一维六方准晶双材料界面共线裂纹的反平面问题.pdf

第 卷 第期宁夏大学学报(自然科学版)年月V o l N o J o u r n a l o fN i n g x i aU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u n 文章编号:()一维六方准晶双材料界面共线裂纹的反平面问题赵雪芬,马园园(宁夏大学 新华学院,宁夏 银川 ;宁夏大学 数学统计学院,宁夏 银川 )摘要:基于复变函数理论,利用S c h w a r z解析延拓原理,研究一维六方准晶双材料界面共线裂纹的反平面问题,获得了几个典型问题及相应应力强度因子的封闭解结果表明,当趋于裂纹尖端路径选在双材料界面上时,双材料界面裂纹应力强度因子大小与材料参数无关,仅与裂纹尺寸及裂纹所受外载荷大小有关且成正比,即应力强度因子随着裂纹尺寸和外载荷的增大而增大关键词:一维六方准晶双材料;界面共线裂纹;解析延拓;应力强度因子分类号:(中图)O 文献标志码:A收稿日期:基金项目:宁夏大学新华学院科学研究项目(XHKY )作者简介:赵雪芬(),女,副教授,博士,主要从事准晶材料的接触和断裂问题研究,(电子信箱)s n o w n f e n c o m“双材料”是由两种不同性质的材料利用某种结合方法连接在一起的材料,其结合部分称为界面双材料界面往往会出现裂纹、孔洞、夹杂等缺陷,这些缺陷是降低结构强度和破坏材料结构的主要因素双材料广泛的应用前景,使得界面断裂问题成为当前断裂力学的研究热点 F a b r i k a n t从控制方程的推导、形式和数量,弹性常数的最佳选择等多方面考虑,给出了各向同性双材料界面裂纹问题的新解法 S u o讨论了各向异性双材料中共线界面裂纹的奇异性,给出了界面裂纹尖端奇异性的数学结构利用积分方程方法,P e t r o v a研究了双材料在热载荷(尤其是热源)作用下内部缺陷与界面裂纹之间的相互作用G o v o r u k h a在裂纹表面导电和电绝缘两种不同条件下,讨论了压电双材料界面裂纹的平面应变问题 L i给出了冲击载荷作用下功能梯度层合板中圆柱形界面裂纹动态应力强度因子的表达式准晶是 年发现的一种不同于晶体和非晶体的新型材料准晶在室温下呈脆性,这极大限制了准晶作为结构材料的使用然而,准晶双材料的优良性能使其在生产以及生活中的应用日趋广泛,在新型工业领域具有广阔的应用前景因此,准晶双材料界面问题及其缺陷问题得到了研究人员的关注欧阳成利用傅里叶积分变化和逐段定积分变换方法研究了一维六方准晶双材料运动界面裂纹问题H u等通过把复杂的边值问题转化为R i e mm a n H i l b e r t边值问题,求解了一维六方压电准晶双材料界面裂纹在反平面剪切和电载荷作用下的断裂问题 F a n等 利用S t r o h公式得到了一维六方准晶双材料界面上声子场位错、相位子场位错和开口位移的格林函数基于等几何分析单元方法,Y a n g等 探讨了一维六方准晶双材料中V形裂纹(缺口)问题查阅文献发现,含界面缺陷(压电)准晶双材料的断裂问题的研究还很少本文利用复变函数理论,将各向异性双材料中界面共线裂纹的求解方法推广到一维六方准晶双材料界面共线裂纹问题中,拓展了界面断裂力学的应用范围,为准晶双材料的应用提供理论依据 问题描述及基本公式取z轴为一维六方准晶准周期方向,x o y面为其周期平面,建立直角坐标系,见图由两种不同材质的一维六方准晶材料组成无限大一维六方准晶双材料,记材料所占的上半平面为S,材料所占的下半平面为SS和S中的量分别用上标和标记在一维六方准晶双材料界面上,沿实轴分布若干条共线裂纹在实轴上,记zt裂纹所占区间为LLLLn,第j条裂纹的端点记为aj,bj一维六方准晶双材料界面完全宁夏大学学报(自然科学版)第 卷粘结部分记为L 上、下裂纹面分别作用反平面剪切力p和q(声子场受到的反平面剪应力记为p和p,相位子场 受到的反平 面剪 应 力 记 为q和q)无穷远处声子场和相位子场的反平面剪应力分别 记 为y z,y z和Hy z,Hy z(y zy zy z,Hy zHy zHy z)此时,一维六方准晶双材料界面上下式成立:y z(t)y z(t),Hy z(t)Hy z(t),u z(t)u z(t),w z(t)w z(t),tL,()y z(t)p,y z(t)p,Hy z(t)q,Hy z(t)q,tL()这里uz,wz分别表示声子场和相位子场位移,y z,Hy z分别表示声子场和相位子场应力,且u z uz/x,w zwz/x,上标“”和“”表示从S和S趋于实轴的函数值由()式可得y z(t)y z(t)pp,Hy z(t)Hy z(t)qq,y z(t)y z(t)pp,Hy z(t)Hy z(t)qq,tL()xSSqpyz,Hyzyz,Hyzxz1 Hxz1xz2Hxz2iyajbj图共线界面裂纹受反平面剪切 裂 纹 面 上 声 子 场 和 相 位 子 场 位 移 单 值 条件为 uz(bj)uz(aj)uz(bj)uz(aj),wz(bj)wz(aj)wz(bj)wz(aj),j,n()由文献 可知,一维六方准晶双材料声子场uz k和相位子场位移wz k可表示为uz k R ek(z)k(z)k(z),wz k R ek(z)k(z)k(z),()其中:k,k(z),k(z)为上下半平面的任意解析函数,R e表示复变函数的实部此时,一维六方准晶双材料的应力分量可以分别表示为 z x kC kk(z)Rkk(z)C kk(z)Rkk(z),z y k iC kk(z)Rkk(z)C kk(z)Rkk(z),Hz x kRkk(z)Kkk(z)Rkk(z)Kkk(z),Hz y k iRk(z)Kkk(z)Rkk(z)Kkk(z),()其中:C k为声子场弹性常数,Kk为相位子场弹性常数,Rk为声子场相位子场耦合系数,且有k(z)k(z)kk(z),k(z)k(z)kk(z),()其中k(z),k(z)在无穷远处的值为k,k表示无穷远处反平面剪应力,即kz x kiz y k,kHz x kiHz y k利用S c h w a r