一个部分退化反应扩散霍乱模型的阈值动力学.pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 3 6 6一个部分退化反应扩散霍乱模型的阈值动力学何 杰,褚慧洁(西安电子科技大学 数学与统计学院,西安7 1 0 1 2 6)摘要:针对人的扩散、空间异质性和处于静态水源环境中不同浓度的弧菌对霍乱传播的影响,建立一个部分退化的反应扩散霍乱模型.先定义模型的基本再生数R0,表明R0-1的符号决定模型的全局阈值动力学;然后通过数值模拟实验讨论模型关键参数对R0的影响,结果表明适度的城市化有利于对疾病的控制.关键词:霍乱弧菌;空间异质性;基本再生数;全局阈值动力学中图分类号:O 2 9 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 8 3 1-0 9T h r e s h o l dD y n a m i c so faP a r t i a l l yD e g e n e r a t e dR e a c t i o n-D i f f u s i o nC h o l e r aM o d e lHEJ i e,CHU H u i j i e(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,X i d i a nU n i v e r s i t y,X ia n7 1 0 1 2 6,C h i n a)A b s t r a c t:I no r d e rt os t u d yt h ee f f e c t so fh u m a nt oh u m a nd i f f u s i o n,s p a t i a lh e t e r o g e n e i t ya n dd i f f e r e n tc o n c e n t r a t i o n so fV i b r i oi ns t a t i cw a t e rs o u r c ee n v i r o n m e n to nc h o l e r at r a n s m i s s i o n,w ee s t a b l i s h e dap a r t i a l l yd e g e n e r a t e dr e a c t i o n-d i f f u s i o nc h o l e r a m o d e l.F i r s t l y,w ed e f i n e dt h eb a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e rR0o ft h em o d e l.S e c o n d l y,t h eg l o b a lt h r e s h o l dd y n a m i c so ft h em o d e lw a sd e t e r m i n e db yt h es i g no fR0-1.F i n a l l y,w ed i s c u s s e dt h ee f f e c t so fk e ym o d e lp a r a m e t e r so nR0t h r o u g hn u m e r i c a l s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t s.T h er e s u l t ss h o wt h a tm o d e r a t eu r b a n i z a t i o ni sb e n e f i c i a lt od i s e a s ec o n t r o l.K e y w o r d s:v i b r i oc h o l e r a e;s p a t i a lh e t e r o g e n e i t y;b a s i cr e p r o d u c t i o n n u m b e r;g l o b a lt h r e s h o l dd y n a m i c s收稿日期:2 0 2 2-0 9-1 5.第一作者简介:何 杰(1 9 9 9),女,汉 族,硕 士 研 究 生,从 事 生 物 数 学 与 应 用 动 力 系 统 的 研 究,E-m a i l:h j 1 4 1 6 5 0 0 7 2 01 6 3.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:1 1 9 7 1 3 6 9).霍乱是由霍乱弧菌引起的细菌性疾病,属于急性肠道传染病,易导致水样腹泻、呕吐、肌肉痉挛等症状,大规模的霍乱疫情严重威胁人类的健康1-5.霍乱是一种水媒传染病,通常有两种传播途径:由被霍乱弧菌污染的水或食物通过口及消化道传播,称为间接传播;通过人与人之间的接触传播,称为直接传播.基于这两种传播途径,目前已建立了很多关于霍乱传播的模型6-9.