABC﹣∠C，
即：∠DAE=（∠ABC﹣∠C）．

8．如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠CAB和∠CBA，相交于点D．
（1）如图1，过点D作DE∥AC，DF∥BC分别交AB于点E、F．
①若∠EDF=80°，则∠C=　80°　；
②若∠EDF=x°，证明：∠ADB=（90+）°．
（2）如图2，若DE，BE分别平分∠ADB和∠ABD，且EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，若∠BFE的度数是整数，求∠BFE至少是多少度？
【解答】解：（1）∵∠EDF=80°，
∴∠DEF+∠EDF=180°﹣80°=100°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，
同理得：∠EFD=∠ABC，
∴∠ABC+∠BAC=∠DEF+∠EDF=100°，
∴∠C=80°
故答案为：80°；
②∵∠EDF=x°，
∴∠DEF+∠EFD=180°﹣x°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴∠DEF=2∠BAD，
同理得：∠EFD=2∠ABD，
∴∠BAD+∠ABD=，
∴∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣=90°+=（90+）°；
（2）∵∠BED+∠EBD=180°﹣∠BDE，
∵EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，
∴∠BEF=∠BED，∠EBF=∠EBD，
∴∠BEF+∠EBF=（∠BED+∠EBD）=（180°﹣∠BDE），
∴（180°﹣∠BDE）=180°﹣∠BFE，
∠BFE=90°+∠BDE①，
同理得：∠ADB=90°+∠C，
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE=∠ADB=45°+∠C②，
把②代入①得：∠BFE=90°+∠BDE=90°+（45°+∠C），
=112.5°+，
∵∠BFE的度数是整数，
当∠C=4°时，∠BFE=113°．
答：∠BFE至少是113度．

9．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α．
（1）当α=40°时，∠BPC=　70　°，∠BQC=　125　°；
（2）当α=　60　°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°　．

【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，
∴∠BPC=180°﹣110°=70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB=55°，
∴∠BQC=180°﹣55°=125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB=180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α，
∴（∠DBC+∠BCE）=180°，
即（180°+α）=180°，
解得α=60°；
（3）∵α=120°，
∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，
∴∠BOC=225°﹣180°=45°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC=90°﹣α、
∠BQC=135°﹣α、
∠BOC=α﹣45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）=180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．

10．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=　140　°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．

【解答】解：（1）如图，连接PC，
由三角形的外角性质，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
故答案为：140°；

（2）连接PC，
由三角形的外角性质，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1=90°+∠α；
如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；
如图3，∠2=∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

11．（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；
（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；
（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=（∠D+∠B），
∵∠ADC=40°，∠ABC=30°，
∴∠AEC=×（40°+30°）=35°；

（2）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=（∠D+∠B），
∵∠ADC=m°，∠ABC=n°，
∴∠AEC=；

（3）延长BC交AD于点F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB﹣∠ECB=∠B+∠BAE﹣∠BCD=∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）=（∠B﹣∠D），
即∠AEC=．

12．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点，点C为x轴上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E，直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上，射线FO平分∠GFH，过点H的直线MN交x轴于点M，满足∠MHF=∠GHN，过点H作HP⊥MN交x轴于点P，请探究∠MPH与∠G的数量关系，并写出简要证明思路．

【解答】解：（1）分三种情况：

①如图①，当点C在x轴负半轴上时，由题意可知：∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∵BE、CE分别平分∠OBC与∠ACB，
∴∠2∠1+2∠3=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠BEC=135°，
即当点C在x轴负半轴上时，∠BEC=135°；
②如图②所示，当点C在OA的延长线上时，
与情况（1）同法可得：∠BEC=135°；
③如图③所示，当点C在线段OA上（且与点O，A不重合）时，
∵∠1+∠2=∠3+∠4+90°，
∴2∠1=2∠4+90°，
∴∠1=∠4+45°，
∠1﹣∠4=45°，即∠BEC=45°，
故当点C在线段OA上（且与点O，A不重合）时，∠BEC=45°；

（2）∠MPH与∠G的数量关系为：∠MPH=∠G．
如图2，∵∠MHF=∠GHN，HP⊥MN，
∴∠FHE=∠GHE，即EH平分∠GHF，
又∵FE平分∠GFH，
∴△FEH中，
∠FEF=180°﹣∠EHF﹣∠EFH
=180°﹣（∠GHF﹣∠GFH）
=180°﹣（180°﹣∠G）
=90°+∠G，
∵∠FEH是△EOP的外角，
∴∠FEH=∠EOP+∠MPH=90°+∠MPH，
∴90°+∠G=90°+∠MPH，
即∠MPH=∠G．

13．在△ABC中，点D为△ABC的三条内角平分线的交点，BE⊥AD于点E，

（1）当∠BAC=80°，∠ACB=60°时，∠BDC=　130°　．∠DBE=　30°　．
（2）当∠BAC=α，∠ACB=β时，用含有α的代数式表示∠BDC的度数，用含有β的代数式表示∠DBE的度数．
（3）如图2，若AD平分∠BAC，CD和BD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BE⊥AD于点E，（2）中的两个结论是否发生变化？
【解答】解：（1）∵∠BAC=80°，∠ACB=60°，
∴∠ABC=40°，
∵点D为△ABC的三条内角平分线的交点，
∴∠ABD=20°，∠BAD=∠CAD=40°，∠ACD=30°，
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE
=（∠ABD+∠BAD）+（∠ACD+∠CAD）
=（20°+40°）+（30°+40°）
=130°，
∵∠BDE=60°，BE⊥AD，
∴∠DBE=90°﹣60°=30°；
故答案为：130°，30°；

（2）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α