z解析延拓原理,定义k(z)k(z)k(z),k(z)k(z)k(z),()(z)(C (z)R(z)(C (z)R(z),zS,(C (z)R(z)(C (z)R(z),zS()(z)(C (z)R(z)(C (z)R(z),zS,(C (z)R(z)(C (z)R(z),zS()(z)(R(z)K(z)(R(z)K(z),zS,(R(z)K(z)(R(z)K(z),zS()(z)(R(z)K(z)(R(z)K(z),zS,(R(z)K(z)(R(z)K(z),zS()考虑无穷远处应力状态,结合界面上的应力条件,可得(z)Lpptzdt,第期赵雪芬等:一维六方准晶双材料界面共线裂纹的反平面问题(z)X(z)LppX(t)dttzPn(z)X(z),(z)Lqqtzdt,(z)X(z)LqqX(t)dttzQn(z)X(z),其中X(z)nj(zaj)(zbj)在沿L割开的平面上取单值分支且l i mzznX(z),而Pn(z)cnzncn zn c,Qn(z)dnzndn zn d,其中:cn,dnPn(z),Qn(z)中剩下的n个常数可由位移单值条件确定,表示为j(z)dz,j(z)dz,式中:j为包围裂纹Lj顺时针方向闭围道,且(z)(z)(z),zS,(z)(z),zS()(z)(z)(z),zS,(z)(z),zS()几个典型问题的封闭解及应力强度因子如图 a所示,在无穷远均匀应力状态下(y z,y z,y z,Hy z,Hy z,Hy z),一维六方准晶双材料界面上仅 有 一 条 长 度 为a的 裂 纹,此 时X(z)za,ppp,qqq由()()式可得k(z)Kk(C kKkRk)()zzaRk(C kKkRk)()zza,()k(z)Rk(RkC kKk)()zzaC k(RkC kKk)()zza()如图 b,一维六方准晶双材料界面上有一条长度为a的裂纹,S内的裂纹面tt(ata)作用纵向集中剪切力P,无穷远处应力为 同理可得k(z)(zt)taza KkPRkP(C kKkRk),()k(z)(zt)taza RkPC kP(RkC kKk),()其中:P,P分别为裂纹面上作用纵向集中剪切力P时声子场和相位子场受到的剪切力类似地,可求出上、下裂纹面上作用一对反平面集中剪切力的解答(图 c)k(z)(zt)tazaKkPRkPC kKkRk,()k(z)(zt)tazaRkPC kPRkC kKk()对于图 d,上、下裂纹面作用反平面均布剪切力S的情形,由()()式积分得到k(z)zaKkSRkSC kKkRki(zza),()k(z)zaRkSC kSRkC kKki(zza),()其中:S,S分别为裂纹面上作用反平面均布剪切力S时声子场和相位子场受到的剪切力如图 e所示,一维六方准晶双材料界面上有两条等长裂纹,且裂纹受无穷远均匀应力作用,得到k(z)Kk(C kKkRk)()zbE(k)K(k)(za)(zb)Rk(C kKkRk)()zbE(k)K(k)(za)(zb),()k(z)Rk(RkC kKk)()zbE(k)K(k)(za)(zb)C k(RkC kKk)()zbE(k)K(k)(za)(zb),()其中:K(k),E(k)分别是第一类和第二类完全椭圆积分宁夏大学学报(自然科学版)第 卷a c d ae b xOaapiytxOPPaaiytxOSSaaiyOababyz,Hyzyz,Hyzxz1 Hxz1xz2Hxz2iyL1L2Oaaxyz,Hyzyz,Hyzxz1 Hxz1xz2Hxz2iy图不同界面裂纹模型把趋于裂纹尖端路径选在双材料界面上,可利用均匀材料应力强度因子定义给出一维六方准晶双材料裂纹尖端应力强度因子定义K I ml i mtata C kk(t)Rkk(t),KH I ml i mtata Kkk(t)Rkk(t),()其中K和KH分别表示声子场和相位子场应力强度因子()一条界面裂纹,任意位置受集中剪切力:K|xaa y z,KH|xaaHy z()当材料为弹性材料时,()式所得结果与文献 所得结果一致当材料和均为相同的准晶材料时,上式结论与文献 中G r i f f t i t h裂纹给出的结果完全吻合同时,该结果还与文献 中周期趋于无穷大时及文献 中给出的静态问题的结论一致由此,可以得出本文给出的声子场和相位子场结果的正确性()一条界面裂纹,裂纹面上受集中剪切力:K|xaP aatat,KH|xaP aatat()()一条界面裂纹,裂纹面上受一对集中剪力:K|xaPaatat,KH|xaPaatat()()一条界面裂纹,裂纹面上受反平面均布剪切力:K|xaSa,KH|xaSa()()两条界面裂纹,任意位置受集中剪切力:第期赵雪芬等:一维六方准晶双材料界面共线裂纹的反平面问题K|xay zabE(k)K(k)aba,KH|xaHy zabE(k)K(k)aba,()K|xby zbbE(k)K(k)ba,KH|xbHy zbbE(k)K(k)ba()由()()式可知,当趋于裂纹尖端路径选在双材料界面上时,双材料界面裂纹应力强度因子大小与材料参数无关,仅与裂纹尺寸及裂纹所受外载荷大小有关且成正比,即应力强度因子随着裂纹尺寸和外载荷的增大而增大当忽略相位子场作用时,一维六方准晶双材料可看成弹性双材料,此时本文给出的声子场结论与文献 相应结论一致当材料均为相同的准晶材料时,本文所得结果与文献 中给出的静态问题结果一致退化结果的正确性说明本文方法的正确性,同时也表明弹性界面断裂理论同样适用于求解准晶界面断裂问题结论针对一维六方准晶双材料界面共线裂纹的反平面问题,运用复变函数理论和S c h w a r z解析延拓原理,把问题转化为解析函数边值问题进行求解,得到了应力函数和应力强度因子的解析解本文所得结论可为准晶双材料的制备和优化设计提供一定的理论基础参考文献:F A B R I KAN T VI N e wa p p r o a c ht oi n t e r f a c ec r a c kp r o b l e m si n t r a n s v e r s e l y i s o t r o p i c m a t e r i a l sJZ e i t s c h r i f tf