这些工作主要基于S I B(这里S表示易感者,I表示染病者,B为水中的霍乱弧菌)的仓室模型对其进行定性和定量的研究,对理解霍乱的传播机制及其预防和控制具有积极作用.实验表明,存在于宿主之外的霍乱弧菌的传染性会随着时间的推移而衰减.通常通过胃肠道在受感染的人类宿主身上新产生的弧菌可以存活数小时,此时具有高度毒性和传染性,称为霍乱弧菌的短期高传染性(s h o r t-l i v e dh y p e r i n f e c t i o u s)状态3,1 0,而在环境中生长的霍乱弧菌称为低传染性霍乱弧菌(l o w e r-i n f e c t i o u sv i b r i oc h o l e r a e).H a r t l e y等1 0研究表明,在模型中引入具有高传染性的霍乱弧菌可更好地拟合观察到霍乱流行的模式.因此,在建模时有必要将霍乱弧菌从高传染性到低传染性的演变规律融入到模型中.受文献1 1-1 2 的启发,本文讨论一个部分退化反应扩散霍乱模型的动力学性态,这里的“退化”在数学模型中是指:霍乱弧菌的扩散系数为0.本文首先构建模型及其适定性,通过定义模型的基本再生数R0,表明R0-1的符号决定模型的全局阈值动力学,即当R01时,疾病消除;当R01时,模型有一全局渐近稳定的正稳态解,疾病一致持续.最后,通过数值模拟实验探讨模型参数对R0的影响.1 模型构建假设是一个有界区域,具有光滑边界.设时刻t、位置x处的总人口密度为一个稳态分布,即(x)=S(x,t)+I(x,t),x,t0,其中S(x,t),I(x,t)分别表示易感者的密度和染病者的密度,(x)是正的二阶连续可微函数.根据文献3,1 0,本文将霍乱弧菌分为高传染性弧菌BH(x,t)和低传染性弧菌BL(x,t),由于考虑的水源环境是固定的,故假设霍乱弧菌的扩散系数为零.因此,本文建立如下刻画人与人之间直接传播和霍乱弧菌与人之间间接传播的反应扩散模型:I(x,t)t=DI(x,t)+(x)(x)-I(x,t)I(x,t)-(x)I(x,t)+(x)-I(x,t)1(x)BH(x,t)KH+BH(x,t)+2(x)BL(x,t)KL+BL(x,t),BH(x,t)t=c(x)I(x,t)-(x)BH(x,t),BL(x,t)t=(x)BH(x,t)-(x)BL(x,t),(1)满足如下边界条件和初始条件:I(x,t)=0,x,t0,(I(x,0),BH(x,0),BL(x,0)=(1(x),2(x),3(x),x,(2)其中表示上的单位外法向量.在模型(1)中,参数D是染病者的扩散系数,(x)是人与人之间的传染率,(x)是移除率(包含自然死亡率和康复率),1(x)和2(x)分别是高传染性霍乱弧菌和低传染性霍乱弧菌的传染率,KH和KL分别是高传染性霍乱弧菌和低传染性霍乱弧菌的半饱和浓度常数,c(x)是染病个体中的弧菌脱落率,(x)是霍乱弧菌的衰退率,(x)是净死亡率.此外,本文假设函数(x),(x),1(x),2(x),c(x),(x),(x)是上正的H l d e r连续函数.令X=C(,3)是具有最大模范数X的B a n a c h空间,其正锥为X+=X:0.定义=(1,2,3)X+:01(x)(x).对任意的t0,令T1(t):C(,)C(,)是由算子D-()生成的C0半群,即T1(t)(x)=G(x,y,t)(y)dy,X,其中G(x,y,t)为相应于算子D-()在N e u m a n n边界条件下的格林函数.根据文献1 3 中推论7.2.3和定理7.3.1可知,对每个t0,T1(t)都是紧的和强正的.令T2(t)(x)=e-(x)t(x),T3(t)(x)=e-(x)t(x),则T(t)=(T1(t),T2(t),T3(t):XX是一个强连续半群.设F=(F1,F2,F3):X为238 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 F1()(x)=(x)(x)-1(x)1(x)+(x)-1(x)1(x)2(x)KH+2(x)+2(x)3(x)KL+3(x),F2()(x)=c(x)1(x),F3()(x)=(x)2(x).则系统(1)-(2)可写为如下积分形式:u(t)=T(t)+t0T(t-s)F(u(s)ds,其中=(1,2,3),u(t)=(I(,t),BH(,t),BL(,t).类似文献1 2 中引理2.1和引理2.2的证明,有如下结论.引理1 对任意的,系统(1)过的解u(,t,)在0,)上全局存在,且对任意的t0,),有u(,t,).此外,系统(1)的解在上是最终有界和一致有界的.定义系统(1)的解映射t:为t()=u(,t,),t0,.类似文献1 1 中引理2.4的证明有如下结论.引理2 t是-压缩,即对任意有界集B,有l i mt(t(B)=0,这里()是K u r a t o w s k i非紧性测度.根据引理1,对每个t0,t都是点耗散的,且关于t的紧子集的正半轨有界.又由引理2知,t是渐近光滑的.