r a n g e w a n d t e M a t h e m a t i k u n d P h y s i kZ AMP,():S UOZ h i g a n g S i n g u l a r i t i e s,i n t e r f a c e sa n dc r a c k si nd i s s i m i l a ra n i s o t r o p i c m e d i aJP r o c e e d i n g so ft h eR o y a lS o c i e t yo fL o n d o n,S e r i e sA:M a t h e m a t i c a la n dP h y s i c a lS c i e n c e s,():P E T R OVA V E,HE R RMANN K P T h e r m a lc r a c kp r o b l e m s f o rab i m a t e r i a lw i t ha ni n t e r f a c ec r a c ka n di n t e r n a l d e f e c t ss u b j e c t e dt oah e a t s o u r c eJ I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fF r a c t u r e,():G OV O RUKHA V B,L O B O D A V VC o n t a c tz o n em o d e l s f o r a n i n t e r f a c e c r a c k i nap i e z o e l e c t r i cm a t e r i a lJA c t aM e c h a n i c a,():L IC h u n y u,WE NGG D y n a m i cs t r e s s i n t e n s i t yf a c t o ro f ac y l i n d r i c a l i n t e r f a c ec r a c kw i t ha f u n c t i o n a l l yg r a d e di n t e r l a y e rJM e c h a n i c s o f M a t e r i a l s,():S HE CHTMAN D,B L E CHI,G R A T I A SD,C AHNJW M e t a l l i cp h a s ew i t hl o n g r a n g eo r i e n t a t i o n a lo r d e ra n dn ot r a n s l a t i o n a ls y mm e t r yJ P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s,():邓辉球,赵立华,黄维清,等准晶薄膜与涂层的制备、性能和应用J功能材料,():欧阳成一维六方准晶双材料中运动裂纹问题的研究D长沙:湖南大学,HUK e q a n g,J I N H u i,YAN GZ h e n j u n,e ta l I n t e r f a c ec r a c k b e t w e e n d i s s i m i l a ro n e d i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq u a s i c r y s t a l sw i t hp i e z o e l e c t r i ce f f e c tJA c t a M e c h a n i c a,:F ANC u i y i n g,CHE NS h u a i,Z HAN GQ i a o y i n g,e t a l F u n d a m e n t a ls o l u t i o n sa n da n a l y s i so fa ni n t e r f a c i a lc r a c ki nao n e d i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq u a s i c r y s t a lb i m a t e r i a lJM a t h e m a t i c sa n dM e c h a n i c so fS o l i d s,():YANGZ h e n t i n g,YU X i o n g,T ON GZ h e n z h e n,e ta l An o v e l i s o g e o m e t r i ca n a l y s i se n r i c h e de l e m e n tf o raV n o t c h e do n e d i m e n s i o n a l h e x a g o n a l p i e z o e l e c t r i cq u a s i c r y s t a lb i m a t e r i a lJ T h e o r e t i c a la n dA p p l i e dF r a c t u r eM e c h a n i c s,():()MU S KHE L I S HV I L INI S o m eb a s i cp r o b l e m so fm a t h e m a t i c a l t h e o r yo f e l a s t i c i t yM B e r l i n:S p r i n g e rN e t h e r l a n d s,F AN T i a n y o u M a t h e m a t i c a lt h e o r yo fe l a s t i c i t yo fq u a s i c r y s t a l s a n d i t s a p p l i c a t i o n sM B e i