因此,利用文献1 4 中定理2.6可知t在中有一个全局吸引子.2 阈值动力学考虑系统(1)在E0=(0,0,0)处的线性系统:I(x,t)t=DI(x,t)+(x)(x)I(x,t)-(x)I(x,t)+(x)1(x)BH(x,t)KH+2(x)BL(x,t)KL,(x,t)(0,),BH(x,t)t=c(x)I(x,t)-(x)BH(x,t),(x,t)(0,),BL(x,t)t=(x)BH(x,t)-(x)BL(x,t),(x,t)(0,).(3)令(I(x,t),BH(x,t),BL(x,t)=e t(1(x),2(x),3(x),将其代入系统(3)可得相应的特征值问题:1=D1+(x)(x)1+(x)1(x)2KH+2(x)3KL-(x)1,x,2=c(x)1-(x)2,x,3=(x)2-(x)3,x.(4)令Qtt0是线性系统(3)在X上的解半流,则其为X上正的C0半群,其生成元为B=D+(x)(x)-(x)(x)1(x)KH(x)2(x)KLc(x)-(x)00(x)-(x).此外,B是一个闭的预解正算子1 5.令s(B)是B的谱界,r(Qt)为Qt的谱半径,则有以下结果.引理3 对任意的t0,r(Qt)=es(B)t.如果s(B)0,则*=s(B)是系统(4)的主特征值.证明:第一个结论的证明可参见文献1 6 中引理3.1.令A(x)=-(x)00-(x).338 第4期 何 杰,等:一个部分退化反应扩散霍乱模型的阈值动力学 对每个t0,分别定义线性算子(t)和M(t)为(t)=0eA()t23,M(t)=I(,s,)t0eA()(t-s)c()I(,t,)()BH(,s,)ds,其中=(1,2,3)X,eA()t(x)=eA(x)t(x),C(,2).易见Qt=(t)+M(t),X,t0,且有(M(t)=0.注意到(t)=s u pX(t)s u pXeA()t=eA()t,则对于X中的任意有界集Z,均有(QtZ)(t)Z)+(M(t)Z)(t)(Z)eA()t(Z),t0.因为对每个x,矩阵A(x)的特征值实部均为负,所以对任意的t0,eA()t1.因此Qt在X上是-压缩的.进一步,有re(Qt)eA()t 0,这里re()表示算子Qt的本质谱半径.最后,利用广义K r e i n-R u t m a n定理1 7可知,s(B)是系统(4)的主特征值.证毕.设V=V(t)t0是下列系统的解半流:v1t=Dv1-(x)v1,x,t0,v2t=c(x)v1-(x)v2,x,t0,v3t=(x)v2-(x)v3,x,t0,v1=0,x.易见V(t)是X上的一个正算子,且其指数增长界(V)0,t在上是严格次齐性的和强单调的.证明:对任意给定的,0且(0,1),令u(x,t,)和u(x,t,)分别是系统(1)满足初始条件u(x,0,)=(x),u(x,0,)=(x),x的解.易证 u(x,t,)是系统(1)的一个下解.从而 u(x,t,)u(x,t,),x,t0.因此t是次齐性的.下证对所有的t0和x,均有y(x,t)=u(x,t,)-u(x,t,)0.为此,定义f(x,u1,u2,u3)=(x)(x)-u1)u1+(x)-u1)1(x)u2KH+u2+2(x)u3KL+u3,h(x,t)=f(x,u1(x,t,),u2(x,t,),u3(x,t,)-f(x,u1(x,t,),u2(x,t,),u3(x,t,).注意到y1(x,t)满足y1(x,t)t=u1(x,t,)t-u1(x,t,)t=Dy1(x,t)-(x)y1(x,t)+f(x,u1(x,t,),u2(x,t,),u3(x,t,)-f(x,u1(x,t,),u2(x,t,),u3(x,t,)+h(x,t)=Dy1(x,t)-(x)y1(x,t)+h(x,t)+(x)(x)-u1(x,t,)u1(x,t,)-(x)-u1(x,t,)u1(x,t,)+(x)-u1(x,t,)1(x)u2(x,t,)KH+u2(x,t,)+2(x)u3(x,t,)KL+u3(x,t,)-(x)-u1(x,t,)1(x)u2(x,t,)KH+u2(x,t,)+2(x)u3(x,t,)KL+u3(x,t,)=Dy1(x,t)-(x)y1(x,t)+h(x,t)+(x)(x)(u1(x,t,)-u1(x,t,)-(x)(u21(x,t,)-2u21(x,t,)+(x)-u1(x,t,)1(x)u2(x,t,)KH+u2(x,t,)-(x)-u1(x,t,)1(x)u2(x,t,)KH+u2(x,t,)+(x)-u1(x,t,)2(x)u3(x,t,)KL+u3(x,t,)-(x)-u1(x,t,)2(x)u3(x,t,)KL+u3(x,t,)Dy1(x,t)-(x)+(x)(x)+1(x)+2(x)y1(x,t)+h(x,t)Dy1(x,t)-M y1(x,t)+h(x,t),M=m a xx(x)+(x)(x)+1(x)+2(x).设U(t)是由下列方程生成的线性半群:v(x,t)t=Dv(x,t)-M v(x,t),x,t0,v(x,t)=0,x,t0.