j i n g:S c i e n c eP r e s s,S H IW e i c h e n,L IH u a n h u a n,G AOQ i n g h a i I n t e r f a c i a lc r a c k so fa n t i p l a n es l i d i n g m o d eb e t w e e nu s u a le l a s t i cm a t e r i a l a n dq u a s i c r y s t a lJ K e yE n g i n e e r i n gM a t e r i a l s ,:S H IW e i c h e n C o l l i n e a rp e r i o d i cc r a c k sa n d/o rr i g i dl i n e i n c l u s i o n so f a n t i p l a n e s l i d i n gm o d e i no n e d i m e n s i o n a l h e x a g o n a lq u a s i c r y s t a lJ A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,():TU P HO LMEGEA na n t i p l a n es h e a rc r a c km o v i n gi no n e d i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq u a s i c r y s t a l sJ I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fS o l i d sa n dS t r u c t u r e s,:蒋持平,刘又文两种各向异性材料界面共线裂纹的反平面问题J固体力学学报,():TU P HO LME G ER o wo fs h e a rc r a c k sm o v i n gi no n e d i m e n s i o n a l h e x a g o n a l q u a s i c r y s t a l l i n em a t e r i a l sJE n g i n e e r i n gF r a c t u r eM e c h a n i c s,:宁夏大学学报(自然科学版)第 卷A n t i p l a n eP r o b l e mo f I n t e r f a c eC o l l i n e a rC r a c k s i nO n e d i m e n s i o n a lH e x a g o n a lQ u a s i c r y s t a lB i m a t e r i a l sZ h a oX u e f e n,M aY u a n y u a n(X i n h u aC o l l e g e,N i n g x i aU n i v e r s i t y,Y i n c h u a n ,C h i n a;S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N i n g x i aU n i v e r s i t y,Y i n c h u a n ,C h i n a)A b s t r a c t:T h ea n t i p l a n ep r o b l e mo f i n t e r f a c ec o l l i n e a rc r a c k si no n e d i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq u a s i c r y s t a lb i o m a t e r i a l sw a ss t u d i e d b a s e d o nt h et h e o r y o fc o m p l e x v a r i a b l ef u n c t i o n a n d S c h w a r za n a l y t i c a lc o n t i n u a t i o np r i n c i p l e,a n dt h ec l o s e ds o l u t i o n so fs e v e r a lt y p i c a lp r o b l e m sa n dc o r r e s p o n d i n gs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sw e r eo b t a i n e d T h er e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h ep a t ht ot h ec r a c kt i pi ss e l e c t e do nt h eb i m a t e r i a l s i n t e r f a c e,t h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r so fb i m a t e r i a l si n t e r f a c ec r a c k sa r eo n l yr e l a t e dt ot h ec r a c k ss i z ea n dt h ee x t e r n a l l o a do nt h ec r a c k s,a n da r e i n d e p e n d e n to fm a t e r i a l p a r a m e t e r s I tm e a n s t h a tw i t ht h e i n c r e a s eo f c r a c ks i z ea n de x t e r n a l l o a d,t