则如下系统w(x,t)t=Dw(x,t)-Mw(x,t)+h(x,t),x,t0,w(x,t)=0,x,t0,w(x,0)=(0,不恒为0),x(6)解w(x,t,)的积分形式可表示为w(x,t,)=(U(t)(x)+t0U(t-s)h(,s)(x)ds,x,t0.因为f(x,u1,u2,u3)关于变量(u1,u2,u3)是严格次齐性的,所以h(x,t)0.从而利用U(t)的强正性538 第4期 何 杰,等:一个部分退化反应扩散霍乱模型的阈值动力学 可知,系统(6)的解w(x,t,)0,x,t0.进而利用比较定理即可得y1(x,t)0,x,t0.表明对每个t0,t在上是严格次齐性的.最后,类似文献1 3 中定理7.4.1的证明可知t在上是强单调的.证毕.定理1 1)如果R01,则系统(1)的无病平衡点E0在中全局渐近稳定;2)如果R01,则系统(1)有唯一的正稳态解E*()=(I*(),B*H(),B*L(),且在(0,0,0)中是全局渐近稳定的.证明:下面利用文献1 6 中定理3.4的方法给出结论1)和2)的证明.1)当R01时,由引理4知s(B)0.根据文献1 5 中定理3.1 4知(Q)=s(B)0,由引理5知,t0在上是强单调和严格次齐性的.易见,t0(0)=0且Dt0(0)=Qt0.从而结合引理3知,r(D(t0(0)是D(t0(0)的一个正的特征值,且r(Qt0)=es(B)t0=1.利用文献2 0 中定理2.3.4(a)和注2.1.4可知,t0的每个正向轨在中都收敛到E0.再利用文献2 0 中引理2.2.1可知E0在中全局渐近稳定.2)若R01,则r(Qt0)1.由文献2 0 中定理2.3.4(b)和注2.1.4知,t0在中存在唯一的不动点E*0,使得关于t0在(0,0,0)中每个正向轨都收敛到E*.因为t0可视为t0-周期系统(1)的P o i n c a r 映射,所以l i mtt()-t(E*)=0,(0,0,0).对任意的t0,由t(E*)=t(t0(E*)=t0(t(E*)可知,t(E*)是t0的不动点.根据不动点的唯一性可推出,t0,t(E*)=E*.因此E*是系统(1)在中的一个稳态解,且为全局吸引的.再利用文献2 0 中引理2.2.1可知E*是局部稳定的.综上可知E*在(0,0,0)中是全局渐近稳定的.证毕.注1 定理1表明,若通过一些措施将R0降到小于1,则可达到控制疾病的目的.但注意到本文定义的R0没有显式表达式,因此需通过数值方法探讨R0与模型中关键参数的依赖关系.特别地,当模型中的参数不依赖空间变量时,根据式(5)给出的R0,可采取注意饮食、减少与不洁水源的接触等措施减小间接传染率1(x)和2(x),以及隔离患病者以减小人与人之间的直接传染率(x),从而实现对霍乱的预防和控制.3 数值模拟为方便,令空间区域=(0,)(单位为k m),并假设在空间位置x处的总人口密度为(x)=1 0 0(1.1-0.5 c o s(2x),模型中其他基本参数选自文献1 0,2 1-2 2,并以周为时间单位:KH=1 06/7 0 0,KL=1 06,(x)=6.21 0-3,(x)=1.4,c(x)=1 0,(x)=0.7,(x)=3 3.6.(7)除非特别声明,模拟中的参数保持不变.首先,令1=0.1(x)(1+s i n(x),2=0.41,D=0.1.利用文献2 3 中引理2.5和注3.2,数值计算可得R0=0.6 8 47.此时,疾病将灭绝,如图1所示.进一步,令1=0.4(x)(1+s i n(x),2=0.41,D=0.1,可得R0=1.2 3.在该情形下,疾病将持续且发展成为地方病,如图2所示.模拟结果与本文定理1的理论结果相吻合.其次,基于文献1 6 中的模拟思路,分两种情形讨论R0与扩散系数D的关系.情形1)不依赖于扩散的传染率.取1(x)=0.2 3(x)(1+s i n(x),2(x)=0.41(x).利638 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 图1 当R01时,模型(1)解的演化F i g.1 E v o l u t i o no f s o l u t i o n s i nm o d e l(1)w h e nR01时,模型(1)解的演化F i g.2 E v o l u t i o no f s o l u t i o n s i nm o d e l(1)w h e nR01图3 当传染率与扩散无关时,D对R0的影响F i g.3 E f f e c t o fDo nR0w h e ni n f e c t i o nr a t e i s i n d e p e n d e n t o nd i f f u s i o n用文献2 3 中引理2.5和注3.2给出的R0计算策略,绘制R0随D的变化曲线,如图3所示.由图3可见,R0关 于D单 调 递 减.特 别 地,当D(0,0.2时,R0随D的 改 变 急 剧 下 降;当D(0.2,1 时,R0的变化较平缓,波动不大.注意到感染者扩散主要是为了寻找医疗资源进行治疗.因此当疫情开始时,医疗资源较充足,及时对感染者治疗将快速降低疾病的传播.但随着疫情的延续,感染者的快速扩散可能会导致医疗资源的挤兑,因此扩散对R0的影响较小.所以在霍乱传播早期,可通过增加医疗投入对患病者给与充分的治疗,进而降低霍乱疫情的传播.情形2)依赖于扩散的传染率.取1(x,D)=(x)(1+s i n(x)D0.0 1+D,这里为基本传染率.图4给出了R0关于扩散系数D的变化趋势,它依赖于的大小.当=0.0 1时,R0关于D单调递减(见图4(A);当=0.1时,R0关于D是非单调的(见图4(B);当=1.1,R0关于D单调递增(见图4(C).表明R0与扩散系数D的关系与文献2 4 中单调递减的结论不同,它依赖于模型中参数的选择.此外,由图4(A)(C)可见,对于固定的扩散率,越大,R0越大.因此,当霍乱疫情暴发时,可通过减少与不洁水源的接触、注意个人卫生等措施降低被水源中霍乱弧菌感染的风险.为探讨空间异质性对霍乱传播的影响,令(x)=1 0 0(1.1-c o s(2x),这里由0变化到1表示由于城市化进程,越来越多的人离开农村来到城市2 5.其他参数的选取除D=0.2外,可参见式(7)和情形1).图5为R0与和的关系曲线.由图5(A)可见,随着的增加,R0先递减后递增,表明适度的城市化会降低霍乱传播的风险,但过度的城市化反而会加速疾病的传播.738 第4期 何 杰,等:一个部分退化反应扩散霍乱模型的阈值动力学 图4 对不同的基本传染率,R0随D的变化曲线F i g.4 V a r i a t i o nc u r v e so fR0w i t hDf o rd i f f e r e n tb a s i c i n f e c t i o nr a t e图5 R0与和的关系曲线F i g.5 R e l a t i o n s h i pc u r v e sb e t w e e nR0a n d,最后讨论高传染性霍乱弧菌的衰退率对R0的影响.各参数的取值参见式(7)和情形1).由图5(B)可见,R0关于单调递减,即随着高传染性弧菌浓度的衰退,霍乱传播的风险将逐步降低.综上所述,本文考虑了人及人的扩散、不同传染性的霍乱弧菌和空间异质性对霍乱传播的影响,通过假设水源静止,建立了一个部分退化反应的扩散霍乱模型.首先定义了模型的基本再生数R0,并讨论了模型关于R0的全局阈值动力学.其次,在理论上证明了R0是决定疾病消除或一致持续的阈值.即当R01时,无病平衡点是全局渐近稳定的;当R01时,系统(1)有唯一全局渐近稳定的正稳态解.最后,数值实验证了理论结果,并进一步研究了模型中关键参数对R0的影响,结果表明:人口密度分布的非均匀性和城市化都会影响疾病的传播;R0关于扩散系数D是非单调性的.参考文献1 MUG E R OC,HOQU EA.R e v i e wo fC h o l e r aE p i d e m i c i nS o u t hA f r i c a,w i t hF o c u so nKw a z u l u-N a t a lP r o v i n c eR.P i e t e r m a r i t z b u r g,S o u t hA f r i c a:Kw a Z u l u-N a t a lD e p a r t m e n to fH e a l t h,2 0 0 1.2 C A R P E N T E RA.B e h a v i o r i n t h eT i m e o fC h o l e r a:E v i d e n c e f r o mt h e 2 0 0 82 0 0 9C h o l e r aO u t b r e a k i nZ i m b a b w eC/I n t e r n a t i o n a lC o n f e r e n c eo n S o c i a lC o m p u t i n g,B e h a v i o r a l-C u l t u r a l M o d e l i n g,a n d P r e d i c t i o n.C h a m,S w i t z e r l a n d:S p r i n g e r,2 0 1 4:2 3 7-2 4 4.3 KA P PC.Z i m b a b w esH u m a n i t a r i a nC r i s i sW o r s e n sJ.T h eL a n c e t,2 0 0 9,3 7 3:4 4 7.4 TU I T EA,T I E NJ,E I S E N B E R G M,e ta l.C h o l e r aE p i d e m i ci nH a i t i,2 0 1 0:U s i n gaT r a n s m i s s i o n M o d e l t oE x p l a i nS p a t i a lS p r e a do fD i s e a s ea n dI d e n t i f yO p t i m a lC o n t r o l I n t e r v e n t i o n