h es t r e s s i n t e n s i t yf a c t o ra r e i n c r e a s i n g K e yw o r d s:o n e d i m e n s i o n a l h e x a g o n a l q u a s i c r y s t a l b i o m a t e r i a l s;i n t e r f a c ec o l l i n e a r c r a c k s;a n a l y t i c a l c o n t i n u a t i o np r i n c i p l e;s t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r s(责任编辑张娣)(上接第 页)AN u m e r i c a lA l g o r i t h mf o rD y n a m i cP r o b l e mo fT i m o s h e n k oB e a mw i t hV a r i a b l eC r o s s s e c t i o nC h a n gT i n g t i n g,B a oS i y u a n(S c h o o l o fC i v i lE n g i n e e r i n g,S u z h o uU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,S u z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:T o i n v e s t i g a t e t h ee f f e c to fn o n u n i f o r m i t yc o e f f i c i e n to nt h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i co fb e a m,a na n a l y s i sm o d e lo ff r e ev i b r a t i o no fv a r i a b l ec r o s s s e c t i o nb e a m si sf o r m u l a t e db a s e do nt h eT h e o r yo fT i m o s h e n k oB e a m F i r s t l y,t h ed i s p l a c e m e n t f u n c t i o no fT i m o s h e n k ob e a mi s e x p r e s s e da s s u mo f a s i n g l eF o u r i e rs e r i e sa n da u x i l i a r yf u n c t i o n s,w h i c hc a n i m p r o v e t h ed i s c o n t i n u o u s i s s u e sa b o u t t h ed e r i v a t i v e so fd i s p l a c e m e n ta t t h eb e a ms e n d s T h e n,t h eR a y l e i g h R i t zm e t h o d sb a s e do n t h eL a g r a n g e f u n c t i o n i su s e dt oo b t a i nt h e l i n e a r e q u a t i o n s f o r t h e c o e f f i c i e n t s t os a t i s f y,t h u s t h en a t u r a l f r e q u e n c i e s a n dc o r r e s p o n d i n gm o d e so fT i m o s h e n k ob e a mu n d e rd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d F i n a l l y,t h ei n f l u e n c eo fc r o s s s e c t i o nc o e f f i c i e n to nt h en a t u r a lf r e q u e n c yo ft h es t r u c t u r ei sa n a l y z e d T h ec h a r a c t e r i s t i c so fg e n e r a l i t y,c o n v e r g e n c e,e f f i c i e n c ya n da c c u r a c yo ft h ep r o p o s e d m e t h o da r ef u l l yd e m o n s t r a t e da n dv e r i f i e dt h r o u g hn u m e r i c a l e x a m p l e s T h ew o r ko f t h i sp a p e rp r o v i d e sab a s i s f o rc a l c u l a t i n gt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fb e a m sw i t hv a r i a b l es e c t i o n s i ne n g i n e e r i n g K e yw o r d s:T i m o s h e n k ob e a m;v a r i a b l ec r o s s s e c t i o n;t h e i m p r o v e dF o u r i e rs e r i e s;f r e ev i b r a t i o n(责任编辑张娣)