sJ.A n n a l so fI n t e r n a lM e d i c i n e,2 0 1 1,1 5 4(9):5 9 3-6 0 1.5 AN D R EWSJR,B A S US.T r a n s m i s s i o nD y n a m i c s a n dC o n t r o l o fC h o l e r a i nH a i t i:A nE p i d e m i cM o d e lJ.T h eL a n c e t,2 0 1 1,3 7 7:1 2 4 8-1 2 5 5.6 C O D E OCT.E n d e m i ca n dE p i d e m i cD y n a m i c so fC h o l e r a:T h eR o l eo f t h eA q u a t i cR e s e r v o i rJ/O L.BMCI n f e c t i o u sD i s e a s e s,(2 0 0 1-0 2-0 2)2 0 2 2-0 3-0 5.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 8 6/1 4 7 1-2 3 3 4-1-1.7 CH I N MJ,K I MB I RAR.A M a t h e m a t i c a lM o d e l f o rC h o l e r aE p i d e m i cJ.I O S RJ o u r n a lo f t h eM a t h e m a t i c s,2 0 1 8,1 4(1):6-1 5.8 WAN GXY,WAN GJ.A n a l y s i so fC h o l e r aE p i d e m i c sw i t hB a c t e r i a lG r o w t ha n dS p a t i a lM o v e m e n tJ.J o u r n a l838 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 o fB i o l o g i c a lD y n a m i c s,2 0 1 5,9(S u p p l 1):2 3 3-2 6 1.9 WAN GX Y,GAO D Z,WANGJ.I n f l u e n c eo fH u m a nB e h a v i o ro nC h o l e r aD y n a m i c sJ.M a t h e m a t i c a lB i o s c i e n c e s,2 0 1 5,2 6 7:4 1-5 2.1 0 HA R T L E YD M,MO R R I SJG,J r,S M I TH DL.H y p e r i n f e c t i v i t y:A C r i t i c a lE l e m e n t i nt h eA b i l i t yo fV.C h o l e r a e t oC a u s eE p i d e m i c s?J.P L o SM e d i c i n e,2 0 0 6,3(1):6 3-6 9.1 1 WAN GJL,WU X Q.D y n a m i c sa n dP r o f i l e so faD i f f u s i v eC h o l e r aM o d e lw i t hB a c t e r i a lH y p e r i n f e c t i v i t ya n dD i s t i n c tD i s p e r s a lR a t e sJ.J o u r n a l o fD y n a m i c sa n dD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,2 0 2 3,3 5(2):1 2 0 5-1 2 4 1.1 2 WAN GJL,WU WJ,KUN I YA T.A n a l y s i so faD e g e n e r a t e dR e a c t i o n-D i f f u s i o nC h o l e r aM o d e lw i t hS p a t i a lH e t e r o g e n e i t ya n dS t a b i l i z e dT o t a lH u m a n sJ.M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r s i nS i m u l a t i o n,2 0 2 2,1 9 8:1 5 1-1 7 1.1 3 S M I TH H L.M o n o t o n eD y n a m i c a lS y s t e m s:A nI n t r o d u c t i o nt ot h eT h e o r yo fC o m p e t i t i v ea n dC o o p e r a t i v eS y s t e m sM.P r o v i d e n c e,R I:Am e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,1 9 9 5:1 2 0-1 3 4.1 4 MA G A LP,X I AOXQ.G l o b a lA t t r a c t o r sa n dS t e a d yS t a t e sf o rU n i f o r m l yP e r s i s t e n tD y n a m i c a lS y s t e m sJ.S I AMJ o u r n a l o nM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s,2 0 0 5,3 7(1):2 5 1-2 7 5.1 5 TH I EMEHR.S p e c t r a lB o u n da n dR e p r o d u c t i o nN u m b e r f o r I n f i n i t e-D i m e n s i o n a lP o p u l a t i o nS t r u c t u r e a n dT i m eH e t e r o g e n e i t yJ.S I AMJ o u r n a l o nA p p l i e dM a t h e m a t i c s,2 0 0 9,7 0(1):1 8 8-2 1 1.1 6 P AN GDF,X I AO Y N,Z HAO X Q.A C r o s s-I n f e c t i o n M o d e lw i t hD i f f u s i v eE n v i r o n m e n t a lB a c t e r i aJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n,2 0 2 2,5 0 5(2):1 2 5 6 3 7-1-1 2 5 6 3 7-1 8.1 7 NU S S B AUM RD.E i g e n v e c t o r so fN o n l i n e a rP o s i t i v eO p e r a t o r sa n dt h eL i n e a rK r e n-R u t m a nT h e o r e mM/F i x e dP o i n tT h e o r y.B e r l i n:S p r i n g e r,1 9 8 1:3 0 9-3 3 0.1 8 WAN G W D,Z HAO X Q.B a s i cR e p r o d u c t i o nN u m b e r sf o rR e a c t i o n-D i f f u s i o nE p i d e m i c M o d e l sJ.S I AMJ o u r n a l o nA p p l i e dD y n a m i c a lS y s t e m s,2 0 1 2,1 1(4):1 6 5 2-1 6 7 3.1 9 VAND E ND R I E S S CHEP,WA TMOUGHJ.R e p r o d u c t i o nN u m b e r sa n dS u b-t h r e s h o l dE n d e m i cE q u i l i b r i af o rC o m p a r t m e n t a lM o d e l so fD i s e a s eT r a n s m i s s i o nJ.M a t h e m a t i c a lB i o s c i e n c e s,2 0 0 2,1 8 0(1/2):2 9-4 8.2 0 Z HAOXQ.D y n a m i c a lS y s t e m s i nP o p u l a t i o nB i o l o g yM.2 n de d.C h a m:S p r i n g e r,2 0 1 7:4 4-6 2.2 1 B A IN,S ON G C W,X U R.M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o no faC h o l e r aT r a n s m i s s i o n M o d e lw i t hW a n i n gV a c c i n e-I n d u c e dI mm u n i t yJ.N o n l i n e a rA n a l y s i s:R e a l W o r l d A p p l i c a t i o n s,2 0 2 1,5 8:1 0 3 2 3 2-1-1 0 3 2 3 2-1 6.2 2 L I AOS,WANGJ.